第三章线性代数(11.18第二部分)

1、第三章第三章 线性代数方程组的解法线性代数方程组的解法 主要内容 1.高斯消去法 2. 高斯列主元消去法 3. 矩阵分解法 4.向量和矩阵的范数 5.解线性代数方程组的迭代法第四节第四节 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数一、向量的一、向量的范范数数1. 定义定义1: 若向量若向量xRn 即即x=(x1,x2.xn) T ,定义定义某个实数值某个实数值函数函数 N(x)=|x|，若满足：，若满足： (1) | x |0 当且仅当当且仅当x =0时，时，| x |=0 正定性正定性 (2) |C.x|=|C|.|x| C为任意常数为任意常数 齐次性齐次性 (3) |x+y| |x| + |y| 三

2、角不等式三角不等式则称则称N(x)是是R 上的一个向量范数上的一个向量范数 或模或模例例1 向量空间向量空间 x= (x1 , x2, x3)T , (1) |x1| +|2x2| + |x3|是不是一种向量范数？是不是一种向量范数？ (2) |x1+3x2| +|x3|是不是一种向量范数？是不是一种向量范数？ 解:(1) |x1| +|2x2| + |x3|是一种向量范数是一种向量范数, 因为它满足：因为它满足： 正定性正定性： |x1| +|2x2| + |x3| 0 且且 只有只有x= (x1 , x2, x3)T= （0,0,0）T 时时 ， |x1| +|2x2| + |x3| =0

3、成立成立 齐次性：齐次性：对任意常数对任意常数C , |C.X|=|Cx1| +|2Cx2| + |Cx3|= |C| (|x1| +|2x2| + |x3| )= |C|.|X| 三角不等式：三角不等式：设另一向量设另一向量 y= (y1 , y2, y3)T则则 x+y = (x1+y1 , x2+y2, x3+y3)T 按定义按定义 |x1+y1| +|2x2+2y2| + |x3+y3| |x1| +|2x2| + |x3| + |y1| +|2y2| + |y3|即：即： |X+Y| |X| + |Y| (2) |x1+3x2| +|x3|不是不是一种向量范数一种向量范数因为对因为对

4、x=(1,-1/3, 0)T 可推出可推出|x1+3x2| +|x3|=0 ，不满足正定性，不满足正定性类似的类似的|x1+x2| +|x3| ， |3x1+x2| +|3x3|x1+x2| +|x3| ， |x1| +|x3+x2|2x1| +|x3+x2| ，|x1| +|2x3+3x2| 都不是向量范数都不是向量范数但：但：|x1 | + | x2| +|x3| ， |2x1 | + | x2| +|x3| |x1 | + | x2| +|3x3| 等是向量范数等是向量范数 提问：提问：|x1+3x2| +|x3|是不是向量范数呢？是不是向量范数呢？2. 常用的几种常用的几种向量范数向量

5、范数：设设x=(x1,x2,.xn)T 1- -范数：范数： 2- -范数：范数： - -范数：范数： 11niixx 12221()( , )niixxx x 1maxii nxx 上述上述3种向量范数统称为种向量范数统称为P- -范数范数( (或者或者Holder范数范数) )111()nppipixxp 例2 已知向量 x=（1,- 2 , 2)T求| x|1 ， |x|2 ， |x|解： | x|1 =|1|+|-2|+|2|=5 |x|2 = （12+(-2)2+22)1/2=3 |x| =max(|1| ,|-2|, |2|)= 2 3、向量范数的性质、向量范数的性质(1) 设设

6、x, y Rn 则则 | |x| - | y| | = | x-y | 证：证： |x| =| (x-y) + y | | = |x-y| + | y|所以所以 |x| - |y| = | x-y|同理同理 |y| - |x|= - | x-y|所以：所以：| |x| - | y| | = | x-y | （2）设）设 |x|与与|x| 是是R n上任意两种向量范数，上任意两种向量范数， 则存在则存在正常数正常数m和和M 使一切使一切 x Rn 有有 m|x| = |x| = M|x| 如：如： |x| = |x|1 则称向量序列则称向量序列X (K) 收敛于收敛于X * 记做记做 lim x

