线段的垂直平分线与角平分线复习

1、1.线段垂直平分线线段垂直平分线定理定理 线段垂直平分线性质定理的作用:ACBPMN几何语言：几何语言：1.线段垂直平分线线段垂直平分线定理定理 线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线定理的作用:这个这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN几何语言：几何语言：如如图图, MNAB ,垂足为垂足为C,AC=BC, P是是MN上任意一点上任意一点(已知已知),PA=PB(线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等到这条线段两个端点距离相等).2

2、.线段垂直平分线逆定理：线段垂直平分线逆定理： ACBPMN几何语言几何语言定理的作用:从这个结论出发,你还能联想到什么?2.线段垂直平分线逆定理：线段垂直平分线逆定理： 到一条线段两个端点距到一条线段两个端点距离相等的点离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN几何语言几何语言如如图图,PA=PB(已知已知),点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线到一条线段两个端点距离相等的点段两个端点距离相等的点,在这条线段在这条线段的垂直平分线上的垂直平分线上).定理的作用:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结论出发,你还

3、能联想到什么?已知已知:线段线段AB,如图如图.求作求作:线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线.作法作法:3.用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.AB已知已知:线段线段AB,如图如图.求作求作:线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线.作法作法:3.用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点分别以点A和和B为圆心为圆心,以大于以大于AB/2长为长为半径作弧半径作弧,两弧交于点两弧交于点C和和D.ABCD2. 作直线作直线CD.则直线则直线CD就是线段就是线段AB的垂直平分线的垂直平分线.请你说明请你说明CD为什么是为什么是AB的的垂直平分线垂直平分线4.三角形三边

4、垂直平分线定理三角形三边垂直平分线定理:几何语言几何语言ABCPabc4.三角形三边垂直平分线定理三角形三边垂直平分线定理:三角形三条边的垂直平三角形三条边的垂直平分线相交于一点分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等并且这一点到三个顶点的距离相等.几何语言几何语言如如图图,在在ABC中中,c,a,b分别是分别是AB,BC,AC的垂直平的垂直平分线分线(已知已知),c,a,b相交于一点相交于一点P,且且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直三角形三条边的垂直平分线相交于一点平分线相交于一点,并且这一点到并且这一点到三个顶点的距离相等三个顶点的距离相等).提示提示:这这是一个证明三条直线交于

5、一点的证明根据是一个证明三条直线交于一点的证明根据.ABCPabc5.三角形三边垂直平分线三角形三边垂直平分线定理的证明：定理的证明：ABCP5.三角形三边垂直平分线三角形三边垂直平分线定理的证明：定理的证明：ABCP如图如图,在在ABC中中,设设AB,BC的垂直平分线相交于点的垂直平分线相交于点P,连接连接AP,BP,CP.点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上,PA=PB (或或AB的中点的中点).同理同理,PB=PC.PA=PC.点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点的垂直平分线相交于一点.6 6角平分线的性质定理角平分线的

6、性质定理 应用提示:几何语言几何语言OCB1A2PDE6 6角平分线的性质定理角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的角平分线上的点到这个角的两边距离相等两边距离相等. .应用提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.几何语言几何语言如如图图,OC是是AOB的平分线的平分线,P是是OC上上任意一点任意一点,PDOA, PEOB,垂足分垂足分别是别是D,E(已知已知),PD=PE(角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的两边距离相等的两边距离相等).OCB1A2PDE7.逆定理逆定理 几何语言几何语言应用提示应用提示:OBAC12PDE7.逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角

7、的内部,并并且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.几何语言几何语言如如图图,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(已知已知),点点P在在AOB的平分线上的平分线上.(在一个在一个角的内部角的内部,并且到角的两边距离相等并且到角的两边距离相等的点的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).应用提示应用提示:这个结论又是经常用来证明这个结论又是经常用来证明点在直线点在直线上上(或或直线经过直线经过某一某一点点)的根据之一的根据之一.从这个结果出发从这个结果出发,你还能联想到什么你还能联想到什么?OBAC12PDE已知已知:

8、AOB,如图如图.求作求作:射线射线OC,使使AOC=BOC.作法作法:8.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.ABO已知已知:AOB,如图如图.求作求作:射线射线OC,使使AOC=BOC.作法作法:8.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.1.在在OA和和OB上分别截取上分别截取OD,OE,使使OD=OE.2.分别以点分别以点D和和E为圆心为圆心,以大于以大于DE/2长长为半径作弧为半径作弧,两弧在两弧在 AOB内交于点内交于点C.3.作射线作射线OC.说明说明OC为什么是为什么是AOB的平分的平分线线.提示提示:作作角平分线是最基本的尺规作图角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握

9、这种方法要确实掌握.ABOC则射线则射线OC就是就是AOB的平分线的平分线.DE9.三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线定理定理:几何语言几何语言ABCPMNDEFH9.三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线定理定理:三角形的三条角平分线相三角形的三条角平分线相交于一点交于一点,并且这一点到三边的距离相等并且这一点到三边的距离相等.几何语言几何语言如如图图,在在ABC中中,BM,CN,AH分别是分别是ABC的三的三条条角平分线角平分线,且且PDAB,PEBC,PFAC(已知已知),BM,CN,AH相交于一点相交于一点P,且且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交三角形的三条角平分线相交于一点于一点,并且这一点到三边的距离相等并且这一点到三边的距离相等).提示提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一.ABCPMNDEFH10.三角形三个角平分线定理的证明三角形三个角平分线定理的证明ABCPMNDEF10.三角形三个角平分线定理的证明三角形三个角平分线定理的证明如图如图,设设ABC的角平分线的角平分线BM,CN相交于点相交于点P,过点过点P分别作分别作BC,AC,AB的垂线的垂线,垂足分别是垂足分别是E,F,D.BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BM上上,ABC的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相