2021年高考数学(文)一轮复习讲义第5章52_第1页
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文档简介

1、§5.2平面向量根本定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.了解平面向量根本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.主要考查平面向量根本定理、向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量共线的坐标表示,考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综合交汇考查,突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题,属于中档题.1.平面向量根本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只

2、有一对实数1,2,使a1e12e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示假设向量的起点是坐标原点,那么终点坐标即为向量的坐标.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么(x2x1,y2y1),|.(2)平面向量的坐标运算设a(x1,y1),b(x2,y2),那么ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1).3.平面向量共线的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),其中b0.a,b共线x1y2x2y10.概念方法微思考1.假设两个向量存在夹角,那么向量的夹角与直线的夹角一样吗为什么

3、提示不一样.因为向量有方向,而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时,与直线的夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时,与直线的夹角不一样.2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗提示不一定.两个向量只有不共线时,才能作为一组基底表示平面内的任一向量.3.三点A,B,C共线,O是平面内任一点,假设xy,写出x,y的关系式.提示xy1.题组一思考辨析1.判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.(×)(2)假设a,b不共线,且1a1b2a2b,那么12,12.()(3)假设a(x1,y1),b(x2,y2),那么ab的充

4、要条件可表示成.(×)(4)平面向量不管经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()题组二教材改编2.ABCD的顶点A(1,2),B(3,1),C(5,6),那么顶点D的坐标为_.答案(1,5)解析设D(x,y),那么由,得(4,1)(5x,6y),即解得3.向量a(2,3),b(1,2),假设manb与a2b共线,那么_.答案解析由向量a(2,3),b(1,2),得manb(2mn,3m2n),a2b(4,1).由manb与a2b共线,得,所以.题组三易错自纠4.设e1,e2是平面内一组基底,假设1e12e20,那么12_.答案05.点A(0,1),B(3,2),向量(4,3),那么向量

5、_.答案(7,4)解析根据题意得(3,1),(4,3)(3,1)(7,4).6.(2022·聊城模拟)向量a(1,1),2ab(4,3),c(x,2),假设bc,那么x的值为()A.4B.4C.2D.2答案B解析b2ab2a(2,1),bc,x40,x4.应选B.平面向量根本定理的应用例1如图,在OCB中,A是CB的中点,D是将分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设a,b.(1)用a和b表示向量,;(2)假设,求实数的值.解(1)由题意知,A是BC的中点,且,由平行四边形法那么,得2,所以22ab,(2ab)b2ab.(2)由题意知,故设x.因为(2ab)a(2)ab,2ab.

6、所以(2)abx.因为a与b不共线,由平面向量根本定理,得解得故.思维升华应用平面向量根本定理的本卷须知(1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等.(3)强化共线向量定理的应用.跟踪训练1在ABC中,点P是AB上一点,且2,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又t,那么t的值为_.答案解析2,即P为AB的一个三等分点,如下列图.A,M,Q三点共线,x(1x)(x1),而,.又,由t,可得t,又,不共线,解得t.平面向量的坐标运算例2A(2,4),

7、B(3,1),C(3,4).设a,b,c,且3c,2b.(1)求3ab3c;(2)求满足ambnc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量的坐标.解由得a(5,5),b(6,3),c(1,8).(1)3ab3c3(5,5)(6,3)3(1,8)(1563,15324)(6,42).(2)mbnc(6mn,3m8n),解得(3)设O为坐标原点,3c,3c(3,24)(3,4)(0,20).M(0,20).又2b,2b(12,6)(3,4)(9,2),N(9,2),(9,18).本例中条件不变,如何利用向量求线段AB中点的坐标解设O为坐标原点,P(x,y)是线段AB的中点,那么(),即(x,y)(

8、2,4)(3,1),所以线段AB中点的坐标为.本例中条件不变,如何利用向量求ABC的重心G的坐标解设AB的中点为P,O为坐标原点,因为,所以(),所以()(2,4)(3,1)(3,4),所以重心G的坐标为.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法那么来进行求解,假设有向线段两端点的坐标,那么应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用“向量相等,那么坐标相同这一结论,由此可列方程(组)进行求解.跟踪训练2(1)(2022·昆明模拟)点A(1,1),B(0,2),假设向量(2,3),那么向量等于()A(3,2) B(2,2)C(3,2) D(3,2)答案D解析依题

9、意(1,1),(2,3)(1,1)(3,2),应选D.(2)(2022·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(2,0),(2,3),那么点D的坐标为()A.(6,1) B.(6,1)C.(0,3) D.(0,3)答案A解析(3,2),(5,1),那么D(6,1),应选A.向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求参数例3(1)(2022·内江模拟)设向量a(x,1),b(4,2),且ab,那么实数x的值是_.答案2解析a(x,1),b(4,2),且ab,2x4,即x2.(2)(2022·海南省文昌中学模拟)a(1,3),b(2,k),且(a

10、2b)(3ab),那么实数k_.答案6解析由题意得a2b(3,32k),3ab(5,9k),由(a2b)(3ab),得3(9k)5(32k),解得k6.命题点2利用向量共线求向量或点的坐标例4O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),那么AC与OB的交点P的坐标为_.答案(3,3)解析方法一由O,P,B三点共线,可设(4,4),那么(44,4).又(2,6),由与共线,得(44)×64×(2)0,解得,所以(3,3),所以点P的坐标为(3,3).方法二设点P(x,y),那么(x,y),因为(4,4),且与共线,所以,即xy.又(x4,y),(2,6),且与共

