专题14两角和与差的三角函数-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

1、2【高频考点 解读】1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4. 能运用上述公式进行简单的恒等变换 （包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.执占八、八、 题型】热点题型一三角函数式的化简、求值(1+sina +cosa ) 例 1、化简：a .cos sin22+2C0Saa(0V a V n)=1 + cos 20 计算：盂药sin 10解析原式=(；2a八a2cos7+2sinTcosc

2、os sincos 2 COSa2acos2因为 0V a V n，所以 0V ，所以 cos 0, 所以原式=cosa.原式=2cos2104sin 10 cos 10sin 10cos25sin25sin 5 cos 5acos -cos 102sin 10sin 20sin 10cos 10 2sin 202sin 10 cos 10 2sin (30 10)2sin 10 cos 10 2sin 30 cos 10 + 2cos 30 sin 10 _2sin 10 2.答案(1)COSa(2)-【提分秘籍】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:看角之间的差别与联系，把角进行合理的

3、拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异,公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”般要升幕”(2)对于给角求值问题， 一般给定的角是非特殊角， 这时要善于将非特殊角转化为特殊角 常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.【举一反三】确定使用的，“遇到根.另外此类问题也(1)化简:(2)已知 sin4212cos x 2cos x+1口na= + cosa,且a 0,I r ,cos 2a2，则 sin的值为a-7【解析】(1)原式二2 1)4碉-次曙j2r.、亠 1 1(2) 法*- sina= 2 + cosa,sina co

4、sa= 2,sinn，-兀，nyi4T=4，法二/sin aoosa, .sin a- oosctl /.(siiiaCOSG)1 21 -2snacosa0os2a _十目口a i盘一since)曲山巴(sin acos)二 _理血盘 +WSfi)答案(l)coe 2x (2) n-4COS cos 2a =sin |2COSCOS 2asin4=-2吕J，丄4142 .a热点题型三角函数的给值求值、给值求角_n例 2、(1)已知 03 an,且 cosaf=1,sin9, 23= 3,求 cos(a+3)的值.y32sinn3 4a7n，n an 34232，【解析】TOvn3ya0，又a

5、(0, n).70an p丄 c2ta nao,1n2，tan(2tan 2a tan3a 3 )=1+tan 2atan331+ _47=1.311 x一471n/tan3 = 70,A3n, n2a 30,3n 2a 3 =4【提分秘籍】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：当求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时,与“已知角”的和或差的关系， 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2) 常见的配角技巧：2a= (a+3) + (a3)，a= (a+3) 3，“已知角”有两个时， “所此时应着眼于“所求角”4c a + 3 a一

6、3a+3a一3 a一33=2 2，a=222 (3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数;【举一反三】“113 了已知 cosa= 7， cos(a3) = 4 103a(1)求 tan 2a的值;求3的值.【解析】(1)Tcos1na =一，0a一,7，2，n3=亍已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数; 若角的范围是0，守，选正、余弦皆可；若角的范围是(0,n)，选余弦较好；若角的范围为n，选正弦较好sinatana =4 3, tan 2a2tana2X438 32 1tana14847 (2) 03/ sin(2，=山14，cos3 =c

7、osa (a 3)=cosacos(a3)+sinasin(a3)113=7x14+1142nEV; + 2對口(卞十弓卜1cos 2i 1 .小2+口ir+.小 占曰c 2sin cocosa2tana4由tana-2,侍航加二云辰二舒市二壬gs%sinS 1 tan2a 3cos Set. -siiE収十1十tan3or 5113所法，7(a)2a+ cos 2a) +解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个,一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两

8、角和与差的三角函数公式、倍角公式等【举一反三】 已知 ABC 为锐角三角形，若向量 p= (2 2sin A, cos A+ sinA)与向量 q= (sin A cos A, 1 +sinA)是共线向量(1)求角 A2C- 3B求函数 y = 2sin B+ cos 2 的最大值【解析】 因为 p, q 共线，所以(2 2sin A)(1 + sin A) = (cos A+2x cos 2r) + cos 2x由(1)得 f (x) = 2(sin 2 x+ cos 2 x) + 2=sin i2x+亍 +,n n I/口 5nn5n由右，丁，得 7yw2x+ (cn + 1wsin i2

