中国古代数学问题

1、一板凳黎子问题板凳黎子三十三,一百条腿都朝天,问几个板凳几个望子板凳和黎子烙饼用的,有三条腿；板凳,四条腿一共三十三个.问几个板凳几个望子?二隔墙分银隔墙听得客分银,不知人数不知银.七两分之多四两,九两分之少半两.问多少银子多少人古时16两1斤三一百馒头一百僧我国明代珠算家程大位的名著?直指算法统宗?里有一道著名算题：一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁译成白话文,其意思是：有100个和尚分100只馒头,正好分完.如果大和尚一人分3只,小和尚3人分一只,试问大小和尚各有几人方法一,用方程设大和尚有x人,那么小和尚有100x人,根据题意列得方程：3x+1/3100-x=

2、100解方程得：x=25小和尚：10025=75人方法二,鸡兔同笼法：假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个3X100=300个.2这样多吃了几个呢300 100=200个.3为什么多吃了200个呢这是由于把小和尚当成大和尚.那么把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了几个馒头3-1/3=8/34每个小和尚多算了8/3个馒头,一共多算了200个,所以小和尚有：2003/3=75人大和尚：10075=25人方法三,分组法：由于大和尚一人分3只馒头,小和尚3人分一只馒头.我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组,这样每组4个和尚刚好分4个馒头,那么100个和尚总共分为100+3+1=25组,由于每组

3、有1个大和尚,所以有25个大和尚；又由于每组有3个小和尚,所以有25X3=75个小和尚这是?直指算法统宗?里的解法,原话是：置僧一百为实,以三一并得四为法除之,得大僧二十五个.所谓实"便是“被除数“,法"便是除数.列式就是：100+(3+1)=25,100-25=75o我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑.四鸡兔同笼问题鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露.数清脚共五十双,各有多少鸡和兔一队强盗一队狗,二队拼作一队走,数头一共三百六,数腿一共八百九,问有多少强盗多少狗?1 .鸡兔同笼,共17个头,42条腿.问：鸡有几只,兔有几只2 .小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值1

4、.5元.问：一角的硬币有几枚,5角的硬币有几枚3 .用大小卡车往城市运送29吨蔬菜,大卡车每辆每次运5吨,小卡车每辆每次运3吨,问：大小卡车各用几辆一次能运完(注意有多解)4 .每校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分.问：男生比女生多几人5 .学校买回4个篮球和5个排球,一共用了185元,一个篮球比一个排球贵8元.问：篮球的单价是多少6 .解放军进行野营拉练.晴天每天走35千米,雨天每天走28千米,11天一共走350千米.求这期间晴天共有多少天7 .小强集邮,他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张.问：小强买了4分邮票几张8 .一堆2分和5分

5、的硬币共299分,其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍.问：5分硬币有几枚9 .某人领得奖金240元,有2元5元10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多.问：10元的张数是多少10 .小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱,8分的邮票比4分的多40张.问：8分的邮票是几张11 .鸡兔同笼,共200只,鸡的脚比兔的脚少56只.问：鸡有几只,兔有几只12 .有一辆货车运送2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子计算每只2角,如有破损,那么破损一个瓶子要倒赔1元.结果运费379.6元.问：运送中损坏了几只瓶子13 .某数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做不扣分.小华

6、得了76分.问：小华做对几题14 .鸡兔同笼,共有头100个,足316只.问：鸡有几只,兔有几只?15 .小明花了34元钱买贺卡和明信片,一共买了14张.贺卡每张3角5分,明信片每张2角5分.问：小明买了几张贺卡,几张明信片16 .潍坊盲童学校举行数学竞赛,共20道试题,做对一题得5分,做错或没有做的题,每题倒扣3分.刘刚得了60分.问：他做对了几题17 .鸡兔同笼,共有脚100只.假设将鸡换成兔,兔换成鸡,那么共有脚92只,问：鸡有几只,兔有几只18 .鸡兔共有100只,鸡脚比兔脚多80只,问：鸡兔各有多少19 .鸡兔同笼,共有30个头,88只脚.求笼中鸡兔各有多少只20 .小明用10元钱正

7、好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票名买了多少张21 .小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张,求两种邮票各买了多少张22 .小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚,小刚数了一下,一共有194分,求两种硬币各有多少枚23 .三年一班30人共向北京奥运会捐款205元,同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗24 .松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个.它一连8天共采了112个松籽,这八天有几天晴天几天雨天25 .某校有一批同学参加数学竞赛,平均得63分,总分是3150分.其中男生平均得60分,女生平均得70分.求参加竞赛的男

8、女各有多少人26 .一次数学竞赛共有20道题.做对一道题得5分,做错一题倒扣3分,刘冬考了52分,你知道刘冬做对了几道题27 .一次数学竞赛共有20道题.做对一道题得8分,做错一题倒扣4分,刘冬考了112分,你知道刘冬做对了几道题28 .52名同学去划船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人.求大船和小船各几只29 .在一个停车场上,停了小轿车和摩托车一共32辆,这些车一共108个轮子.求小轿车和摩托车各有多少辆鸡兔同笼问题一一根底学习一解做题3一般鸡兔同笼例1:鸡兔同笼,共17个头,42条腿.问：鸡有几只,兔有几只【答案】4只,13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板,套