7、 i(K) =x i* k - 定理定理4 ： 对对R n上的任一种向量范数上的任一种向量范数|.|，向量序列向量序列 x(k) 收敛于向量收敛于向量x*的充要条件是：的充要条件是：| x(k) x* | 0证明：证明：x(k) x* = （x1(k)-x1*, x2(k)-x2* , xn(k)-xn*）T 若若 x i (k) -x i* 则则 ：x i (k) - x i* -0 | x(k) x* | 0 由范数的等价性知由范数的等价性知 ，存在，存在M ，m 0 使得使得m | x(k) x* | | x(k) x* | M | x(k) x* | 二、矩阵的范数二、矩阵的范数1、

8、定义定义3 ： 若矩阵若矩阵AR n n 的某个的某个非负实值函数非负实值函数N(A)=|A| 满足满足 (1) |A|0 当且仅当当且仅当A=0时，时，|A|=0 正定性正定性 (2) |C.A|=|C|.|A| C为任意常数为任意常数 齐次性齐次性 (3) |A+B| |A| + |B| 三角不等式三角不等式 (4) |AB|A|B| 相容性相容性 则称则称N(A)是是R n n 上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数 或模或模 在数值计算中在数值计算中,为了进行某种估计为了进行某种估计,常常要常常要比较比较不同向量的范数不同向量的范数,向量有时以向量有时以Ax的形式出现的形式出现,其其中中A为

9、为nn阶矩阵阶矩阵 A=(aij) nn 这就需要寻求这就需要寻求 A 和和Ax之间的某种关系之间的某种关系定义定义4 设设XRn ，AR n n 且给出一种向量范且给出一种向量范数数|X| 则称则称 为矩阵为矩阵A的算子的算子范数范数2、常用的矩阵范数-3种分别种分别从属于三种向量从属于三种向量的矩阵的算子范数：的矩阵的算子范数：()ijn nAa 记记（1 1）列范数：列范数：111m axnijjniAa （2 2）行范数：行范数：11m a xnijinjAa （3 3）谱范数：谱范数：12A 12()TA A 其中其中 是是 的的最大最大特征值特征值1 TA A12211()nnij

10、FijAa （4 4）F F范数：范数：Frobenius范数范数简称简称F-范数范数例例3 3： ，计算计算A A的各种矩阵范数的各种矩阵范数。1234A 解：解：例例4 4：给定矩阵给定矩阵210111012A 求矩阵求矩阵 的的1、2、 范数。范数。A 13A 3A 210111012TAA23A ？矩阵矩阵 的特征值为的特征值为A0 2 3, , 定义定义5 谱半径谱半径 设设 AR n n 的特征值的特征值为为i(i=1,2.n)称称(A)=max|i|为为A的谱半径的谱半径 1in 推论：推论：A R n n 为对称正定矩阵，为对称正定矩阵， 则则 (A) = |A|2例例5 5：

11、 ，计算，计算A A的谱半径。的谱半径。1234A 定理定理5 ：特征值上界定理：特征值上界定理设设 A R n n ,则则 (A) |A| ， 即即A的谱半径不的谱半径不超过超过A的任何一种范数的任何一种范数证明：证明： 设设是是A的任一特征值，的任一特征值， x为相应的特征向量，则为相应的特征向量，则 A x = x | | |x| =| x| =|AX|= |A| |X| 所以所以 | |= |A| 也即也即 (A)= |A|三、三、 方程组的方程组的性态性态和和条件数条件数首先来考察一个例子： Ax= b 1 2 x1 7 2 -1 x2 = -1当系数矩阵有误差，右端有误差时 1 2

12、 x1 7 2 -1.0009 x2 = -1.003其精确解为：x1=1x2=3此时，其解为：x1= 0.99988x2= 3.00006 再看： 2x1 + 6x2 =82x1+6.00001 x2=8.00001其解为：x1=1x2=12x1 + 6x2 =82x1+ 5.9999 x2=8.00002其解为：x1= 10 x2= -2定义定义6 若矩阵若矩阵A或常数项的或常数项的微小微小变化变化( , ) 引起方程组引起方程组AX=b解的巨大解的巨大变化变化 ( )则称此方程则称此方程组为组为“病态病态” (/*ill-conditioned*/)方程组，矩阵方程组，矩阵A称为称为“病