9、x+ w1,Owf (x)2,12 2_22所以 f(x)的取值范围是 0,【提分秘籍】7tJC4sin A)(sinA- cosA)，贝 U sin2A= |.又 A 为锐角，所以 sin，贝 U A=nn.23C 3_gI(2)j2=2sn2J + oos= 2s诚S + cos【解析】因为:和关于 y 轴对称，所以:因为恥訪所以2B-託（-? 湫所以当沏一訐艸函数刑得最大值，解得字心=2一2.【2017 北京，理 12】在平面直角坐标系 xOy 中，角 a 与角 B 均以 Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对1称若 sin 二，cosC -)=3【答案】-二 2k 二，k Z，那么 si

10、n：= sin：所以 cos0 0 ) = cosacos0 +sinOsin = -cos%+sin% =2sin% -1 =9【答案】Ccosposl =2 22(或 cos：= -cos:),1.【2017 江【答【高考风向标a】一，则 tan：【解JIKtan(a )+ta n tan：= tan( ) =44JIH1ta n()ta n441-11.【2016 高考新课标 3 理数】在|鱼磴中,cos J=(II)(C)10(D) 啤1(A)(B)【解析】设0C边上的高为皿儿WC=3AD,所VaC = AHDC1=5AD?AB=.AD宙2.【2016 高考新课标 2 理数】若 csv

11、 的图像经如下变换得到： 先将” 像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平移 弓个单位长度. (I )求函数 RE 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(n)已知关于汽的方程|， I ；在 I. - 内有两个不同的解-(1)求实数 m 的取值范围；F 广(2)证明：costtf b) = - L5【答案】(I )(对=2 刃亦，工=切+%(k? “一 ；(n)(1) (“亦)；(2)详见解析.【解析】解法一：(1)将：,i 门 D ：的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)得到v = 2C0SA-的图像，再将 v -2COSX 的图像向右平移;个

12、单位长度后得到 y = 2cos(x- 的图像，故 ftx) = 2sin .r，从而函数 Rx) = 2siti 工图像的对称轴方程为T= kp +-(k? L.|=V5 sin(,r+;)(其中 sin/【解析】tan /? = lan(u + / - a)=(2)1)f(A)+g(.r) = 2sin x+cosT依题意，山心)哙内有两个不同的解讥 h 当且仅当t 任 I ,故 m 的取值范围是V5tan( (fj? + /j-ianr/】+tan( + /y) )tan2）因再込0罡方程运sinx+ BE在区间0.2兀）内有两个不同的解所以对卫（盘卄卩）二专丄sin（ +（p）=- .

13、寸,盘+/?=2（兰一咖，盘一#二区一2（尸十心I；当一击mV时z+/?=2（手 一）,盘一0=3常一2（0十）;所co5(tf-/?) = -cos2( +p) = 2siD1(/?+ +/ )=$当 1 m4s 时，ab=2(j )rUN/+/ =p (h +/ ); 当-5rn$(方 7 ) -sin y )sin(6V )-CGsr(b -y ) + sin(tf +j )ain(fr +/ ) = -!-【2015 高考山东，理 16】设,f（X）二血工 3 疝 70 寸 X +（n）在锐角 AAEC 中，角 A./iX 的对边分别为 d 血 t,若 fIttr(i)求/(刃的单调区

14、间;OTtj = l ,求 MBC 面积的最大值.【答案】(I )单调递增区间是| 冷卡k兀、冷卡kx (AEZ)；【解析】单调遠I抠间是彳+誌苧+也(ICEZ)/=sin N 丄=0,sin =-12得2()由(I)由题意知(刘三竺占1+cos 2x+122品2x 1 sin 2x.1=- =siu2A22 2ST7T由一一+2AXE2JCE已Z22由+2k?r2x+2IckZ3T71可得一 一+圧更冬x +k7TtkeZ44n+k7rx Ibc即:杜2 +巧,当且仅当 b = c 时等号成立4，、一 1(2014 福建卷)已知函数f(x) = cos x(sin x+ cos x)-.(1

