2015届高考数学一轮复习讲义：6[1].5_数列求和汇总

1、一轮复习讲义18.己知耳门是等差数列，其前门项和为S门, 帖门是等止数列，且$i=d=2, a4+d4= 27, S4-b4= 10.求数列如与如的通项公式； (2)记T Tn n=a=aA Ab by y+ + a a2 2b b2 2+.+a+.+an nb bn n, ,neN*,吓证明rn-8 =an_1bn4.1(neN*, n2) 18.解:(1)设等差数列 勺 的公差为d,等比数列 /? 的公比为q由,=/?,=2,得a a4 4= =2 + 3J, Z?4= 2，S4= 8+ 6J.。丄丄 c由条件，得方程组J2 + 3d + 2g =27,8 + 6d-2八10,i心H2“3

2、3bF2F(2iiE温”&()矗T2x2+5x22+8x23+：+(3f7 )x2q2nH2x22+5x23+:+(3n4)x2n+(3f7 )x2n+&渝H2x2+3x22+3x23+:+3x2n(3nl)x2n+H6x(l2) (3nx2212 H(3r74)x2n+?超7778H(3n4)x2n+.anv2#y丄3r?4)x2n+.吕归yTn8=an 丄bn+二nmNJ nv23Br7v2#9孕丄9+ 丄3n4)x2n+雪疋9Tn8Han 丄bn+二nmNJ77V2 （2 证明：由（1）得777=2X2+5X22+8X23 + .+（3 门一 1）X2 门，2 帀=2X2

3、2 + 5X23 +.+（3 门一 4）X2 门+（3 门一 1）X2门+1. 由一，得TnTn=2X2+3X22+3X23 + .+3X2 门一（3771）X2/7 + 1 = 一（3 门一 1） X2n+2n+1 -2=-（3n-4） X 2n+1 -8,即帀 一 8 = （3 门一 4）X2 门+1,而当门2 时，an-an-1bn+bn+1 = （3n-4） x2n+2n+1.所以，帀一 8=日门一 16 门+1, neN*,n2.n2.1数列求和常用方法(1)公式法1) )等差数列前死项和$”严=呦+(2 勺推导方 法：倒序相加法;na1等比数列前项和 S“= y、_q推导方法：乘公

4、比，错位相减法.主页要点理，忆一忆知识要点qJ2).常见数列的前项和/!( (/ +1)1 + 2+3+=2;(2)-2+4+62n= n2+n；(3)-1+3+5(2/-1)= /2；(4)- l2+22+32Hn n2 2= =(5)13+23+33+/?=_LZZL.(2) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3) 倒序相加：例如，等差数列前项和公式的推导.(4) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项 相乘构成的数列求和.(5) 裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形 式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.壬主页工忆一忆知识要点4.常见的裂项公式侖

5、击（2）（2 _ ）（）（2 +1）=丑 2 _ 1 _2 +1/ 心+材石=回_以难点正本疑点清源1.数列求和的方法（1）一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.（2）解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.2不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消 法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解

6、决.生|四审结构定芳案（14 分） （2010-山东）已知等差数列“满足：如=7, 5+7=26, 佃的前项和为 S“ 求 4及 S“；令久=注丰 WN）,求数列的前项和 7； 审题路线商等差数列“中，特定项的值（“3，“5，即为特定项）如=7,。5+。7=261 （从特定项，考虑基本量 5，d）ai+2d=l21+ 10rf=26（根据条件的结构特征，确定了方程的方法） 用公式：d“=5 + （一 1），S“=4i+；）d （将“代入化简求加）”=4（ + 1）（根据仇的结构特征，确定裂项相消）bL久一 4儿=訥_12 3 丿L_L n + 1 厂 4（+1） 规范解答解( (1)设等差数列

7、“的首项为 5,公差为么 . ! + 2J =7,因知 3 = 7, T26,所叫购+观.26, 解得存d = 2.所以 4“ -3 + 2( - 1) = 2w + 1,Il (ll - 1)7Sn= 3n +X 2 = /广 + 2n.(2)由( (1)知“ =2 + 1,所以乳I (2/1 + 1)2-!益J 1)-1( - 414(,- + 1) )= 4( + 1)，巴点评本题审题的关键有两个环节.一是根据為=7,心+ 征，确定列方程组求解.所以 Tn= |(l-| + |-f +即数列仇的前项和 G2 分6 分8分10 分12分14分二是根据数列少“的通项仇 的特征，确定用裂项相消