13、态病态”矩阵矩阵 否则，称此方程组为否则，称此方程组为“良态良态”(/*Well-conditioned*/)方程组，矩阵方程组，矩阵A称为称为“良态良态”矩阵矩阵注意：注意：矩阵矩阵“病态病态”的性质的性质是是矩阵本身的特性矩阵本身的特性，我们我们希望找出希望找出刻画矩阵病态刻画矩阵病态本身的量本身的量A b x 病态病态方程组对任何算法都将产生方程组对任何算法都将产生数值不稳定数值不稳定性性讨论讨论 A, b有有扰动扰动时（时（A，b), 对解的相对误差对解的相对误差 的影响的影响（1）b有扰动有扰动b时的情况时的情况 Ax=b 此时，解为此时，解为 x + x , 则有则有 A(x +

14、X) = b+b 据据 Ax=b 得得 Ax = b x =A-1 b |x | = |A-1| |b | 由由 b = Ax 知知 | b | =|A| |x| 则则 由 ，可得2）设）设 b 精确，精确，A有扰动有扰动 A 解为解为 x +x 此时此时 ( A + A) ( X +x) = b 由由 Ax = b知知 ( A + A) x = - Ax 即即 A x = - A (x +x) | x| = |A-1 A(x +x)| = |A-1 | |A| (|x|+|x|)整理得整理得 (1- |A-1| |A|)|x| = |A-1 | |A| |x|当当 |A-1 | |A| 1时

15、时 有：有：当当 |A-1 | |A| 1时时 上式近似等于上式近似等于说明矩阵说明矩阵A的相对误差的相对误差 在解中放大在解中放大|A-1| |A| 倍倍 3) A , b都有扰动 A b , 解为X +X A(X +X )=b+ b由此我们可知由此我们可知 ：A或或b有扰动时有扰动时 , 解的相对误差的上解的相对误差的上界随界随|A-1| |A|的增大而增大的增大而增大 ，也即也即|A-1| |A|标志着方程组解的敏感程度标志着方程组解的敏感程度(3) 设设 b有扰动有扰动 ，A有扰动有扰动 A ,解为解为 x +x 此时此时 ( A + A) ( x +X) = b +b 由由 Ax =

16、 b知知 Ax +Ax + Ax= b 即即 A x= b - A (x +x) |A| x| = | b|+ | A |x| + | A |x| | x| = |A-1 | | b|+ |A-1 | |A| |x|+ |A-1 | |A| |x| X| -|A-1 | |A| |x| = |A-1 | | b| + |A-1 | |A| |x|整理得整理得 (1- |A-1| |A|)|X| = |A-1 | |X|( + |A| )由由 b = AX 知知 | b | =|A| |X |xx|xb|b|A| |1x矩阵的矩阵的条件数条件数定义定义7 7 设是非奇异阵，称数设是非奇异阵，称数

17、 为为矩阵矩阵A A的的条件数条件数。1( )(1,2, )vvvcond AAAv 常用的条件数有常用的条件数有:11max222min(1)( )(2)( )cond AAAcond AAA 方程组方程组AX=b 的病态程度可由的病态程度可由系数矩阵系数矩阵A的条件数的条件数Cond (A) 来刻画，来刻画，其值越大，方程组的变态就越严重其值越大，方程组的变态就越严重当当A为为对称正定对称正定 时时 Cond(A) 2=| 1| / | n | , 其中其中 1， n为矩阵为矩阵A的最的最大和最小特征值大和最小特征值 例例 求矩阵求矩阵A的条件数的条件数 逆阵的求法逆阵的求法A-1= A*

18、 / |A| A*为为A的的伴随矩阵伴随矩阵例如：A是一个2x2矩阵a11，a12a21，a22则由A可得 Aij (i,j=1,2)为代数余子式则A的伴随矩阵 A* 为A11 A21A12 A22即a22 , -a12-a21, a11条件数的性质：条件数的性质：1. A1. A为非奇异阵，有为非奇异阵，有cond(A)v12. A2. A为非奇异阵且为非奇异阵且c0( (常数常数),),则则cond(cA)v=cond(A)v3. A3. A为正交阵，有为正交阵，有cond(A)2=1复习1.向量范数的定义2.矩阵范数的定义3.谱半径与特征值上界定理4.病态方程组与病态矩阵5.条件数1.常