15、)若 0a2，且 sina=亍，求 f (a)的值;(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.n【解析】方法一：(1)因为 0a=, sin12.1=尹 n 2也.=sin22x+nn，所以 T=22L=n.nn由 2kn 2x+ W2kn3n , n得 kn xkn+ ,8 8所以 f(x)的单调递增区间为21 f (x) = sin xcos x+cos x ?因此所以二面积的最大值为(2)因为f(x) = sin xcosx + cos2x 11=sin 21 + cos 2 xx+1=sin 21 + cos 2 x 1 x+1=尹n 22=sin1x+ 2cos 2 x2x+

16、nn(1)因为n0a2,sina冷，所以=，所以 cosa=亏.1x+ cos 2 x+ y，kz.方法二:T=2 nnnn22x+ W2kn +2,kZ,得 kn所以 f(x)的单调递增区间为kn辛，kn+寸,k乙像上相邻两个最高点的距离为(1)求3和$的值;a+ 2 的值.【缽析】因为用)的凰像上相邹两个最高点.的距膏为Tt,斫以於)的最小正周期“兀，从而他=竽=上又因対；W 的團傷关于直线片討称TF0,-寺J f 的图像关于直线x=nn对称，且图所加=-咯(2)由(1)得?守=3sin(2n1a石=/2nnT 得0V a 石v?,所以 sin所以 cosan3x76)=，7t1sin21

17、-由 2kn=sina 6sin6若 fa =2na，求 cos【高考冲1.(1 + tan 17 )(1 + tan 28 的值是 (解析由题意可知，a= sin 28 , b= tan 28 , c= sin 25 c a b. 一=2 sin _sin x+cos cos答案 B113.已知 sin x +3 cosx=5，贝 y cos亍 - X =(3344A.二BC.D-5555答案 D解析x = 21si nsin x +“丿 3 cosx+#cos xLI *4.右 sinn =cos 2a4， 贝 U sin 2a的值可以为（）解析由已知得_22（sin(X cos 2 2

18、.a)=sina cosa , sina +COSa量或i2 或 Sina cosaD.2+ tan 17-tan 28=1 + tan 45 (1 tan 17-tan 28 ) + tan 17 tan 28=1 + 1 =2.答案 D2.设 a = 1cos 2 _23sin2ta n 14， 则有（A.avcb B.avbcC.bvca D.cab7t7tD.A. 1 B.解析原式o+ tan 281 cos50b=1 tan214，C=由已知得1解得 sin 2a= 或 1.n小nn7=sin 2a5=2sin a7COSn4 ，二cos7ta=COS7t2cos2=2X-1=1或

19、sin 2a =1.42答案5.已知2sin1-1f(x)=2tanXsin geos x，则2解析2cos xf(x)=2tanX+=2sinx cos x _ +:-cos x sin4_cos xsin x sin 2 x，4=8.nsin -6答案6.设0为第二象限角，若 tan i07tsin0 +cos0 =解析1+tan0tan 0+亍=1tan012，解得 tansin由sin10 =二cos0，3得 sin20 +cos0 =，cos0=-啣,/ sin0 +cos答案1057.已知0 iO,0 =1,ny，且 sin0n= if，则tan 20 =4=24 _7平方得2si

20、nros 8二厉，可求得sin d+ cos&二亍.439BSLD ?COE0/.tantan 2F=債加 丫 :31 - tan- 6求 cos 2a的值.6 /(1)因为a解析鲁)得sin疗-0汀二24答案248.已知a 寺,n ,sina=亚=5 求 sin4 +a的值;所以 cosa；1sina2,55.故 sin-4 + a =sin -4cosa +cos44(2)由(1)知 sin 2a= 2sinacosa所以 cos2a =coscos 2a +sin6_5_ _J010 .52a35,cos 2a =12sin3 1計 2x5nsin 2a64=4+3 ._310(1)求 sin 2a的值;9.已知 cosn+a-cos12求 tan1a-k 的值.解(1)cos-cos=cos-sin即 Sin 2a +n = g T a cos j2a + -3 =-23sin 2a =sin 2n n + +33=sin j2a + -37t3cos 2a +(2)T a ，n,又由(1)知 sin 2 cos 2a- tana1tanaacosacosaSinasin. 2sina cosasinacosasin 22cos 2a=2Xa10.已知sina = ；,sin(51010,a，3均为锐角，则角3等于（）A.12BnCnB. 3C.4解析a,