8、法求和.所以，在审题时， 式的结构特征确定解题方案.分组转化求和例 1 求和：（1）S”=齐译+乎+f|+. +/r#L；（2）S 产卜+扌+#+9+卜+劳.相加.写出通项 4“ = x2n+ 古 + 2,可转化为两个等比数列/, 為与常数列2的求和问题.注页：Ar 1(1)r )1+?+ 丿+33计+M+歹1乙）:$严“丄2 + 11解（1）由于 4 =刃= +尹,转化为数列和数列 寺 分别求和再fl 111 +怎+子+衣+列=(1 + 2 + 3 + +/i)(“+ 1)丄2丿2 .112咛M+I.主页(2)当 x = l 时，S = 4当 xHl 时,+宀卫0(0 一 I) -2( (1

9、_严)=X2-1+1-x2+2(x2w-l)(x+2+l)=一 1)+ 加a=i) ),zp2 013.由于 2 = 1024,2 = 2 048,所以“ +即M10 T - 2所以满足不等式2 013 的的最小值是 10 裂项相消法求和求 S”的表达式；(2)设叽=2鳥宀求仇的前项和几.T - 2若京二亍2 013,则2 + (2 - 2( - 22/1 一 12013,例 3己知数列如中,=a=a,s sn n 当工 2 时，其前项和 S”满足卫通过=(M2)消去已知等式中的 d“，构造出含 S”的新数列；求出“的通项，扌艮据通项的结构特点，确定求和方 法.即 2Sn-lS,t= Sn-l

10、 一 S，由题意 S“ i S“HO,式两边同除以 Si S“，得右-宀=2, 0/1 - 1数列圈是首项为盒匕 7 公差为 2 的等差数列.占=1 + 2（ - 1） = 2/i - 1, S = 又 2/1 + 1 (2n - 1)(2/ + 1)2X2n - 1 2 + 1 尸 Tn= bi+ b2+ + bn1ri rr 12+02 - 1 2 + 1 丿2l 2n+ 1J2n +:营探究提霸- 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留 了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对 称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.T2丿d =S一Si獰变式训练

11、3己知数列如的前项和为 S”,且心=1 畑+1=話,( =1,2,3,).求数列仏的通项公式； 当仇= log 丄( (3a“+i)时,求证:数列 b；小的前11项和2v f H )3数列仏是以2 为首项，以为公比的等比数列.又巧S1=茲1巧，aa = = a a2 2XX, , 2 2=（1），_2I 至页工二（心 2）,11=n2.21 12* I （1 + n）n 1 + n3（3）（2）证明 blog3（3a J Tog 逅忖1生|四审结构定芳案（14 分） （2010-山东）已知等差数列“满足：如=7, 5+7=26, 佃的前项和为 S“ 求 4及 S“；令久=注丰 WN）,求数列的

12、前项和 7； 审题路线商等差数列“中，特定项的值（“3，“5，即为特定项）如=7,。5+。7=261 （从特定项，考虑基本量 5，d）ai+2d=l21+ 10rf=26（根据条件的结构特征，确定了方程的方法） 用公式：d“=5 + （一 1），S“=4i+；）d （将“代入化简求加）”=4（ + 1）（根据仇的结构特征，确定裂项相消）bL久一 4儿=訥_12 3 丿L_L n + 1 厂 4（+1） 规范解答解( (1)设等差数列“的首项为 5,公差为么 .! + 2J =7,因知 3 = 7, T26,所叫购+观.26, 解得存d = 2.所以 4“ -3 + 2( - 1) = 2w +

13、 1,Il (ll - 1)7Sn= 3n +X 2 = /广 + 2n.(2)由( (1)知“ =2 + 1,所以乳I (2/1 + 1)2-!益J 1)-1( - 414(,- + 1) )= 4( + 1)，巴点评本题审题的关键有两个环节.一是根据為=7,心+ 征，确定列方程组求所以 Tn= |(l-| + |-f +即数列仇的前项和 G2 分6 分8分10 分12分14分解.二是根据数列少“ 的通项仇 的特征， 确定用裂项相消法求和.所以，在审题时， 式的结构特征确定解题方案.感悟提高方法与技巧数列求和的方法技巧倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的 求和.错位相减：用于等

14、差数列与等比数列的积数列的求和.(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的 求和.1.直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导 过程.2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列 通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为 基本数列求和，或转化为基本数列求和.求和过程中同时 要对项数作出准确判断.3.含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.失误与防主页亠 1h 课堂热点精讲例1若函数心)=苏厉，计算/(一 )+/(+1)的值， 并求7= /(_5) +八_4) +/(0) +/(5) + /(6).:/(_n)+/(/l+1)=_L_+_l_二2|1_ 2V