9、公式兔：42-17M/2=4只；鸡：17-4=13只【结束】4一般鸡兔同笼例2:笼子里有假设干只鸡和兔.从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只【答案】兔有5只,鸡有3只.【解题关键点】解法1:假设的方法.如果假设笼子里都是鸡,就有8X2=16只脚,这样就多出2616=10只脚,一只兔比一只鸡多2只脚,也就是有10攵=5只兔.所以笼子里有3只鸡,5只兔.解法2:如果假设笼子里都是兔,那么也可以列式：鸡：8%26+42=3只兔：8-3=5只解法3:用方程解的.解：设兔有x只,那么就有8-x只鸡,鸡兔共有26只脚,就是4x+28-x=262x+16=26x=58-5=3只【结束】5

10、另一类,主者同笼问题【答案】1:把他们看成一个整体,把3者间的关系,转换成2类物体间谍关系2:三个未知数列三个方程【结束】6另一类鸡兔同笼例1:有蜘蛛,蜻蜓,蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿,2对翅膀；蝉6条腿,1对翅膀,三种动物各几只【答案】蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只.【解题关键点】方程假设蜘蛛为x,蜻蜓为y,蝉为Z那么x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只.1鸡兔同笼,共17个头,42条腿.问：鸡有几只,兔有几只2小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值1.5元.问

11、：一角的硬币有几枚,5角的硬币有几枚3用大小卡车往城市运送29吨蔬菜,大卡车每辆每次运5吨,小卡车每辆每次运3吨,问:大小卡车各用几辆一次能运完注意有多解4每校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分.问：男生比女生多几人5学校买回4个篮千和5个排球,一共用了185元,一个篮球比一个排球贵8元.问：篮球的单价是多少7小强集邮,他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张.问：小强买了4分邮票几张8一堆2分和5分的硬币共299分,其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍.问：5分硬币有几枚9某人领得奖金240元,有2元5元10元三种人民币共50张,其中2元和

12、5元的张数一样多.问：10元的张数是多少10小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱,8分的邮票比4分的多40张.问：8分的邮票是几张11鸡兔同笼,共200只,鸡的脚比兔的脚少56只.问：鸡有几只,兔有几只12有一辆货车运送2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子计算每只2角,如有破损,那么破损一个瓶子要倒赔1元.结果运费379.6元.问：运送中损坏了几只瓶子13某数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做不扣分.小华得了76分.问：小华做对几题14鸡兔同笼,共有头100个,足316只.问：鸡有几只,兔有几只15小明花了34元钱买贺卡和明信片,一共买了14张.贺卡每张3角5分,明信

13、片每张2角5分.问：小明买了几张贺卡,几张明信片16东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题,做对一题得5分,做错或没有做的题,每题倒扣3分.刘刚得了60分.问：他做对了几题17鸡兔同笼,共有脚100只.假设将鸡换成兔,兔换成鸡,那么共有脚92只,问：鸡有几只,兔有几只18100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚三人吃1个,问：大和尚有几个,小和尚有几个19鸡兔共有100只,鸡脚比兔脚多80只,问：鸡兔各有多少1 .鸡兔同笼,共有30个头,88只脚.求笼中鸡兔各有多少只2 .鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露.数清脚共五十双,各有多少鸡和兔3 .小明用10元钱正好买了20分和50分的邮

14、票共35张,求这两种邮票名买了多少张4 .小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张,求两种邮票各买了多少张5 .小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚,小刚数了一下,一共有194分,求两种硬币各有多少枚6 .三年一班30人共向北京奥运会捐款205元,同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗7 .松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个.它一连8天共采了112个松籽,这八天有几天晴天几天雨天8 .某校有一批同学参加数学竞赛,平均得63分,总分是3150分.其中男生平均得60分,女生平均得70分.求参加竞赛的男女各有多少人9 .一次数学竞赛共有

15、20道题.做对一道题得5分,做错一题倒扣3分,刘冬考了52分,你知道刘冬做对了几道题10 .一次数学竞赛共有20道题.做对一道题得8分,做错一题倒扣4分,刘冬考了112分,你知道刘冬做对了几道题11 .52名同学去划船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人.求大船和小船各几只12 .在一个停车场上,停了小轿车和摩托车一共32辆,这些车一共108个轮子.求小轿车和摩托车各有多少辆13 .解放军进行野营拉练.晴天每天走35千米,雨天每天走28千米,11天一共走了350千米.求这期间晴天共有多少天14 .100个和尚吃了100个面包,大和尚1人吃3个,小和尚3人吃1个.求大小和尚各有

16、多少个15 .一队强盗一队狗,二队拼作一队走,数头一共三百六,数腿一共八百九,问有多少强盗多少狗鸡兔同笼问题根底学习一解做题3一般鸡兔同笼例1:鸡兔同笼,共17个头,42条腿.问：鸡有几只,兔有几只?【答案】4只,13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板,套公式兔：42-17M/2=4只；鸡：17-4=13只【结束】4一般鸡兔同笼例2:笼子里有假设干只鸡和兔.从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只【答案】兔有5只,鸡有3只.【解题关键点】解法1:假设的方法.如果假设笼子里都是鸡,就有8X2=16只脚,这样就多出2616=10只脚,一只兔比一只鸡多2只脚,也就是有10攵=5

