2007年江苏省中学数学夏令营讲义___解析几何

1、2007年江蘇省中學數學夏令營讲义_解析几何徐贻林1.已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式直线l在l的上方且到直线l的距离为解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一

2、点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：转化为一元二次方程根的问题求解问题关于x的方程有唯一解简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： 于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .2.已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是

3、选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消

4、参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设，则由可得：，解之得： （1）设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化简得： (3)与联立，消去得：在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为： （）.3.设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（

5、或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范围把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量关于k的函数关系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x

6、轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程xA+ xB = f（

7、k），xA xB = g（k）构造所求量与k的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （xA / xB）由判别式得出k的取值范围简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 （*）则令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以 ，解得 .结合得. 综上，.点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.4一动圆经过点A（2，0），且在y轴上截得的弦长为4（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）设AO的中点为B（其中O为坐标原点），如果过点B的直线l与动圆圆心P的轨迹相交

8、于不同的两点C、D，证明：以CD为直径的圆与一定直线相切解：（1）设动圆圆心P的坐标为（x，y），动圆与y轴相交于点M、N，MN的中点为Q，连PQ、PN，则PQ2QN2PN2，其中PQx，QNMN2，PNPA，所以x222（x2）2y2，化简得y24x故动圆圆心P的轨迹方程为y24x（2）解法一：如图，点B（1，0）为抛物线y24x的焦点，设CD的中点为M，作抛物线y24x的准线x1，分别过点C、M、D作准线x1的垂线，垂足分别为C、M、D根据抛物线的定义可知：CBCC，DBDD所以MM（CCDD）（CBDB）CD这说明以CD为直径的圆的圆心M到准线x1的距离恰好等于该圆的半径故以CD为直径的

9、圆与定直线x1相切解法二：点B的坐标为（1，0）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为yk（x1）（k0）将直线yk（x1）代入y24x中，并整理得k2x22（k22）xk20 （），设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1，x2为方程（）的两相异实根，所以x1x2，x1x21，于是y1y2k（x1x22）故CD的中点坐标为（，），而CD，所以以CD为直径的圆的半径为r圆心（，）到直线x1的距离为1r，即以CD为直径的圆与定直线x1相切当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，它与抛物线交于点C（1，2）和D（1，2），以CD为直径的圆的方程为（x1）2y24，它与定直线x1相切综上所

10、述，以CD为直径的圆与定直线x1相切5.已知点A(0，2)和抛物线y2x4上两点B、C使得ABBC，求点C的纵坐标的取值范围 解：设点坐标为（y214,y1），点坐标为(y24,y)显然y214，故kAB=(y12)/(y214)=1/(y1+2).由于ABBC，所以kBC=(y1+2).从而yy1=(y1+2)x(y214),y2=x+4消去x，注意到yy1得:(2+y1)(y+y1)+1=0y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由0解得：y0或y4.当y=0时，点的坐标为(3,1)；当y=4时，点的坐标为(5,3)，均满足题意。故点的纵坐标的取值范围是y0或y4. 6. 一张纸上画有半

11、径为R的圆O和圆内一定点A，且OAa. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)设折叠时，O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线设P(x，y)为MN上任一点，则PA/PA即10分 可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化为1，即所求点的集合为椭圆圆1外(含边界)的部分7椭圆 x2 + 4y2 = 8 中, AB是长为的动弦 .O为坐标原点 . 求AOB面积的取值范围 . 解

12、： 令 A, B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方程整理得: (4k2 +1)x2 + 8kbx + 4(b22) = 0 . 故 x1 + x2 =, x1x2 =. ( 5 分 )由 = AB2 = (k2+1)(x2x1)2 = (k2+1)(x1+x 2)24 x1x2) =(2(4k2+1)b2) 得到 b2 = 2 (4k2+1) ( 5 分) 原点O 到 AB 的距离为 , AOB 的面积 S = , 记 u = , 则有S 2= (u 2u ) = 4(u)2 ( 5 分) u = 4

13、 的范围为 , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u = 时, max S 2 = 4 , 而 u = 1时, min S 2 =, 因此 S 的 取值范围是 . 8已知椭圆：1(ab0)， 动圆：x2y2R2，其中bRa.若A是椭圆上的动点，B是动圆上的动点，且使直线AB与椭圆和动圆均相切，求A、B两点的距离|AB|的最大值. ( 5 分)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为:ykxm因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有将(1)代入(2)得：(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0由于直线与椭圆相切，故(2kma2)24(a2k2b2)a2(m2b2)0从

14、而可得：m2b2a2k2，x1 (3)5同理，由B既在圆上又在直线AB上，可得：m2R(1k2)，x2 (4)10由(3)(4)得：k2，x2x1|AB|2(x2x1)2(y2y1)2(1k2)(x2x1)2 a2b2R2 (ab)2(R)2(ab)2.15即|AB|ab，当且仅当R时取等号.所以，A、B两点的距离|AB|的最大值为ab.209设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；（2） O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a时，试求OAP的面积的最大值（用a表示）。解：(1)由 消去y得： 设，问题(1