19、用的几种常用的几种向量范数向量范数设设x=(x1,x2,.xn)T 1- -范数：范数： 2- -范数：范数： - -范数：范数： 11niixx 12221()( , )niixxx x 1maxii nxx 11max|niji njAa 211nnijFijAa 2. 常用的矩阵范数常用的矩阵范数A的行范数的行范数11max|niji njAa A的列范数的列范数111max|nijj niAa A的的2范数范数2()TAA A -A R n n 为对称正定矩阵，为对称正定矩阵， 则则 (A) = |A|2A的的F范数范数211nnijFijAa 3. 谱半径谱半径 设设 AR n n

20、的特征值为的特征值为i(i=1,2.n)称称(A)=max|i|为为A的谱半径的谱半径 1in 4.特征值上界定理特征值上界定理设设 A R n n ,则则 (A) |A| ， 即即A的谱半径不超的谱半径不超过过A的任何一种范数的任何一种范数 若矩阵若矩阵A或常数项的或常数项的微小微小变化变化( , ) 引起方程组引起方程组AX=b解的巨大解的巨大变化变化 ( )则称此方程则称此方程组为组为“病态病态” (/*ill-conditioned*/)方程组，矩阵方程组，矩阵A称为称为“病态病态”矩阵矩阵 否则，称此方程组为否则，称此方程组为“良态良态”(/*Well-conditioned*/)方

21、程组，矩阵方程组，矩阵A称为称为“良态良态”矩阵矩阵A b x 5. 病态方程组与病态矩阵病态方程组与病态矩阵6. 矩阵的条件数矩阵的条件数 设是非奇异阵，称数设是非奇异阵，称数 为矩阵为矩阵A A的的条件数条件数。1( )(1,2, )vvvcond AAAv 常用的条件数有常用的条件数有:11max222min(1)( )(2)( )cond AAAcond AAA 方程组方程组AX=b 的病态程度可由的病态程度可由系数矩阵系数矩阵A的条件数的条件数Cond (A) 来刻画，来刻画，其值越大，方程组的变态就越严重其值越大，方程组的变态就越严重当当A为为对称正定对称正定 时时 Cond(A)

22、 2=| 1| / | n | , 其中其中 1， n为矩阵为矩阵A的最大和最小特征值的最大和最小特征值 第六节第六节 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法1231231231027.21028.354.2xxxxxxxxx迭代公式为迭代公式为：取初始值取初始值 x(0)= （0，0，0）T可得：方程的准确解为：x1=1.1 x2=1.2 x3=1.3 引例引例.361236,33114,20238321321321xxxxxxxxx（6.1）,12361114238A求解方程组 其中 ,321xxxx.363320b现将(6.1)改写为 记为：记为：Ax=b方程组的精确解：方程组的精确解

23、：x=(3 , 2 , 1)T).3636(121),334(111),2023(81213312321xxxxxxxxx（6.26.2）整理得整理得： .361236,33114,20238321321321xxxxxxxxx12312321312331212313220(3220)0 x888814133(433)01111111116336(6336)012121212xxxxxxxxxxxxxxxxx 或写成或写成 x=Cx+ f其中x=(x1,x2,x3)T 32088410,1 11 16301 21 2C.12361133820f建立迭代公式：x（k+1)=Cx (k)+ f k

24、=0,1,2.,(k1)()()123(1)()()213(1)()()3121(3220)81(433)111(6336)12kkkkkkkkxxxxxxxxx（6.36.3）写成分量形式：将这些值代入(6.3) 式右边 得到新的值再将 x x(1)(1) 分量代入(6.3)式右边得x x(2)(2) ，反复利用这个计算过程，得到一向量序列(0)(1)()111(0)(0)(1)(1)()()222(0)(1)()333,kkkkxxxxxxxxxxxx 任取初始值，例如取 x(0)=(0,0,0)T 迭代到第10次有 ;)9998813.0,999838.1 ,000032.3()10(T

25、x(1)1(1)(1)2(1)32.5=33xxxx*).(000187.0)10()10()10(xx从此例看出，由迭代法产生的向量序列从此例看出，由迭代法产生的向量序列xx(k)(k) 逐步逼近方程组的精确解逐步逼近方程组的精确解 x x* *注意:对于任何由 Ax=b 变形得到的等价方程组 x=Cx+ f 迭代法产生的向量序列 xx(k)(k) 不一定都能逐步逼近方程组的解x*如对方程组.53,521221xxxx构造迭代法.53,52)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx则对任何的初始向量，得到的序列都不收敛.一、雅可比一、雅可比(Jacobi)迭代迭代(简单迭代简单迭代)法及其

