2021年高考数学(文)一轮复习讲义第5章52

1、§5.2平面向量根本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量根本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量根本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1.平面向量根本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只

2、有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示假设向量的起点是坐标原点，那么终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(x2x1，y2y1)，|.(2)平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1).3.平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.概念方法微思考1.假设两个向量存在夹角，那么向量的夹角与直线的夹角一样吗为什么

3、提示不一样.因为向量有方向，而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗提示不一定.两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量.3.三点A，B，C共线，O是平面内任一点，假设xy，写出x，y的关系式.提示xy1.题组一思考辨析1.判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(×)(2)假设a，b不共线，且1a1b2a2b，那么12，12.()(3)假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充

4、要条件可表示成.(×)(4)平面向量不管经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()题组二教材改编2.ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，那么顶点D的坐标为_.答案(1,5)解析设D(x，y)，那么由，得(4,1)(5x，6y)，即解得3.向量a(2,3)，b(1,2)，假设manb与a2b共线，那么_.答案解析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1).由manb与a2b共线，得，所以.题组三易错自纠4.设e1，e2是平面内一组基底，假设1e12e20，那么12_.答案05.点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，那么向量

5、_.答案(7，4)解析根据题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4).6.(2022·聊城模拟)向量a(1,1)，2ab(4,3)，c(x，2)，假设bc，那么x的值为()A.4B.4C.2D.2答案B解析b2ab2a(2,1)，bc，x40，x4.应选B.平面向量根本定理的应用例1如图，在OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)假设，求实数的值.解(1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法那么，得2，所以22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，故设x.因为(2ab)a(2)ab，2ab.

6、所以(2)abx.因为a与b不共线，由平面向量根本定理，得解得故.思维升华应用平面向量根本定理的本卷须知(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用.跟踪训练1在ABC中，点P是AB上一点，且2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，那么t的值为_.答案解析2，即P为AB的一个三等分点，如下列图.A，M，Q三点共线，x(1x)(x1)，而，.又，由t，可得t，又，不共线，解得t.平面向量的坐标运算例2A(2,4)，

7、B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标.解由得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20).M(0,20).又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18).本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标解设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，那么()，即(x，y)(

8、2,4)(3，1)，所以线段AB中点的坐标为.本例中条件不变，如何利用向量求ABC的重心G的坐标解设AB的中点为P，O为坐标原点，因为，所以()，所以()(2,4)(3，1)(3，4)，所以重心G的坐标为.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法那么来进行求解，假设有向线段两端点的坐标，那么应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用“向量相等，那么坐标相同这一结论，由此可列方程(组)进行求解.跟踪训练2(1)(2022·昆明模拟)点A(1,1)，B(0,2)，假设向量(2,3)，那么向量等于()A(3，2) B(2，2)C(3，2) D(3,2)答案D解析依题

9、意(1,1)，(2,3)(1,1)(3,2)，应选D.(2)(2022·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(2,0)，(2，3)，那么点D的坐标为()A.(6,1) B.(6，1)C.(0，3) D.(0,3)答案A解析(3，2)，(5，1)，那么D(6,1)，应选A.向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求参数例3(1)(2022·内江模拟)设向量a(x，1)，b(4,2)，且ab，那么实数x的值是_.答案2解析a(x，1)，b(4,2)，且ab，2x4，即x2.(2)(2022·海南省文昌中学模拟)a(1,3)，b(2，k)，且(a

10、2b)(3ab)，那么实数k_.答案6解析由题意得a2b(3,32k)，3ab(5,9k)，由(a2b)(3ab)，得3(9k)5(32k)，解得k6.命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，那么AC与OB的交点P的坐标为_.答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，那么(44,4).又(2,6)，由与共线，得(44)×64×(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3).方法二设点P(x，y)，那么(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共

11、线，所以(x4)×6y×(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3).思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果两向量共线，求某些参数的取值时，利用“假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充要条件是x1y2x2y1.(2)在求与一个向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R).跟踪训练3(1)(2022·咸阳模拟)平面向量a(1，x)，b(4,2)，假设向量2ab与向量b共线，那么x等于()AB.C.D答案B解析因为平面向量a(1，x)，b(4,2)，即2ab(6,2x2)，又因为向量2ab与向量b共线，所以8x812，解得x.应选B.(

