计算机数学基础18

1、例4,判断下列函数是否是满射、单射、双射。(1)f:NZ,F(n)=小于n的完全平方数的个数f(n)=<0、0>,<1,1>,<2,2>,<3,2>,<4,2>,<5、2>例:f(48)=7 f(49)=7 f(50)=8,不是单射,48,49的像均是7,不是满射,因负数没有原像。如f:N-N,则f是满射。(2)f:RR,f(a)=2a+5yR存在X=(Y-5)/2使得F(X)=Y,则F是满射。如x1,x2R,X1X2,则2x1+52x1+5,即f(x1)f(x2)所以:f是单射从而F(x)=是双射(3)f:RZ,f(a)

2、=a,a是取整函数,表示不大于a的最大整数。 F是满射,但不是单射,从而也不是双射。(4)f:z+R,f(n)=Lgn,z+为正整数集合。f不是单射也不是满射。3、常用函数:定义29：(1)f是A到B的函数,存在一个bB,使的aA,f(a)=b(2)恒等关系,集合A上的恒等主要是AA的函数,即aA,IA(a)=a,IA是双射。(3)单调递增函数和单调递减函数、f:RR 的函数。(4)特征函数:设A为一个集合,BA ,子集B的特征。 函数XB是AE=的映射,定义为: XB=1,aB; XB=0,aA-B(5)自然映射:设R是A上的余角关系,g是A到A/R上的映射,即g(a)=a(a是a生成的等价

3、类)称g是A到A/R的自然映射。例:A=1,2,3,4,B=1,4,则B的特征函数, XB(1)=1, XB(2)=0,XB(3 )=0, XB(4)=1例:A=a,b,c,R=<a,b>,<b,a>IA,等价类a=b=a,b,c=c,A/R=a,b,c,则g(a)=g(b)=a,g(c)=c。二、复合函数定义30:函数f:AB,g:BC,则复合关系fg 称为函数f和g的复合函数定理17:设函数f:AB,g:BC,则复合称fg 是从A到C 的函数,而且aA,(fg)(a)=g(f(a)证:因f是函数,aA 存在唯一bB,f(a)=b,因g是函数存在唯一的c使得g(b)=

4、c,g(f(a)。而根据复合关系,<a,c>fg,由此可知a ,存在唯一cC,使得(fg)(a)=c,所以,fg满足函数条件且(fg)(a)=g(f(a)例5:使集合A=a,b,c,A上的两个函数:F=<1,3>,<2,1>,<3,3>, g=<1,2>,<2,1>,<3,3>则fg=<1,3>,<2,2>,<3,1>,gf=<1,1>,<2,3>,<3,2>ff=<1,2>,<2,3>,<3,1>,ff

5、f=<1,1>,<2,2>,<3,3>=IA例6:R上的三个函数,f(a)=3-a,g(a)=2a+a h(a)=a/3则(fg)(a)=g(f(a)=g(3-a)=2(3-a)+1=7-2a(gf)(a)=f(g(a)=f(2a+1)=2-2a(fg)h)(a)=h(fg)(a)=h(g(f(a)=h(7-2a)=(7-2a)/3定理18:设函数F:AB;g:BC ;h:DC,则 f(gh)=(fg)h由复合关系运算的结合中主即可以到复合函数的结合律定理19:设函数f:AB ,g:BC 则:(1) 若f和g都是满射,则fg 也是满射；(2) 若f和g都是单

6、射,则fg 也是单射；(3) 若f和g都是双射,则fg 也是双射。证明: (1)ZC 因g是满射,则存在yB ,使g(g)=z,因f 满射,对于yB,存在xA,使得f(x)=y,g(f(x)=z 即(fg)(x)=z ,所以,fg 是满射。(2)设x1,x2 A,X1=X2,由f 单射,f(x1) f(x2),设g1=f(x1),y2=f(x2)因g 是单射,则由Y1 Y2 设g(y1) g(y2)即g(f(x1) g(f(x2)即(fg)(x) (fg)(x2)所以:fg 是单射。（3）由(1)(2)可以得到注意：定理的递定理,并不成立,即fg 是满射,未必fg 均是满射;xyzabcd12ABCfgfg 是单射,未必fg 均是单射。fg 是满射,f不是满射xyzabcd123ABCfgfg 是单射,g不是单射定理20:设函数f:AB,g:BC,(1) 若fg 是满射,则g 是满射(2) 若fg 是单射,则g 是单射(3) 若fg 是双射,则g 是双射证明: (1)ZC因fg 是满射,所以,存在xA ,使fg(x)=z即g(f(x)=c,由函数的存在性,存在yB,f(x)=y,所以g(y)=C,所以g是满射。(2)x1,x2A ,若x1x2 ,因fg 单射,所以fg(x1)fg(x2),即g(f(x1)g(f(x2),令y1=f(x1),y2=f(x2),