26、收敛条件法及其收敛条件1.迭代公式迭代公式 对方程组对方程组Ax=b 即即: a11x1 + a12x2+. .a1nxn =b1 a21x1+ a22x2+ a2nxn =b2 ai1x 1+ ai2x2+ aii-1xi -1+aiixi .ainxn = bi . an1x1+ an2x2+.annxn =b n若aii0，则可从第i个方程分离出xi: (i=1,2.n)1111 2;, ,iniijjijjjj iiiiba xa xxina 11111 2( )( )();, ,inkkiijjijjjj ikiiiba xa xxina 若aii0，则从第i个方程分离出xi,并构造

27、迭代公式=其中其中 cij= -aij / aii , di= bi/aii ( i=1,.,n, j=1,.,n, ji ) cii =0 其中其中 cij= -aij / aii ji cii=0 di= bi/aii - Jacobi迭代公式迭代公式(分量形式分量形式)也可写成也可写成 x (k+1) = Cx (k) + f- Jacobi迭代公式迭代公式(矩阵形式矩阵形式)11()( )nkkiijjijxc xd 2. 迭代矩阵与系数矩阵的关系迭代矩阵与系数矩阵的关系若若 A分解为分解为 A= D - L - U D为为 diag ( a11, a22,., ann) -L , -

28、U分别为分别为A的严格下，上三角阵的严格下，上三角阵, 则则Jacobi迭代可写迭代可写: x (k+1) = D-1 (L+U) x（ k） + D-1 b记记 C = D-1 (L+U) f = D-1 b ,则则Jacobi迭代迭代 （迭代矩阵）（迭代矩阵）矩阵形式为：矩阵形式为： x (k+1) = Cx (k) + f定义定义8 设设 A=( aij) 是一个是一个 n x n 矩阵，若矩阵，若 如如 A= 5 -1 -1 1 6 -1 1 1 31|niiijjj iaa 则称则称A为为严格对角占优阵严格对角占优阵i=1,2.n定义定义9 若迭代公式若迭代公式 x (k+1)=Cx

29、 (k) + f 产生的序列产生的序列x (k) 满足满足 limx(k) =x* (k ) 对任意对任意 x（0）Rn则称该迭代法收敛。则称该迭代法收敛。R(C)= -ln (C) 称为该迭代法的渐近收敛率或渐近收称为该迭代法的渐近收敛率或渐近收敛速度敛速度3、收敛性、收敛性12321331254.21027.20.558.3xxxxxxxxx x1 (k+1) =-x2 (k) +5x3 (k) -4.2 x2 (k+1) =10 x2 (k) -2x3 (k) -7.2 x3 (k+1) =0.5x1 (k) +5x2 (k) -8.3开始迭代开始迭代.显然不收敛显然不收敛 ! ? Ja

30、cobi迭代收敛条件迭代收敛条件充分条件充分条件(1) : 方程组方程组 Ax=b的的系数矩阵系数矩阵A为为 严格对角占优阵严格对角占优阵充分条件充分条件(2) :迭代矩阵至少存在一种矩阵范数迭代矩阵至少存在一种矩阵范数|.|, 使使 | C | 1充要条件充要条件(3)：迭代矩阵的谱半径：迭代矩阵的谱半径(C) 1回顾：回顾：1231231231027.21028.354.2xxxxxxxxx迭代公式为迭代公式为：注意，在计算注意，在计算x2 (k+1) 时时 所用的分量所用的分量取初始值取初始值 x(0)= （0，0，0）T可得：11()( )nkkiijjijxc xd 即：在迭代的每一

31、步计算过程中，即：在迭代的每一步计算过程中， 是用是用x（k)的全部分量来求的全部分量来求x (k+1) 的所有分量，事实上的所有分量，事实上1111()( )( )inkkkiijjijjijj ixc xc xd 1111()( )( )inkkkiijjijjijj ixc xc xd 显然，在计算第显然，在计算第i个分量个分量Xi(k+1)时，时， x 1(k+1),.x i -1(k+1)已经计算出，在收敛情况下已经计算出，在收敛情况下它们肯定要比它们肯定要比x 1(k),.x i -1(k) 更接近方程组的解更接近方程组的解若对这些最新计算出的分量加以利用，若对这些最新计算出的分量

