高中数学圆锥曲线轨迹问题题型分析

1、.; y x Q M N O 有关圆锥曲线轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数” ，将“曲线”转化为“方程” ，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函

2、数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。求轨迹方程的的基本步骤：求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建建（坐标系）设设（动点坐标）现现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代代（动点、已知点坐标代入）化化（化简整理）检验检验（要注意定义域“挖”与“补” ）求轨迹方程的的基本方法：求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。1 1直接法直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含 x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为

3、直接法；例例 1 1、已知直角坐标系中，点 Q（2，0） ，圆 C 的方程为122 yx，动点 M 到圆 C 的切线长与MQ的比等于常数)0(，求动点 M 的轨迹。【解析】设 MN 切圆 C 于 N，则222ONMOMN。设),(yxM,则2222)2(1yxyx化简得0)41 (4)(1(22222xyx（1） 当1时，方程为45x，表示一条直线。（2） 当1时，方程化为2222222) 1(31)12(yx表示一个圆。如图，圆1O与圆2O的半径都是 1，124O O . 过动点P分别作圆2O、圆2O的切线PM PN，（M N，分别为切点） ，使得2PMPN. 试建立适当的坐标系，并求动点P

4、的轨迹方程.【解析】以12O O的中点O为原点，12O O所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1( 2 0)O ，2(2 0)O，.;由已知2PMPN，得222PMPN.因为两圆半径均为 1，所以221212(1)POPO .设()P x y，则2222(2)12(2)1xyxy ，即22(6)33xy.(或221230 xyx)评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补” 。2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。2 2定义法：定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥

5、曲线的定义） ，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。例例 2 2、已知动圆过定点,02p，且与直线2px 相切，其中0p .求动圆圆心C的轨迹的方程；【解析】如图，设M为动圆圆心，,02p为记为F，过点M作直线2px 的垂线，垂足为N，由题意知：MFMN即动点M到定点F与定直线2px 的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中,02pF为焦点，2px 为准线，所以轨迹方程为22(0)ypx P； 已知圆 O 的方程为 x2+y2=100,点 A 的坐标为（-6，0） ，M 为圆 O 上任一点，AM 的垂直平分线交 OM 于点 P，求点 P

6、 的方程。【解析】由中垂线知，PMPA 故10OMPOPMPOPA，即 P 点的轨迹为以A、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0） ，故 P 点的方程为1251625)3(22yx已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线 l 于点 A，又过 B、C 作O异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.【解析】设过 B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、E 两点， 两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA

7、|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆，以 l 所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，yxONMP,02p 2px .;lOPEDCBA可求得动点 P 的轨迹方程为：2218172xy评析：定义法的关键是条件的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。三三、相关点法相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点Q(x ，y)的运动而有规律的运动，且动点 Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将 x,y表示为 x,y 的式子，再代入 Q 的轨迹方程，然而整理得 P 的轨

8、迹方程，代入法也称相关点法。几何法：几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。例例 3 3、如图，从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为 N。求线段 QN 的中点 P的轨迹方程。【解析】设动点 P 的坐标为（x,y）,点 Q 的坐标为（x1,y1）则 N（ 2x-x1,2y-y1）代入 x+y=2,得 2x-x1+2y-y1=2又 PQ 垂直于直线 x+y=2，故111xxyy，即 x-y+y1-x1=0由解方程组得12321, 1212311yxyyxx, 代入双曲线方程即可得 P 点的轨迹方

9、程是 2x2-2y2-2x+2y-1=0已知椭圆)0( 12222babyax的左、右焦点分别是 F1（c，0） 、F2（c，0） ，Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足. 0| , 022TFTFPT求点 T 的轨迹 C 的方程；【解析】解法一： （相关点法）设点 T 的坐标为).,(yx当0|PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上.当|0|0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT .又|2PFPQ ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.设点 Q 的坐标为（yx,） ，则.2,2yycxx因此.2,2yy

10、cxx.;由aQF2|1得.4)(222aycx将代入，可得.222ayx综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx解法二： （几何法）设点 T 的坐标为).,(yx当0|PT时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上.当|0|0|2TFPT且时，由0|2 TFPT，得2TFPT .又|2PFPQ ，所以 T 为线段 F2Q 的中点.在QF1F2中，aQFOT|21|1，所以有.222ayx综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是.222ayx评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。四、参数法：四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐

