第二章连续系统的时域分析

1、第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析本章主要研究对于本章主要研究对于连续系统连续系统而言，如何而言，如何根据根据响应和激励之间的响应和激励之间的微分方程求得给定激励的微分方程求得给定激励的响应响应。由于分析是在时间域内进行的，所以。由于分析是在时间域内进行的，所以称为称为时域分析时域分析。这种方法比较直观，物理概。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。由于描述线性时不变的连续系统的数学模型由于描述线性时不变的连续系统的数学模型是常系数线性微分方程，对这类系统的分析是常系数线性微分方程，对这类系统的分析就是求解其相应的微

2、分方程。就是求解其相应的微分方程。2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3 卷积积分卷积积分2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t) +an-1y (n-1)(t) + a1y(1)(t)+a0y (t) =bmf(m)(t) +bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) +b0f (t)微分方程的经典解：微分方程的经典解：y(t)(完全解完全解) =yh(t)(齐次解齐次解) +yp(t)(特解特解）齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分

3、方程: :y(n)(t) +an-1y (n-1)(t) + a1y(1)(t)+a0y (t) = 0 的解。的解。yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。确定。特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。自由响应自由响应强迫响应强迫响应例：描述某例：描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 tftytyty 65求当求当 tetf 2，t 0；y(0)=2，y(0)=-1时的解。时的解。解：解： 根据特征方程求该微分方程的齐次解；根据特征方程求该微分方程的齐次解；特征方程为：特征方程为：2 +5+ 6=0 1= 2，2

4、= 3。齐次解齐次解：yh(t) =C1e 2t +C2e 3t 由由f(t)求该微分方程的特解；求该微分方程的特解；当当f(t) =2 e t时，设特解为：时，设特解为：yp(t) = Pe t代入微分方程得：代入微分方程得：P e t + 5(P e t ) +6P e t =2 e t解得：解得：P = 1特解特解: : yp(t) = e t 全解全解=齐次解齐次解+特解。特解。y(t) =yh(t) +yp(t) = C1e 2t +C2e 3t + e t待定常数待定常数C1, C2由初始条件确定由初始条件确定。 y(0)=2，y(0)=-1y(0) = C1 + C2+ 1=2y

5、(0) = 2 C1 3 C2 1= 1C1 = 3 C2 = 2 全解：全解：y(t) = = 3e 2t 2e 3t + e t t0二、关于二、关于0+与与0-初始值初始值上题在确定微分方程的解时，用响应即其各阶导上题在确定微分方程的解时，用响应即其各阶导数的初始值代入方程求出了待定系数。数的初始值代入方程求出了待定系数。如果系统的激励信号是前述讨论过的如果系统的激励信号是前述讨论过的阶跃函数阶跃函数或或冲激函数冲激函数，则初值的确定就有所变化。，则初值的确定就有所变化。设开始时，开关设开始时，开关S打到打到1，该电路系统达到稳定状，该电路系统达到稳定状态，则电容上的初始电压为态，则电容

6、上的初始电压为0；若在若在t=0时刻，开时刻，开关打到关打到2，则在此瞬间，电容上的电压值将跳变为则在此瞬间，电容上的电压值将跳变为V。即输入激励在。即输入激励在t=0时刻发生了跃变。从而使响时刻发生了跃变。从而使响应的初始状态从应的初始状态从0-到到0+时刻发生了突变。时刻发生了突变。由电阻由电阻R和电容和电容C构成了简构成了简单的单的RC并联电路。设系统并联电路。设系统的响应为电容上的电压的响应为电容上的电压Uc(t)。激励信号为电源激励信号为电源V。Uc(t)SR12+-V假定激励在假定激励在t=0时刻接入，我们可以将初始值分解时刻接入，我们可以将初始值分解为两部分：为两部分：0-时刻的

