工程力学第13讲 扭转：内力和薄壁圆筒应力

1、1提问1 什么叫作静定问题？ 答案： 静定问题是只用平衡方程只用平衡方程便可以求出所有约束力的问题。在静定问题中，约束力的数目等于等于独立平衡方程的数目。2提问2 什么叫作静不定问题？ 答案： 静不定问题通过平衡方程不能求出全部约束力的问题。在静不定问题中，约束力的数目大于大于独立平衡方程的数目。3提问3 什么叫作静不定度？ 答案： 静不定度是指需要求解的未知量的数目与独立平衡方程的数目之差之差。4提问4 求解静不定问题的约束力，需要列出平衡方程和补充方程，补充方程是通过列哪两个方程获得 的？ 答案： 变形协调方程和物理方程。变形协调方程和物理方程。变形协调方程获得变形量之间的关系，物理方程获

2、得变形量与杆件内力之间的关系，综合这两个方程便可获得内力之间的某种关系。 与平衡方程联立，便可求出所有的未知量。5提问5 四种基本变形 答案： 拉伸压缩 剪切挤压 扭转 弯曲6第 9 章 扭 转 7 1 引言 2 动力传递与扭矩 3 切应力互等定理与剪切胡克定律4 圆轴扭转横截面上的应力5 圆轴扭转强度与合理设计6 圆轴扭转变形与刚度条件7 非圆截面轴扭转简介 8本节重点、难点 重点 扭转的受力特点和变形特点 扭转变形的内力图 切应力互等定理 薄壁圆筒横截面上切应力公式 难点 内力正负号的规定 切应力互等定理的推导91 引 言 扭转实例扭转实例 扭转及其特点扭转及其特点10 扭转实例扭转实例1

3、1 扭转实例扭转实例FF12M13 扭转及其特点扭转及其特点14 扭转及其特点扭转及其特点外力外力特征：特征：作用作用面垂直于杆轴的力偶面垂直于杆轴的力偶15 扭转及其特点扭转及其特点变形特征变形特征：各横截面间绕轴线作相：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线对旋转，轴线仍为直线仍为直线扭转变形扭转变形16 扭转及其特点扭转及其特点轴轴： 以扭转为主要变形以扭转为主要变形的杆件的杆件扭力偶矩：扭力偶矩：扭力偶之矩扭力偶之矩扭力偶矩扭力偶矩或或扭力矩扭力矩扭扭 力力 偶偶：作用面垂直于杆轴的力偶作用面垂直于杆轴的力偶扭力偶扭力偶172 动力传递与扭矩 功率、转速与扭力偶矩的关系功率、转速与扭力偶矩的

4、关系 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 例题例题18 功率、转速与扭力偶矩的关系功率、转速与扭力偶矩的关系19 功率、转速与扭力偶矩的关系功率、转速与扭力偶矩的关系已知：动力装置的输出功率动力装置的输出功率 P（kW）, ,转速转速 n（r/min）试求：传递给轴的扭力偶矩传递给轴的扭力偶矩 M（N.m） PM321060 nPMmin/rkWmN9549nPM 设设角速度为角速度为 (rad/s)推导推导P（kW）n（r/min）20例例: P5 kW, n=1450 r/min, 则则5 9549(N m) 32.9 N m1450 M例题例题min/rkWmN9549nPM 21 扭矩与扭矩图扭

5、矩与扭矩图22回顾 拉压杆件横截面上的内力叫作什么？拉压杆件横截面上的内力叫作什么？ 答案：轴力答案：轴力扭矩扭转杆件横截面上的内力扭转杆件横截面上的内力扭矩定义扭矩定义矢量方向垂直于横截面的矢量方向垂直于横截面的内力偶矩内力偶矩， 并用并用 T 表示表示23符号规定符号规定按按右手螺旋法则右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，将扭矩用矢量表示， 矢量方向与横截面外法线方向一致矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负的扭矩为正，反之为负扭矩回顾 轴力的符号是怎样规定的？轴力的符号是怎样规定的？ 答案：外法线方向为正答案：外法线方向为正 右手螺旋法则是怎样的？右手螺旋法则是怎样的？ 答案：答