17、只兔.所以笼子里有3只鸡,5只兔.解法2:如果假设笼子里都是兔,那么也可以列式：鸡：8%26+42=3只兔：8-3=5只解法3:用方程解的.解：设兔有x只,那么就有8-x只鸡,鸡兔共有26只脚,就是4x+28-x=262x+16=26x=58-5=3只【结束】5另一类,主者同笼问题【答案】1:把他们看成一个整体,把3者间的关系,转换成2类物体间谍关系2:三个未知数列三个方程【结束】6另一类鸡兔同笼例1:有蜘蛛,蜻蜓,蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿,2对翅膀；蝉6条腿,1对翅膀,三种动物各几只【答案】蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只.【解题关键点】方程假设蜘

18、蛛为x,蜻蜓为y,蝉为Z那么x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只.百鸡问题?张邱建算经?中,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题：今有鸡翁一,值钱伍；鸡母一,值钱三；鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只,问鸡翁母雏各几何答日：鸡翁四,值钱二十；鸡母十八,值钱五十四；鸡雏七十八,值钱二十六.又答：鸡翁八,值钱四十；鸡母十一,值钱三十三,鸡雏八十一,值钱二十七.又答：鸡翁十二,值钱六十；鸡母四值钱十二；鸡雏八十四,值钱二十八.该问题导致三元不定方程组,其重要之处在于开创乙问多答的先例,这是过去中国古算书中所没有的.秦王暗点

19、兵问题和韩信乱点兵问题,都是后人对物不知其数问题的一种故事化.物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著?孙子算经?.原题为：今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,问物几何这道题的意思是：有一批物品,不知道有几件.如果三件三件地数,就会剩下两件；如果五件五件地数,就会剩下三件；如果七件七件地数,也会剩下两件.问：这批物品共有多少件变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2.求这个数这个问题很简单：用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,所以23就是此题的一个答案.

20、这个问题之所以简单,是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性.如果没有这个特殊性,问题就不那么简单了,也更有趣得多.我们换一个例子：韩信点一队士兵的人数,三人一组余两人,五人一组余三人,七人一组余四人.问：这队士兵至少有多少人这个题目是要求出一个正数,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的数尽可能地小.如果一位同学从来没有接触过这类问题,也能利用试验加分析的方法一步一步地增加条件推出答案.例如我们从用3除余2这个条件开始.满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数.要使3n+2还能满足用5除余3的条件,可以把n分别用1,2,3,代入来试.当n=1时,3n+2=5,5除以5不

21、用余3,不合题意；当n=2时,3n+2=8,8除以5正好余3,可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件.最后一个条件是用7除余4.8不满足这个条件.我们要在8的根底上得到一个数,使之同时满足三个条件.为此,我们想到,可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和.由于8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3.于是我们让新数为8+15m,分别把m=1,2,代进去试验.当试到m=3时,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53符合题目要求.我国古代学者早就研究过这个问题.例如我国明朝数学家程大位在他著的?算法统宗?(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解

22、法：三人同行七十稀,五树梅花甘一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.正半月暗指15.除百零五的原意是,当所得的数比105大时,就105105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数.这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是357时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加.加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解.按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：70>2+21>+15>4=263,263=2X105+53,所以,这队士兵至少有53人.在这种方法里,我们

23、看到：702115这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是：70是5与7的倍数,而用3除余1;21是3与7的倍数,而用5除余1;15是3与5的倍数,而用7除余1.因而70>2是5与7的倍数,用3除余2;21>3是3与7的倍数,用5除余3;15M是3与5的倍数,用7除余4.如果一个数除以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b.所以,把70X221与15必都加起来所得的结果能同时满足用3除余2用5除余3用7除余4的要求.一般地,70m+21n+15k(1<iK3,1<K5,1<R7)能同时满足用3除余m用5除余n用7除余k的要求.除以

24、105取余数,是为了求符合题意的最小正整数解.我们已经知道了702115这三个数的性质和用处,那么,是怎么把它们找到的呢要是换了一个题目,三个除数不再是357,应该怎样去求出类似的有用的数呢为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数,我们看看5与7的最小公倍数是否符合要求.5与7的最小公倍数是5X7=35,35除以3余2,35的2倍除以3余2,35的2倍除以3就能余1了,于是我们得到了主人同行七十稀为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数,我们看看3与7的最小公倍数是否符合要求.3与7的最小公倍数是3X7=21,21除以5恰好余1,于是我们得到了五树梅花甘一枝为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数,我们看看3与5的最小公倍数是否符合要求.3与5的最小公倍数是3X5=15,15除以7恰好余1,因而我们得到了七子团圆正半月357的最小公倍数是105,所以除百零五便得知.例如：试求一数,使之用4除余3,用5除余2,用7除余5.我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5X7=35