7、初值及时刻的初值及0+时刻的初值。时刻的初值。0-时刻的初值是系统激励尚未接入的前一瞬时，由时刻的初值是系统激励尚未接入的前一瞬时，由系统的历史状况决定的。系统的历史状况决定的。起始条件（初始状态）起始条件（初始状态）0+时刻的初值是激励接入到系统后的一瞬间系统的时刻的初值是激励接入到系统后的一瞬间系统的初值，它包含激励对其所起的作用。初值，它包含激励对其所起的作用。初始条件初始条件通常，通常，t=0-时刻的值比较容易求得。则时刻的值比较容易求得。则t=0+时刻的时刻的初值取决于初值取决于0-时刻的初值以及激励的形式。时刻的初值以及激励的形式。如何由系统如何由系统0-时刻的初值求时刻的初值求0

8、+时刻的初值？时刻的初值？例：描述某例：描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 tftftytyty6223 已知：已知：y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)求：求：y(0+)和和y(0+)。可以用可以用判断判断微分方程两端微分方程两端奇异项系数是否相等奇异项系数是否相等的的方法来求解。方法来求解。解解：将输入：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得y”(t) +3y(t) +2y(t) =2(t) +6(t)在在0-t0后激励又后激励又为为0。因此冲激响应的作用实际上是使系统的初始状。因此冲激响应的作用实际上是使系统的初始状态在态在t=0时刻发生了跃变。

9、时刻发生了跃变。因此，求解系统的冲激响应相当于求该系统的零输因此，求解系统的冲激响应相当于求该系统的零输入响应。而系统的初始状态被冲激函数改变了入响应。而系统的初始状态被冲激函数改变了。(1) 求求h(j)(0+)。用判断奇异项系数平衡的方法。用判断奇异项系数平衡的方法。(2) 求方程的齐次解，即系统的零输入响应。求方程的齐次解，即系统的零输入响应。(3) 代入初值求出待定系数。代入初值求出待定系数。对于对于n阶微分方程来说，若方程右端的激励形式为阶微分方程来说，若方程右端的激励形式为f(t)，即：即： tftyatyatynnn 011该方程冲激响应的各初值即为：该方程冲激响应的各初值即为：

10、 11002, 1 , 000011nnjjhhnjhh 00065hhtththth 对本例：对本例：1=-2， 2=-3 tteCeCth3221 将将h(0+)=1，h(0+)=0代入，即得：代入，即得： tteeth32 (t 0)即：即： teethtt 32 上述求得了系统激励形式为上述求得了系统激励形式为f(t)时对应的冲激响应：时对应的冲激响应： tftyatyatynnn 011如何求解以下形式微分方程的冲激响应如何求解以下形式微分方程的冲激响应？ tyatyatynnn011 tfbtfbtfbmmmm011 thtf thtf thtfmm tfbtfbtfbmmmm01

11、1 thbthbthbmmmm011 例：描述系统的微分方程为例：描述系统的微分方程为 tftftftytyty3265 求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 0006511111hhtththth对于微分方程 teethtt321冲激响应)(3)(2)()(111thththth 解：解：)(3)(2)()(111thththth teethtt321 teethtt32132 teetthtt32194)( teetththththtt3211163)()(3)(2)()( 二、阶跃响应二、阶跃响应一个一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数

12、所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用阶跃响应，用g(t)表示。表示。 tgt 阶跃响应是激励为阶跃信号时系统的零状态响应。阶跃响应是激励为阶跃信号时系统的零状态响应。线性非时变系统g(t)(0)001tu(t)g(t)0tu(t)由阶跃函数和冲激函数之间的关系：由阶跃函数和冲激函数之间的关系： dxxtt dxxhtgt 阶跃响应和冲激响应之间的关系为：阶跃响应和冲激响应之间的关系为：例：如图所示例：如图所示LTI系统，求其阶跃响应。系统，求其阶跃响应。 +-3212+- tf ty tx tx tx 解：对于左边加法器输出：解：对于左边加法

13、器输出：)(2)(3)()(txtxtftx )2()(2)()(txtxty) 1 ()()(2)(3)(tftxtxtx 即：即：对于右边加法器输出：对于右边加法器输出：)(2)()(2)(3)(tftftytyty 由由(1)、(2)得得:考虑考虑)()(2)(3)(tftytyty 假设其阶跃响应为假设其阶跃响应为)(tgf则系统的阶跃响应为则系统的阶跃响应为)(2)()(tgtgtgff分析分析:因此，先求解因此，先求解)(tgf02322, 121120P5 . 00P teCeCtgttf5 . 0)(221)(2)()(2)(3)(tftftytyty 求阶跃响应求阶跃响应g(

