专题训练一等腰三角形的存在性问题

1、专题训练一等腰三角形的存在性问题典藏回顾我们收集、解读近 5 年全国各地的中考数学压轴题，以全省（市）统一考试的北京、上 海、重庆、山西、陕西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市为单位统一考试的江苏、浙 江、广东、山东、湖北、湖南、福建、四川、辽宁等地的试题为样本，分析各地考试压轴题 的常见类型。等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、重庆和江苏、浙江、广东、湖北等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点.专题攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在AB= ACBA= BC,CA= CB三种情况. 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分

2、线.解等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.针对训练1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为（3 , 4），点P是x轴正半轴上的一2.如图，在矩形ABCDh AB=6,BC=8,动点P以 2 个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以 1 个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两 点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值.（08 南汇 25）个动点，如果D

3、OP1等腰三角形，求点P的坐标.（3.如图，直线y= 2x+ 2 与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴上的一个动 点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q,如果APC是等腰三角形，求点P的坐标.三年真题5. （11 湖州 24）如图 1，已知正方形OABC勺边长为 2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴 上，M是BC的中点.RO,m）是线段OCh动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D.（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当厶APD是等腰三角形时，求m的值；（3） 设过P、M B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME勺垂线，垂足为H（如图 2）.当点P从

4、O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不 必写解答过程）.4. （12 临沂 26）如图，点A在x轴上,OA=4，将线段0A绕点0顺时针旋转 120。至0B的位置.（1）求点B的坐标；（2）求经过AO B的抛物线的解析式；（3 ）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.P、O B为顶点的三角形是等腰三CBC7U6.0A”OA卜八图 1图 26. (10 南通 27)如图，在矩形ABCD中,AB= m(m是大于 0 的常数)，BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合)连结DE作EF丄DE EF与射线BA交于点F,设CE

5、=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若 m= 8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若 y 空，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少?m两年模拟7. ( 2012 年福州市初中毕业班质量检查第21 题)如图，在ABC中，AB= AC=10,BC=16,DE=4.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF/AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，联结DF,设运动的时间为t秒(t 0).(1) 直接写出用含t的代数式表示线段BE EF的长；(2)在这个运动过程中，DEF能否为等腰

6、三角形？若能，请求出(3)设M N分别是DF EF的中点，求整个运动过程中,& (宁波七中 2012 届保送生推荐考试第 26 题)y=3x 2 3经过点 C,交 y 轴于点 G.(1 )点 C D 的坐标分别是 C (), D ()；(2) 求顶点在直线 y =3x 2 3上且经过点 C、D 的抛物线的解析 式；(3) 将(2)中的抛物线沿直线 y = 3x 2 3 平移，平移后的抛物 线交 y 轴于如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形 ABCD 勺边 AB 在 x 轴上，且AB= 3, BC=2 3，直线点 F,顶点为点 E (顶点在 y 轴右侧).平移后是否存在 这样的抛物线，

7、使 EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.自编原创9.如图，已知ABC中,AB= AC=6,BC=8,点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上, /ADE=ZB.设BD的长为x,CE的长为y.(1 )当D为BC的中点时，求CE的长；(2) 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3) 如果ADE为等腰三角形，求x的值.参考答案：1 因为D(3, 4)，所以OD=5,COS DOP3 .由y= 2x+ 2 得，A 1, 0) ,B(0 , 2).所以OA=1,OB=2. 如图，由AOBAQOP得OP：OQ= OB OA=2 ： 1 .设点Q的坐标为(

8、0 ,m)，那么点P的坐标为(2m0).因此AP= (2m1)2,AQ= mi+ 1,PQ=mi+ (2m)2= 5ni.如图 1，当PD= PO时，作在 RtOPE中,COS DOPPELOD于E.OE 3，OE5，所以0025此时点25P的坐标为（,0）.62，当OP= OD=5 时,3，当DO= DP时，点0)H P第 1 题图 22 .在 Rt ABC中,ACAB2BC2628210.因此COSACB4如图 1，当CPCQ时，t 10 2t，解得t如图 2，当QPQC时，过点Q作QMLAC于M则CMk丄PC25 t.4在 Rt QM(中,cos QCM -5CMCQ亍，解得如图3，当P

9、作PNLBC于N则CN=-QC21t一2，解得tCP 10 2t804在 RtPNC中,cos PCN -5综上所述，当t为10秒、25秒、80秒时，PQC为等腰三角形.3980(秒)21212如图P的坐标为（6 , 0）.D第 1 题图 3点P的坐标为（5 ,D在OP的垂直平分线上， 此时点在厶PQC中,CQ= t,CP=10 2t.第 2 题图 1第 2 题图 2第 2 题图 341当AlAQ时，AP2=AQ,解方程(2m 1)2=ra+ 1,得m 0或m点P不存在.当QA= QP寸，QA=QP,解方程m+ 1= 5m,得m4. ( 12 临沂 26)(1) 如图，过点B作BC丄y轴，垂足