15、J + 1 VI1 + 2 71 2M+1+ V2(2MA/2 + 1)/2V T*m + /(O) + /+ /(6)卩=/(6) + /(5) + + /(l) + /(T + /(-5)2T = * x 12，即F = 3血倒序相加法:丁课堂热点精讲厘【归纳求和法】当通项公式审含有(-1),求和时可 以对死的奇偶进行讨论，然后分情况求和例2求S”=一1 +3-5 + (-1)(In(In一1).解：前项和S“=-l + 3-5 + 7 +(-l)(2-l),当n n为正偶数时，设n n = = 2k2kGN*,S S2k2k=一1+3-5+7 +-(低一3) +(僦一1)=(一1+3)+

16、(-5+7)+-(猱一3)+(嫁一1) =2k2k；又S S2k2k_ _x x= =SS -a-a2k2k= = 2k2k_(4& _1) = _(2上 _ ).S=(1)5 【点评】 此种方法是针对于奇.偶数项， 要考虑符号的 数列，要求S，就必须分奇偶来讨论.u_* 常ryi当狞1且好1时有：-n-n1 1+n+n2 2， S Sn n= = n na(l-aa(l-aH H) )i +.-X 心ZH1 分组求和法【点评】对等比数列当公比为含字母的常量时要进行分类讨论.易错警示魏(1(1求S=L+aS=L+a + + a a2 2+a+a5 5+ + +a+a1111的值.解:当

17、a a= 0时，5=1.当。=1时，S =1 + 1 +1= +1 +1个当好0,且atat1时，S S=与起1 1a a丫五堂热点精讲丿【例3】求S”=一()+3-2)+；0-n)-n)的值.解：S=(a+/+ +a)(1+2+ )1当a=0时有：S”=_;2当*1时有；，厂沁也27o _( (1一a)1 +1-a1-a2 2xn.xn.1-a1-a2 2V主页H4- 一；厂课堂热点精讲卫例4.（06 全国I ）设数列勺的前n项的和5=f-lx2+*+J,neN*.（I）求首项厲与通项勺:“3N*,证明：i=i2得0=3=36/_*2-+亏，aY= 2.丨上上由S,一严加一卜2”+#,详2,

18、-得：an=S” -S”_=申(a”-a”_)-*(2小-2),”M2,整理得：5 =4。+2少M 2.号=2笋+1，即乍+1 = 2（第+1）所以数列鶉+1是首项为2,公比为2的 等比数列，2绍 +1 = 2 X 2-1, an= 4一2n主页工Ie一,1 a|X2,I+1+，-T”设把= 4 - 2n代入，得S厂扌(半_2)_莽2阳+舟令T T = = t t9 9呻)舟+ | =彳2_3( (+2) )= = j(2t-1)(1-2)j(2t-1)(1-2) 把 =4 - 2代入，得=3x(r=t=-x2(2L_ L_)2 12”科一1S” = #(42) x2+令2 = t,=1 (2

19、+i尸 _3 x 2Z,+1+2 = | (2+i 1)(2M+1- 2).T =2i=3xwS2 (2曲_1)(2一1)号(1护产諾(右-誌3) )=2X( (2h2解：（基本思路1）兀=1时， 佝=S=却1一x2? +孑,的=2; n三2时,由a” = S” - S”，得5 =牝_1 + 2（ =2,3,4）+ 2H(n = 2 3 4 - )解法一（构造1）心*j+2o=2x岁 +222 一12小一1) ) o 二+1 =2(七+1)22i色=乜_1+2（ =2吕4）法二（构造2）由 =滋心+2，得5+2=4（卩一+2山）解法三（构造 3）J =北”+ 2。叫一如-=2。影一治=（|）M以下又有两种方法：（1）叠加（2）继续转化为务-斧H（W） o 务+（|r =斜+（jr1色=电一+25 = 2吕4) )法四：(迭代% = 4,一 + 2 = 4(4,_2+ 2-1) + 2=42 2 + 4 x 2一 4- 2= (4/ 從+22+4X2-+2=4 牯_3 + 4? X 2一 2 + 4 X 2i + 2=4-1 x 2 + 4-2 x 2? + 4 x 2 彳 -4 x 2- + 22 (1 2) =- =少