14、t)0)0()0()()(2)(3)( fffffggttgtgtg即求解方程即求解方程特征根：特征根：特解：特解：对于对于n阶微分方程来说，若方程右端的激励形式为阶微分方程来说，若方程右端的激励形式为f(t)，即：即： tftyatyatynnn 011该方程阶跃响应的各初值即为：该方程阶跃响应的各初值即为： 1, 1 , 0000njhhjj对本例对本例0)0()0(ffgg teCeCtgttf5 . 0)(221 teetgttf5 . 05 . 0)(2 teetgttf2)( teetgtgtgttff123)(2)()(25 . 0, 121CC代入求得：代入求得：2.3 卷积积

15、分卷积积分前面讨论了如何求解系统的冲激响应。即输入激前面讨论了如何求解系统的冲激响应。即输入激励为冲激信号时，系统的零状态响应。励为冲激信号时，系统的零状态响应。卷积积分的原理：任意信号卷积积分的原理：任意信号f(t)可以分解为一系可以分解为一系列冲激信号的线性组合，如果已知了某系统的冲列冲激信号的线性组合，如果已知了某系统的冲激响应，利用系统的线性及时不变性即可求出对激响应，利用系统的线性及时不变性即可求出对应于应于f(t)的零状态响应。的零状态响应。一、卷积积分一、卷积积分前章定义冲激函数时定义了面积为前章定义冲激函数时定义了面积为1的窄脉冲：的窄脉冲： thtpnn thtpnnnn l

16、imlim t th kf如何建立如何建立f(t)与与pn(t)之间的联系？之间的联系？第第k个窄脉冲可以用变换后的个窄脉冲可以用变换后的pn(t)来表示：来表示： ktpkfn则则f(t)可以表示为无穷多个这样的窄脉冲之和：可以表示为无穷多个这样的窄脉冲之和： knktpkftf 相应的，系统的响应可表示为：相应的，系统的响应可表示为： knfkthkfty knktpkftf knktpkf 当当0 时，可将时，可将 写作写作 d， k写作写作并将求和符号改为积分号。则并将求和符号改为积分号。则f(t)可写为：可写为：， knnktpkftf 0lim dtf同理，对同理，对yf(t)来说

17、：来说： knfkthkfty knnkthkf 0lim dthf dtftf dthfty以上形式的运算称为以上形式的运算称为卷积积分卷积积分。(1)式表明式表明f(t)是它本身与冲激函数的卷积；是它本身与冲激函数的卷积；(2)表明系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积表明系统的零状态响应是激励与冲激响应的卷积。(1)(2)一般地，如有两个函数一般地，如有两个函数f1(t)与与f2(t)，积分：积分： dtfftf21称为称为f1(t)与与f2(t)的卷积。记为的卷积。记为 tftftf21 例例: : 已知某线性非时变已知某线性非时变( (LTI)LTI)系统数学模型为系统数学模型为 输

18、入激励输入激励 , ,试用卷积积分法求系统的零状试用卷积积分法求系统的零状 态响应态响应 。 )()(2)(3)(tftytyty )()(tetft)(tyf解解: 先求先求h(t)02322, 121特征根：特征根： tteCeCth221将将h(0+)=1，h(0+)=0代入，即得：代入，即得： teethtt2由于激励由于激励 和冲激响应和冲激响应h(t)均为因果函均为因果函数，因此，在数，因此，在t0时，有时，有 )()(tetft)()()(thtftyftttdeee0)(2)()(ttttdeede020) 1(2ttteete即：即：)()()(2teetetytttfttt

19、eete2 利用卷积求零状态响应利用卷积求零状态响应系系 统统建立系统的数学模型（微分方程）建立系统的数学模型（微分方程）求微分方程的特征根求微分方程的特征根求零状态响应求零状态响应 )()()(tfthtyf求单位冲激响应求单位冲激响应 )(th求零输入响应求零输入响应 )(tyx全响应全响应 tytytyfx问题：如何确定系统零状态响应的时间范围？问题：如何确定系统零状态响应的时间范围？的时间范围是多少？则零状态响应若)()(,)(4321tyttttftttthf分析：分析：)(t21)(tttth的组合可分解为)()(ttf)(3tt 2313)(tttttth)(4tt 2414)(