10、为C.在 RtOBC中/BO= 30 ,OB=4，所以BC= 2,OC 2一3.所以点B的坐标为(2, 2.3).(2)因为抛物线与x轴交于O A(4, 0)，设抛物线的解析式为y=ax(x 4), 代入点B( 2, 2 . 3) , 2 3 2a ( 6) 解得a3.6所以抛物线的解析式为y3x(x 4)3x23x.663(3) 抛物线的对称轴是直线x= 2,设点P的坐标为(2,y).1当OP= OB=4 时，OP= 16.所以 4+y2= 16.解得 y 2 3 .当P在(2, 2 . 3)时，B、O P三点共线.2当 BABO=4 时，BP= 16.所以 42(y 2厨代.解得y1y22

11、 忑.3当PB= PO时，PB=PO.所以 42(y2尽22y2.解得 y2 爲.综合、，点P 的坐标为(2, 2 3).iOrP 当PA= PQ时,PA=PQ,解方程(2m 1)2= 5 吊，得m25.所以P(42.5,0)第 3 题图-.所以符合条件的312.所以P(1,0).第 4 题图5.( 11 湖州 24) (1)因为PC/DB所以pM.因此PM= DM,Cl BD=2 m所BD DM MB以AD=4 m于是得到点D的坐标为(2 , 4 m.(2)在厶APD中, AD2(4 m)2,AP2m24, PD2(2PM)24 4(2 m)2.1当AP= AD时，(4 m)2m24.解得m

12、3(如图 1)22当PA= PD时，m244 4(2 m)2.解得m4(如图 2)或m 4(不合题意，舍去).33当DA= DP时，(4 m)24 4(2 m)2.解得m2(如图 3)或m 2(不合题意，舍去).3综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为3,4或2.233另解第(2)题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单:1如图 1，当AP= AD时，AM垂直平分PD,那么PCMhMBA所以匹1.因此PC1,m3.CM BA 2222如图 2，当PA= PD时，P在AD的垂直平分线上.所以DA=2PO因此4 m 2m.解得m4.3(3 )点H所经过的路径长为 -5.思路是这

13、样的：4如图 4，在 RtOHM中，斜边0M为定值，因此以0M为直径的OG经过点H,也就是说点H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图5,P与O重合时，是点H运动的起点，/COH=45,/CG= 90.第 5 题图 36. （ 10 南通 27）因为/EDC与/FEB都是/DEC勺余角，所以/EDC=ZFEB又因为/C=ZB= 90,所以DC0AEBFCE18整理，得y关于x的函数关系为y丄X2-x.mm1212如图1,当作8时，y x2x -（X 4）22.8 8因此当x= 4 时，y取得最大值为 2.12 1 8若 y ，那么x2x.整理，得x28xmm m m解得x= 2 或x=

14、6.要使DEF为等腰三角形，只存在ED= EF的情况.因为EBF所以CE= BF,即卩x=y.12将x=y= 2 代入 y ，得 m= 6 （如图 2）;mm= 2（如图 3）.将x=y= 6 代入 y12，得第 6 题图 1第 6 题图 2因此DCEB12 0.7 ( 1) BE t 4 ,EF5(t 4)8(2)ADEF中，/DEF=ZC是确定的.如图 1，当兰DE= DF时，DEEF- ?即45(t84)解得t156ABBC101625如图 2，当兰ED= EF时，4 5(t 4).解得t1285如图 3，当兰FD= FE时，FEAC5(t即84)10解得 t0，即D与B重合DE BC4

15、16第 7 题图 1第 7 题图 2第 7 题图 3Ml/TDE MN=2,MN扫过的形状是平行四边形.如图 4,运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为 3;如图 5,运动开始，D与 B 重合，M到BC的距离为 2 .4所以平行四边形的高为339，面积为9294442& ( 1)C(4,2 3),D(1,2 3)(2)顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为-，代入直线y= 3x 2 3，得y-J .2 2设抛物线的解析式为y a(x5)2仝，代入点C(4,2 . 3)，可得a亘.223(3)皿卜是厶FDE的中位A第 7 题图 5所以物线的解析式为y L2(x39. (1)当D为BC的

16、中点时，ADL BC,DEL AC,CE83 (2)如图 1,由于/ADC=ZADEFZ1，/AD(=ZB+Z2,ZADE=ZB,所以/ 1 =Z2. 又因为AB= AC所以ZC=ZB.所以ABD因此DC些 即上AB BD6 x 14整理，得yx2x.x的取值范围是 0wx &63(3)如图 1,当DA= DE时，DCEAABD因此DC= AB8 x= 6.解得x= 2.2如图 2,当AD- AE时，D与B重合，E与C重合，此时x= 0.3如图 3，当EA=ED时，ZDAE=ZADE=ZB=ZC,所以DACAABC因此6.解得x -.8 2(3)由顶点E在直线y= 3x2,3 上， 可知点G的坐标为(0,23)，直线与y轴正半轴的夹角为 30,即/EGF=30设点E