12、2)(2022·江西省红色七校联考)平面向量a(1,2)，b(2，y)，且ab，那么3a2b_.答案(1，2)解析a(1,2)，b(2，y)，且ab，1×y2×20，解得y4，故可得3a2b3(1,2)2(2，4)(1，2).1.在如下列图的平面直角坐标系中，向量的坐标是()A.(2,2) B.(2，2)C.(1,1) D.(1，1)答案D解析因为A(2,2)，B(1,1)，所以(1，1).应选D.2.(2022·巴中模拟)向量(2,3)，(4,7)，那么等于()A.(2，4) B.(2,4)C.(6,10) D.(6.10)答案B解析(2,4).应选B

13、.3向量a(1,2)，b(3，m)，mR，那么“m6是“a(ab)的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案A解析由题意，得ab(2,2m)，由a(ab)，得1×(2m)2×2，所以m6，那么“m6是“a(ab)的充要条件，应选A.4.平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，那么实数m的取值范围是()A.(，2) B.(2，)C.(，) D.(，2)(2，)答案D解析由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2.5.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(0,1

14、)，C为第一象限内一点，AOC，且|OC|2，假设，那么等于()A.2B.C.2D.4答案A解析因为|OC|2，AOC，所以C(，)，又，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.6.向量m与向量n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角，那么角A的大小为()A.B.C.D.答案C解析mn，sinA(sinAcosA)0，2sin2A2sinAcosA3，1cos2Asin2A3，sin1，A(0，)，2A.因此2A，解得A，应选C.7.假设三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，那么实数a的值为_.答案解析(a1,3)，(3,4)，根据题意知，4(a1)3×

15、;(3)，即4a5，a.8(2022·全国)向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)假设c(2ab)，那么_.答案解析由题意得2ab(4,2)，因为c(2ab)，所以42，得.9设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，那么a的坐标为_答案(4，2)解析b(2,1)，且a与b的方向相反，设a(2，)(<0)|a|2，42220，24，2(2舍去)a(4，2)10.向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，假设A，B，C三点能构成三角形，那么实数k应满足的条件是_.答案k1解析假设点A，B，C能构成三角形，那么向量，不共线.(2，1)(1，3)(1,2)，(

16、k1，k2)(1，3)(k，k1)，1×(k1)2k0，解得k1.11.a(1,0)，b(2,1)，(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)假设2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值.解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2).kab与a2b共线，2(k2)(1)×50，即2k450，得k.(2)方法一A，B，C三点共线，即2a3b(amb)，解得m.方法二2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，即2m30，m.12.如图，平面

17、内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且|1，|2.假设(，R)，求的值.解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，那么，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以B1OC90°.在RtOB1C中，OCB130°，|2，所以|2，|4，所以|4，所以42，所以4，2，所以6.方法二以O为原点，建立如下列图的平面直角坐标系，那么A(1,0)，B，C(3，).由，得解得所以6.13.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图，在RtABC中，ABC，AC2AB，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，设a，b，

18、那么向量等于()A.abB.abC.abD.ab答案C解析设圆的半径为r，在RtABC中，ABC，AC2AB，所以BAC，ACB，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，所以ACBBADCAD，那么根据圆的性质得BDCDAB，又因为在RtABC中，ABACrOD，所以四边形ABDO为菱形，所以ab.应选C.14(2022·濮阳模拟)在正六边形ABCDEF中，G是线段AF的中点，那么等于()A.B.C.D.答案B解析依题意作出图形，并建立如下列图的坐标系不妨设AB2，那么C(1,0)，A(2，)，F(3,0)，所以G，E，D，所以，(3，)，(2,2)设mn，那么解得所以.应选B.15.(2022·上海市崇明区模拟)关于x的方程ax2bxc0，其中a，b，c都是非零向量，且a，b不共线，那么该方程的解的情况是()A.至少有一个解B.至多有一个解C.至多有两个解D.可能有无数个解答案B解析由平面向量根本定理可得