20、tttttth3231ttttt4241ttttt4231)(ttttttyf卷积积分上、下限的讨论：卷积积分上、下限的讨论： dtfftftftf2121(1) 若若f1(t)与与f2(t)均为因果信号，则上、下限可写为：均为因果信号，则上、下限可写为： tdtfftftftf02121 02121dtfftftftf tdtfftftftf2121 dtfftftftf2121(3) 若若f1(t) 为一般无时限信号，为一般无时限信号，f2(t)为因果信号，则：为因果信号，则：(4) 若若f1(t)与与f2(t)均为一般无时限信号均为一般无时限信号，则上、下限应为：则上、下限应为：(2)

21、若若f1(t) 为因果信号，为因果信号，f2(t)为一般无时限信号，则：为一般无时限信号，则：例：设例：设 tetft213 ttf22 223 ttf 求求 tftf21 tftf31 解：解： dtfftftf2121t0 dte232tde026)1 (32te dtfftftf31310t )()1 (3221tetftft dte22322026tde02 t )2(1 3)2(231tetftft0)(, 01 3)2(2te0)2(, 02tt二、卷积的图示二、卷积的图示用图形来计算函数的卷积能直观地表明卷积的含用图形来计算函数的卷积能直观地表明卷积的含义。义。由卷积的数学定义：

22、由卷积的数学定义： dtfftf21可得出用作图法求卷积的步骤：可得出用作图法求卷积的步骤：(1) 将函数将函数f1(t)、f2(t)的自变量用的自变量用代换；代换；(2) 将函数将函数f2()沿纵坐标反转，并沿横轴正方向平沿纵坐标反转，并沿横轴正方向平移移t，得到得到f2(t- )；(3)将将f1()与与f2(t- )相乘；然后对乘积后的图形积分。相乘；然后对乘积后的图形积分。 dtfftf21)()()()(2222 tftffft平移翻转)(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()(),(*)(tethttfthtft计算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtftt

23、t例例1)()1 ()()(1tetettt例2：计算y(t) = p1(t) p1(t)。)()(11tpp0.5t5 . 0t 5 . 01t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp01t1a) t 1b) 1 t 0tdttyt1)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc) 0 t 1tdttyt1)(5 . 05 . 0d)1 t y(t)=0练习1：(t) (t)练习2：计算y(t) = f(t) h(t)。)(t

24、ft101)(tht201)(tyt20113tt3= r(t)2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质一、卷积的代数运算一、卷积的代数运算 交换律交换律 tftftftf1221 分配律分配律 tftftftftftftf3121321 物理意义：物理意义：(1) 假如假如f1(t)是系统的冲激响应，是系统的冲激响应，f2(t)和和f3(t)是是激励，上式表示激励，上式表示几个输入信号之和的零状态响应几个输入信号之和的零状态响应将等于每个激励的零状态响应之和。将等于每个激励的零状态响应之和。f1(t)f2(t)f3(t)yf(t)+f1(t)f1(t)f2(t)f3(t)yf(t)yf2(t)y

25、f3(t)+(2) 若冲激响应为若冲激响应为h(t)=f2(t)+f3(t)的系统是由两的系统是由两个子系统个子系统h2(t)=f2(t)和和h3(t)=f3(t)并联而成。则并联而成。则激励为激励为f1(t)时系统的零状态响应为时系统的零状态响应为f1(t)分别输入分别输入到子系统到子系统h2(t)和和h3(t)后的零状态响应之和。后的零状态响应之和。h2(t)h3(t)f1(t)+yf(t)h(t)=h2(t)+h3(t)yf1(t)yf2(t) 结合律结合律 tftftftftftf321321 物理意义：如果有冲激响应分别为物理意义：如果有冲激响应分别为h2(t)=f2(t)和和h3(t)=f3(