11、标之间的关系，则可借助中间变量（参数） ，使 x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。例例 4 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=x2上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足AOBO（如图 4 所示）.求AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以 OA 的斜率 k 为参数由2ykxyx解得 A（k，k2）OAOB，OB：1yxk 由21yxkyx 解得B211,k k设AOB的重心G（x，y） ，则22113113xkkykk消去参数k得重心G的轨迹方程为2233yx解法二：设AOB 的重心为 G(x,y),A(x

12、1,y1),B(x2,y2),则332121yyyxxx（1）OAOB 1OBOAkk,即12121yyxx，(2)又点 A，B 在抛物线上，有222211,xyxy，代入（2）化简得121xx.; O G B A y x P l 32332)3(312)(31)(3132221221222121xxxxxxxxyyy所以重心为 G 的轨迹方程为3232 xy。如图，设抛物线2:xyC的焦点为 F，动点P 在直线02: yxl上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B两点.求APB 的重心 G 的轨迹方程.【解析】设切点 A、B 坐标分别为)(,(

13、),(0121120 xxxxxx和，切线 AP 的方程为：; 02200 xyxx切线 BP 的方程为：; 02211xyxx解得 P 点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以APB 的重心 G 的坐标为PPGxxxxx310，,343)(3321021010212010pPPGyxxxxxxxxxyyyy所以243GGpxyy，由点 P 在直线l上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：).24(31, 02)43(22xxyxyx即评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常

14、见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立 n+1 个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少） 。五、交轨法：五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例例 5 5 、抛物线)0(42ppxy的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线AB 上的射影 M 的轨迹。.;解解 1 1 （交轨法交轨法） ： 点 A、B 在抛物线)0

15、(42ppxy上， 设 A（),42AAypy，B（),42BBypy所以 kOA=Ayp4kOB=Byp4, 由 OA 垂 直 OB 得 kOAkOB=-1 ， 得 yAyB=-16p2, 又 AB 方 程 可 求 得)4(44222pyxpypyyyyyABABAA，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得 AB 方程（yA+yB）y-4px+16p2=0又 OM 的方程为xPyyyBA4由消去得 yA+yB即得0422pxyx，即得2224)2(pypx。所以点 M 的轨迹方程为2224)2(pypx，其轨迹是以)0 ,2( p为圆心，半径为p2的圆,除

16、去点（0，0） 。评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。解解 2 2（几何法（几何法） ：由解 1 中 AB 方程（yA+yB）y-4px+16p2=0 可得 AB 过定点（4p,0）而 OM 垂直 AB，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0 ,2( p为圆心，半径为p2的圆。所以方程为2224)2(pypx，除去点（0，0） 。五、向量法：五、向量法：例例 6 6 、（1995 全国理）已知椭圆如图 6，162422yx1，直线L：812yx1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R

17、，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线总结：总结：以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：1.高考方向要把握高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。2.“轨迹” 、 “方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量） 。3.抓住特点选方法处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要

18、善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不图 6.;再重复） 。4.认真细致定范围确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：准确理解题意，挖掘隐含条件；列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价；消参时要保持范围的等价性；数形结合，查“漏”补“缺” 。5. 平几知识“用当先”在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有：题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；简化条件式；转化化归。6.向量工具“用自如”向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的

19、各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握， 并能运用自如。巩固练习：1. 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4 的距离的比为 2, 则动点M的轨迹方程为().A.13422yxB.13422yxC. 3x2-y2-34x+65=0D. 3x2-y2-30 x+63=0(目的: 掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤, 同时掌握双曲线第二定义, 避免错误使用)答案:D解析:24) 1(22xyx, 两边平方即得 3x2-y2-30 x+63=02 .P是椭圆191622yx上的动点, 作PDy轴,D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为().A.116922

20、yxB.196422yxC.14922yxD.19422yx(目的: 掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤, 理解其适用的题型)答案: D解析: 设PD中点为M(x,y), 则 P 点坐标为(2x,y), 代入方程191622yx,即得19422yx.3. 已知双曲线12222byax,(a0,b0),A1、A2是双曲线实轴的两个端点,MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A1M与A2N交点的轨迹方程是().;A.12222byaxB.12222bxayC.12222byaxD.12222bxay(目的: 熟悉参数法求轨迹方程的基本思路, 理解相交点轨迹方程的解题技巧)答案: A 解析: 设M(x1,y1),N(x1, -y1),A1M与A2N交点为P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0), 则A1M的方程是axaxyy11,A2M的方程是axaxyy11, 两式相乘, 结合1221221byax即得.4. 抛物线的准线l的方程是y=1, 且抛物线恒过点P(1,-1), 则抛物线焦点弦的