32、加以利用，也即在也即在Jacobi迭代中用迭代中用: x1(k+1),.x i-1(k+1）来代替来代替x1(k),.x i-1(k） 所得公式即为所得公式即为Gauss-seidel迭代迭代11111()()( )inkkkiijjijjijj ixc xc xd 二、二、Gauss-Seidel迭代法及其收敛条件迭代法及其收敛条件1、迭代公式、迭代公式 11111()()( )inkkkiijjijjijj ixc xc xd 其中其中 cij= -aij / aii (i=1,.,n, j=1,.,n, ji) di=bi/aii -分量形式分量形式则则Gauss-Seidel迭代可写成

33、迭代可写成:( D-L ) x (k+1) = U x (k) + bx (k+1) = ( D-L )-1 U x (k) + (D-L) 1 b记记 G = (D-L)-1 U (迭代矩阵迭代矩阵） f = (D-L)-1 b则则Gauss-Seidel迭代的矩阵形式为：迭代的矩阵形式为： x (k+1) = Gx (k) + f 2.矩阵形式矩阵形式 若若 A分解为分解为 A= D - L U, D, L,U 含义同上含义同上(1)( )( )1233220888kkkxxx(1)(1)( )2134133111111kkkxxx (1)(1)(1)3126336121212kkkxxx

34、 例例4：将例：将例1改写成改写成Gauss-seidel迭代迭代 8x1-3x2+2x3=204x1+11x2-x3=33 6x1+3x2+12x3=36jacobi迭代：迭代：Gauss-seidel迭代迭代(1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )312322088841331111116336121212kkkkkkkkkxxxxxxxxx (1)( )( )1233220888kkkxxx(1)(1)( )2134133111111kkkxxx (1)(1)(1)3126336121212kkkxxx 例例5 用赛德尔迭代法解方程组用赛德尔迭代法解方程组 12

35、31231231027.21028.354.2xxxxxxxxx 解解 将原方程组写成等价形式并构造赛德将原方程组写成等价形式并构造赛德尔迭代公式尔迭代公式(1)( )( )123(1)(1)( )213(1)(1)(1)3120.10.20.720.10.20.830.20.20.84kkkkkkkkkxxxxxxxxx开始迭代开始迭代.对比上面简单迭代对比上面简单迭代, 显然显然Gauss-seidel收敛较快收敛较快 ! 下表是下表是jacobi迭代迭代(简单迭代简单迭代)的结果的结果3.收敛性收敛性充分条件充分条件1 :方程组方程组 AX=b 的系数矩阵的系数矩阵A对称正定对称正定充分

36、条件充分条件2: 方程组方程组 AX=b 的系数矩阵的系数矩阵A严格对角占优严格对角占优充分条件充分条件3 ： 迭代矩阵迭代矩阵G的的范数范数 |G| 1充要条件充要条件 4：迭代矩阵迭代矩阵G的的谱半径谱半径 ( G ) 1例例6：考查用：考查用Gauss-seidel解下列方程组的收敛性解下列方程组的收敛性 5x1-x2-x3=3 x1+6x2-x3=6 x1+x2+3x3=5 解:系数矩阵为： 5 -1 -1 1 6 -1 1 1 3 x1(k+1)= 1/5 x2(k)+ 1/5 x3(k) + 3/5x2 (k+1) = -1/6 x1 (k+1) + 1/6 x3 (k + 1x3

37、 (k+1) = -1/3 x1 (k+1) 1/3 x2 (k+1) +5/3是严格对角占优阵是严格对角占优阵,所以所以Gauss-seidel迭代收敛迭代收敛收敛的收敛的Gauss-seidel迭代公式为迭代公式为:例例7 已知方程组已知方程组:试写出收敛的试写出收敛的jacobi和和Gauss-Seidel迭代格式迭代格式解解:由于直接分离由于直接分离x1, x2,x3不满足收敛条件不满足收敛条件,因此首先将方程组因此首先将方程组变形为变形为三、超松弛迭代（三、超松弛迭代（SOR）法及其收敛条件）法及其收敛条件1、迭代公式、迭代公式 设计算第k+1个近似解 x(k+1)时， 分量 x1(k+1) ，x2(k+1) .x i-1(k+1)已经算好，用GS