11、线,所以(x4)×6y×(2)0,解得xy3,所以点P的坐标为(3,3).思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果两向量共线,求某些参数的取值时,利用“假设a(x1,y1),b(x2,y2),那么ab的充要条件是x1y2x2y1.(2)在求与一个向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R).跟踪训练3(1)(2022·咸阳模拟)平面向量a(1,x),b(4,2),假设向量2ab与向量b共线,那么x等于()AB.C.D答案B解析因为平面向量a(1,x),b(4,2),即2ab(6,2x2),又因为向量2ab与向量b共线,所以8x812,解得x.应选B.(

12、2)(2022·江西省红色七校联考)平面向量a(1,2),b(2,y),且ab,那么3a2b_.答案(1,2)解析a(1,2),b(2,y),且ab,1×y2×20,解得y4,故可得3a2b3(1,2)2(2,4)(1,2).1.在如下列图的平面直角坐标系中,向量的坐标是()A.(2,2) B.(2,2)C.(1,1) D.(1,1)答案D解析因为A(2,2),B(1,1),所以(1,1).应选D.2.(2022·巴中模拟)向量(2,3),(4,7),那么等于()A.(2,4) B.(2,4)C.(6,10) D.(6.10)答案B解析(2,4).应选B

13、.3向量a(1,2),b(3,m),mR,那么“m6是“a(ab)的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案A解析由题意,得ab(2,2m),由a(ab),得1×(2m)2×2,所以m6,那么“m6是“a(ab)的充要条件,应选A.4.平面直角坐标系内的两个向量a(1,2),b(m,3m2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(,为实数),那么实数m的取值范围是()A.(,2) B.(2,)C.(,) D.(,2)(2,)答案D解析由题意知向量a,b不共线,故2m3m2,即m2.5.在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1

14、),C为第一象限内一点,AOC,且|OC|2,假设,那么等于()A.2B.C.2D.4答案A解析因为|OC|2,AOC,所以C(,),又,所以(,)(1,0)(0,1)(,),所以,2.6.向量m与向量n(3,sinAcosA)共线,其中A是ABC的内角,那么角A的大小为()A.B.C.D.答案C解析mn,sinA(sinAcosA)0,2sin2A2sinAcosA3,1cos2Asin2A3,sin1,A(0,),2A.因此2A,解得A,应选C.7.假设三点A(1,5),B(a,2),C(2,1)共线,那么实数a的值为_.答案解析(a1,3),(3,4),根据题意知,4(a1)3×

15、;(3),即4a5,a.8(2022·全国)向量a(1,2),b(2,2),c(1,)假设c(2ab),那么_.答案解析由题意得2ab(4,2),因为c(2ab),所以42,得.9设向量a,b满足|a|2,b(2,1),且a与b的方向相反,那么a的坐标为_答案(4,2)解析b(2,1),且a与b的方向相反,设a(2,)(<0)|a|2,42220,24,2(2舍去)a(4,2)10.向量(1,3),(2,1),(k1,k2),假设A,B,C三点能构成三角形,那么实数k应满足的条件是_.答案k1解析假设点A,B,C能构成三角形,那么向量,不共线.(2,1)(1,3)(1,2),(

16、k1,k2)(1,3)(k,k1),1×(k1)2k0,解得k1.11.a(1,0),b(2,1),(1)当k为何值时,kab与a2b共线;(2)假设2a3b,amb且A,B,C三点共线,求m的值.解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2,1),a2b(1,0)2(2,1)(5,2).kab与a2b共线,2(k2)(1)×50,即2k450,得k.(2)方法一A,B,C三点共线,即2a3b(amb),解得m.方法二2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3),amb(1,0)m(2,1)(2m1,m),A,B,C三点共线,8m3(2m1)0,即2m30,m.12.如图,平面

17、内有三个向量,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且|1,|2.假设(,R),求的值.解方法一如图,作平行四边形OB1CA1,那么,因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,所以B1OC90°.在RtOB1C中,OCB130°,|2,所以|2,|4,所以|4,所以42,所以4,2,所以6.方法二以O为原点,建立如下列图的平面直角坐标系,那么A(1,0),B,C(3,).由,得解得所以6.13.(2022·山东省实验中学等四校联考)如图,在RtABC中,ABC,AC2AB,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,设a,b,

18、那么向量等于()A.abB.abC.abD.ab答案C解析设圆的半径为r,在RtABC中,ABC,AC2AB,所以BAC,ACB,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,所以ACBBADCAD,那么根据圆的性质得BDCDAB,又因为在RtABC中,ABACrOD,所以四边形ABDO为菱形,所以ab.应选C.14(2022·濮阳模拟)在正六边形ABCDEF中,G是线段AF的中点,那么等于()A.B.C.D.答案B解析依题意作出图形,并建立如下列图的坐标系不妨设AB2,那么C(1,0),A(2,),F(3,0),所以G,E,D,所以,(3,),(2,2)设mn,那么解得所以.应选B.15.(2022·上海市崇明区模拟)关于x的方程ax2bxc0,其中a,b,c都是非零向量,且a,b不共线,那么该方程的解的情况是()A.至少有一个解B.至多有一个解C.至多有两个解D.可能有无数个解答案B解析由平面向量根本定理可得

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