6、案：叉积叉积运算：若两个运算：若两个矢量矢量（数学上称（数学上称向量向量）叉乘叉乘AB=C，则矢量，则矢量C的方向满足右手螺旋法则的方向满足右手螺旋法则。伸出右手，四指弯曲，四指与。伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到旋转到B方向一方向一致，那么大拇指指向为致，那么大拇指指向为C向量的方向。向量的方向。24取代表性截面分析各段的内力取代表性截面分析各段的内力扭矩图表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）曲线） 扭矩图扭矩图求各段代表性截面的内力方程求各段代表性截面的内力方程25 例例 题题26= ()ATMmx m lx列平衡方程得：AMml约束力偶例题2-1（m

7、轴单位长度内的扭力偶矩轴单位长度内的扭力偶矩）试分析轴的扭矩试分析轴的扭矩maxTml从扭矩图看出 例例 题题27 例例 题题例 2-2 MA=76 N m, MB=191 N m, MC=115 N m, 画扭矩图画扭矩图解：mN 761 AMT20CTM列平衡方程：mN 1152 CMTmax115 N mT从扭矩图看出，283 切应力互等定理与剪切胡克定律 薄圆管的扭转切应力薄圆管的扭转切应力 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 例题例题29 薄壁圆管扭转切应力薄壁圆管扭转切应力30 当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的各圆周线的大小与间距均大小与间距均不改变不改变

8、试验现象 各圆周线各圆周线的长度和形状的长度和形状不变不变, ,仅绕轴线作相对转动仅绕轴线作相对转动（1）外表面没有正应力，只有切应力）外表面没有正应力，只有切应力（2 2）由于）由于管壁薄，可近似认为管内变形与管管壁薄，可近似认为管内变形与管表面相同，均仅存在切应变表面相同，均仅存在切应变g g 。 薄壁圆管扭转切应力薄壁圆管扭转切应力31RT202 20T 假设：切应力沿壁厚均匀分布假设：切应力沿壁厚均匀分布 202 R 应力公式适用范围：适用范围：适用于所有匀质薄适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹性、线壁杆，包括弹性、非弹性、线性与非线性等情况性与非线性等情况精度精度：线弹性情况下线弹

9、性情况下, ,当当 R0/10 时时, ,误差误差 4.53%0dR0R32 切应力互切应力互等定理等定理33在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向则均指向或离开该交线等，方向则均指向或离开该交线切应力互等定理切应力互等定理 切应力互切应力互等定理等定理34微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态纯剪切纯剪切纯剪切纯剪切35纯剪切状态下切应力互等定理的证明xyz0 xM yzzyyzyzzyyzzy36任意应力状态下切应力互等定理的证明yxzxyxyyxyxyzyzxzzyzxzyzxxzyyzzxx

10、37 剪切剪切胡克定律胡克定律 剪切剪切胡克定律胡克定律引入比例常数引入比例常数Gg g g g G 在剪切比例极限内，切应力与在剪切比例极限内，切应力与切应变成正比切应变成正比剪切胡克定律G切变模量切变模量，其量纲与应力相同，常用单位为，其量纲与应力相同，常用单位为GPaGPa 8075 E钢与合金钢：钢与合金钢：GPa 3026 E铝合金：铝合金：实验表明：当切应力实验表明：当切应力 不超过一定限度不超过一定限度 p 时时39 例例 题题40 例例 题题例 3-1 图示板件图示板件, 边宽为边宽为a, 已知已知 D Ds = a/1000, G = 80 GPa, , 试求板边切应力试求板边切应力 = ?解：g g G )rad100 . 1)(Pa1080(39 注意注意：g g 虽很小，但虽很小，但 G 很大，很大，切应力切应力 不小不小MPa 80 10001tan asg gg g 为一很小的量，所以为一很小的量，所以rad100 . 1tan3 g gg g41例 3-2 一薄壁圆管，平均半径为一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，壁厚为 ，长度为，长度为l，横截面上的扭矩为横截面上的扭矩为T，切变模量为，切变模量为G，试求扭转角试求扭转角j j。解： 202 RT G g g 202 GRT xRdd0g gj