15、)化为方程在x(a，a)上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况： 10得：，此时xpa2，当且仅当aa2a，即0a1时适合； 2f (a)f (a)0，当且仅当ama； 3f (a)0得ma，此时xpa2a2，当且仅当aa2a2a，即0a1时适合 f (a)0得ma，此时xpa2a2，由于a2a2a，从而ma 综上可知，当0a1时，或ama； 当a1时，ama 10分(2)OAP的面积 0a，故ama时，0a， 由唯一性得 显然当ma时，xp取值最小由于xp0，从而yp取值最大，此时， 当时，xpa2，yp，此时 下面比较与的大小： 令，得 故当0a时，此时 当时，此时 20分10 设椭圆的左

16、、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程解答：（）证法一：由题设及，不妨设点，其中由于点在椭圆上，有，即解得，从而得到直线的方程为，整理得由题设，原点到直线的距离为，即，将代入上式并化简得，即证法二：同证法一，得到点的坐标为过点作，垂足为，易知，故由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即（）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，点的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得，于是，由式得由知将式和式代入得，将代入上式，整理得当时，直线的方程为，的坐标满足方程组所以，由知，即，解得

17、这时，点的坐标仍满足综上，点的轨迹方程为解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为记（显然），点的坐标满足方程组由式得由式得将式代入式得整理得，于是由式得由式得将式代入式得，整理得，于是由知将式和式代入得，将代入上式，得所以，点的轨迹方程为12求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若r是第一象限内该数轴上的一点，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.（）易知，设则，又，联立，解得，（）显然不满足题设条件可设的方程为，设，联立，由，得又为锐角，又综可知，的取值范围是13已知半椭圆

18、与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。解：（1）F0（c，0）F1（0，），F2（0，）| F0F1 |，| F1F2 |于是，所求“果圆”方程为（x0），（x0）（2）由题意，得ac2b，即（2b）2b2c2，a2b2（2ba）2，得又b2c2a2b2，（3）设“果圆”的方程为（x0）（x0）记平行弦的斜率为k当k0时，

19、直线yt（btb）与半椭圆（x0）的交点是，与半椭圆（x0）的交点是Q（）P、Q的中点M（x，y）满足得a2b，综上所述，当k0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆当k0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆（x0）的交点是由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上当k0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上14已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值证明：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭

20、圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为15设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由16解：（1）在中，（小于的常数）故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线方程为（2）方法一：在中，设，假设为等腰直角三角形，则由与得，则由得，故存在满足题设条件方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得所以，则由，可

21、设，则，则由得根据双曲线定义可得，平方得：由消去可解得，故存在满足题设条件16.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知，设，解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即

22、，此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，以上同解法一的（II）17.如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点（1）已知，求的值；（2）求的最小值PBQMFOAxy解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）（1）

23、设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）（1）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：由得：，即（）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为18以椭圆的一个顶点C (0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，试问：这样的三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在，说明理由.解：设A、B两点分别居于y轴的左右两侧，设CA的斜率为k，则，CA所在直线的方程为，代入椭圆的方程并整理得，或.A点的横坐标为.同理， ，由得，当时，无实数解；当时，的解是，的解也是k=1

24、；当时，的解除外，方程有两个不等的正根，且都不等于1，故有3个正根.符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有3个.3b6nXBET?Y_2|yUXX3gWAR7P7JBKWekQoW4Kk=dwAZZd9a8aSHN8I0bJiMw;MXZDHYiXRU;Ddn_4iZr;B3P9ZqlFcbydKa2Wg?dqGx?LsZeee=u7oV?CCks=8Xk7_Twve19zmJjpGA2mBNjl4ombKEZ75=oIV8I5xhaxPHpy=PfIQQhNSLhzJ5caRnGDOEh3mKRuYuJ7Otkyo:jreyLkXB:hpulLTRpA1ZWXUWumg00h|?=xebR

25、b?fIWtntFk1PXPUdt;LY4dCTNz8Mx58=PbWCQ|9wjefmX2LLJlFZnfybatZ2bX3TwNd5phpsI;yrVr9|LHLzdcA_6|e=pg1oCdASPDQ1POqYzvIN_6mDNiEvlOA|uDC7e_OjFt6R6d5GP4K4rtvo6PO?S|vHi|PWBV2QIrIi3zl7sn4?4e:Bfeu28VB;djLx=2AESOrYe48C;znUrh6AYOIHk:8F8V0yJmpH0HSuBcdqz5f=7weu6qh6We:BTTOUXp5Tspul9Vks1WtQLPaHy4zu3ZDy65zBK5u|n|kqQiBb

26、=kA7p8XI2QK94dBmGQBTLeaZ=3FUtc_K321ap8rA56ztXVJ?Jwasvt6isPNAN;wreg4JMr6h_W4i;KLLHsAX_ljL1xHqLvS:0Fe7KjGoR137FdpNWZ=CF;WVKvHpLm7Po1G09ll8Uu6RpFXeZ3gwdXaUrfBYEvL;bHn4aRLkyOLp7GiiUhXESnaEuu1;P4RJe2YGLYg5PVbx8x0PnJTPIFYuAwvf4=OQya5BcKnaaDsGDd58HPzye2:ZcxD2m1q6lp_uqZyi3pZl_OG=XZWIz83sQ:MVs5;d1h3g4TXXBI5j

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