极化恒等式在向量问题中的应用

1、。极化恒等式在向量问题中的应用目标 1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义阅读以下材料：引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几 何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的 平方和M等于两条邻边平方和的两倍 .证明：不妨设 ABa, AD b, 则 AC ab，DB ab，22222图 1ACACa ba 2a b b（ 1）22222DBDBa ba 2a b b（ 2）2DB22222（ 1）（2）两式相加得：AC2 ab2ABAD结论： 定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考 1：如果将上面（1）（ 2）两式相减，能

2、得到什么结论呢？ab 1ab22 极化恒等式ab4“和对角线” 与“差对角线” 平方差的 1 .几何意义： 向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的4即： a b221 ACDB （平行四边形模式）A4思考：在图 1 的三角形中（为的中点），此恒等式如何表示呢？ABDMBD2因为 AC2 AM ，所以 a bAM目标 2-1 ：掌握用极化恒等式求数量积的值12BMCDB （三角形模式）4例 1.(2012 年浙江文 15) 在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM3, BC10 ，则 AB AC _ .解： 因为 M 是 BC 的中点，由极化恒等式得：21 BC2= -16AB

3、AC AM=9- 1 10044【小结】 运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。目标检测( 2012北京文 13改编 )已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E是 AB边上的动点，则 DE DA的值为 _.目标 2-2 ：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围例 （自编）已知正三角形ABC内接于半径为 的圆，点是圆O上的一个动点，2.2OP则的取值范围是_ .PA PB解：取 AB的中点 D，连结 CD, 因为三角形 ABC为正三角形，所以O为三角形 ABC的重心， O在 CD上，且 OC2OD2 ，所以 CD3， AB2 3又由极化恒等式得：

4、PA PB21223PD4ABPD因为 P在圆 O上，所以当 P 在点 C处时， | PD |max3当 P 在 CO的延长线与圆O的交点处时， | PD |min1所以 PA PB 2,6【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求-可编辑修改 -。出单变量的范围、最值即可。目标检测1、矩形 ABCD中， AB3,BC4，点 M , N 分别为边BC , CD 上的动点， 且 MN2 ，则 AMAN 的最小值是 ( )A 13B 15C 17D 192、已知 A, B, C 是圆 x2y 21上互不相同的三个点，且ABAC ，则 AB AC

5、的最小值是3 、已知ABC, AB 7,AC8,BC 9 ,P 为平面 ABC 内一点，满足 PA PC7 ，则 | PB | 的取值范围是.目标 2-3 ：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题例 3. （ 2013浙江理 7）在 ABC 中 ,1P0 是边 AB 上一定点，满足 P0 BAB ，4且对于边 AB 上任一点 P ，恒有PB PCP0B PC)0 。则(A.ABC 90 B.BAC90C.ABAC D.ACBC目标检测(2008 浙江理9)已知 a, b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足1 、c)(bc) 0, 则 c 的最大值是()(aA.1B.2C . 2D .

6、222、 2016年江苏 如图，在D中，是的中点， ，是上的两个三等分点，ABCBCEFADBA CA4， BFCF1，则BECE 的值是.3、 2014年江苏 如图在平行四边形ABCD 中，已知 AB8, AD5 ，CP3PD , APBP2，则 ABAD 的值是.课后检测1. 在ABC 中,BAC60若 AB2 ,BC3 , D 在线段 AC 上运动， DBDA 的最小值为2.已知 AB是圆 O的直径 ,AB 长为 2,C 是圆 O 上异于 A,B 的一点 ,P 是圆 O 所在平面上任意一点, 则PAPBPC 的最小值为（）A.1B.1C.1D.14323在ABC 中， AB3，AC4，B

7、AC60 ，若P是ABC 所在平面内一点， 且 AP2，则PBPC的最大值为4 在 RtABC ， ACBC2，已知点 P 是ABC 内一点，则 PC ( PA PB) 的最小值是.5. 已知 A、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且AOB120o , MN 是圆 O 的一条直径，点C 在圆内，且满足 OCOA(1)OB(01) ，则 CMCN 的取值范围是（）A1 ,1B1,1C 3 ,0D 1,0246. 正ABC 边长等于3 ，点 P 在其外接圆上运动，则AP PB 的取值范围是（）A.3 , 3B.3 , 1C.1 , 3D.1 , 1222222227 在锐角ABC 中，已知 B， ABAC2 ，则 AB AC 的取值范围是32， MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意8、正方体 ABCD -A1B1C1 D1 的棱长为2 个点之间的线段成为球-可