常微分方程在数学建模中的应用

1、 常微分方程在数学建模中的应用 北方民族大学学士学位论文 论文题目: 常微分方程在数学建模中的应用 院(部)名 称: 信息与计算科学学院 学 生 姓 名: 马木沙 专 业: 信计 学 号: 20093490 指导教师姓名: 魏波 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制摘 要本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如：人口模型、减肥的数学模型、化工车间通风模型、传染病的传播模型及定性分析等例子来体现微分方程在数学建模中的应用. 用数学理论解决实际生活中的问题.微分方程的出

2、现以及运用微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题.努力在各个领域利用并渗透数学知识的广泛运用.关键词：常微分方程，数学建模，数学模型 Abstract In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and

3、 uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application o

4、f differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enabl

5、e ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant

6、contribution in various fields.Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.目录第一章 绪论41.1背景及意义41.2本文研究的主要内容4第二章 微分方程的基本理论及稳定性研究62.1 微分方程的一般理论62.1.1微分方程的一般形式6212微分方程解的存在惟一性72.2人口模型10第三章 常微分方程在数学建模中的应用123.1 减肥的数学模型133.2化工车间的通风问题模型15第四章 总结17参考文献18致 谢1919第一章 绪论1.1背

7、景及意义常微分方程的发展、形成与许多学科都有着密切的联系，例如几何学、物理学、化学、生物学、经济学甚至电子科技、航天航空等.为数学的分支学科常微分方程的发展起着深刻而重要的影响，特别是计算机的发展更为常微分方程的应用及理论研究提供有力的工具.数学若想解决实际的许多问题，就要通过观察研究实际对象的特征和内在的关系规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数学模型.而在数学模型求解的问题上，常微分方程是最重要的知识工具.因此继续探讨研究常微分方程在数学建模中的应用依然是有着及其重要的学术价值和及其深刻的现实意义.目前，已有很多学者对此方面进行了研究，例如，朱美玲在太远城市职业技术学院报中简要介

8、绍了常微分方程的发展和数学建模的过程以及常微分方程在数学建模中的一些应用,并对数学建模在数学教学中的地位和作用作了一些展望；王英霞在才智2011年12期中介绍常微分方程的发展、数学建模的特点;重点介绍了常微分方程与数学建模相互结合,在不同的领域中的相关的具体例子,总结常微分方程在数学建模中的重要性；赵家林在中国科教创新导刊2009年第1期中描述了客观是的数量关系的一种重要数学模型.数学领域的中心学科常微分方程至今已有近 300 年的发展历史，为了寻求、解决类似自由落体下落过程中下落距离和时间的函数关系；研究火箭在空中飞行时的飞行轨道等这类实际性的问题，往往就要求我们找到满足某些特定条件的一个或

9、多个未知数方程，为了解决这类实际问题从而产生了微分方程.把含有未知函数及未知函数导数或微分的方程称之为微分方程.微分方程是在处理实际问题的过程中产生的, 微分方程的研究又促进实际问题的解决,同时也促进其他学科的发展.1.2本文研究的主要内容本文通过对常微分方程、数学模型、以及常微分方程在数学建模中应用的介绍，如：微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、人口模型、减肥的数学模型、化工车间的通风问题模型等.发现应用数学理论研究解决实际过程中的问题.而一切数学模型的建立和求解，都是为了更好的应用数学理论指导实际生活.常微分方程的出现以及常微分方程在数学建模中的广泛应用，就是

10、为了更好地使普通人理解并利用数学理论，更好的解决实际中的问题.把理论升华为由知识型向能力型转化，突显微分方程以及微分方程在数学建模中的应用，努力在各个领域做出突出重大贡献.本文共分为四个章节：第一章，对全文进行概述，介绍了常微分方程在数学建模中的应用的背景和意义、国内外的研究现状以及本文研究的主要内容. 第二章，微分方程的基本理论及稳定性研究. 第三章，常微分方程在数学建模中的应用. 第四章，全文综述、总结.第二章 微分方程的基本理论及稳定性研究2.1 微分方程的一般理论 微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用.针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求

11、出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明.一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在唯一性和稳定性问题. 2.1.1微分方程的一般形式 一阶微分方程 (2.1)其中是和的已知函数，为初始条件，又称定解条件。一介微分方程组 (2.2)又称为一阶正规方程组.如果引入向量则方程（2.2）可以写为简单的形式 (2.3)即与方程（3、1）的形式相同，当n=1时为方程（2.1）.对于任一高阶的微分方程如果记，即可化为一阶方程组的形式。一般解法如下：例1.求方程组解 将变量分离得两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数.或者解出y，写

12、出显函数形式的解 212微分方程解的存在惟一性正规方程组（2.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理.定理2.1（Cauchypeano） 如果函数在上连续，则方程组（2.3）在上有解满足初值条件，此处 定理3.2 如果函数在 上连续，且满足利普希茨（Lipschitz）条件（即存在正常数L使得，其中，则方程组（2.3）满足初值条件 的解是惟一的。 2.1.3微分方程的稳定性问题在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运到规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些人为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素，这些干扰因素在实际中可以

13、瞬时的起作用，也可持续的起作用.从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者会影响微分方程本身的变化，在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究的必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只是引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题，这里仍以方程组（2.3）为例讨论.(1)有限区间的稳定性如果在某个有限的区域内连续，且对满足礼普希茨条件，是方程组（2.3）的一个特解，则当充分接近于时，方程组（2.3）在上满足初值条件的解 有即对，总存在相应的，当时，对一切有此时称方程组（2.3）的解在有限区间上是稳定的。(3)渐进稳定性如果方程组（2.3）解在无限区间上是

14、稳定的，且存在，当时，有则称是渐进稳定的，或称局部渐进稳定性。如果上述（或给定的一个有限常数），则相应的渐进稳定性称为全局稳定性（或大范围稳定性）.(4) 经常扰动下的稳定性对于方程组（2.3），考虑相应的方程组(2.4)这里的称为扰动函数。如果对任意给定的，总存在和，使得当时有则方程组（2.4）有满足初值条件的解。且当时有就说方程组（2.3）的特解在经常扰动下是稳定的。(5) 研究稳定性的方法 实际中，要研究方程组(2.3)的解的稳定性问题，可以转化为研究方程零解的稳定性问题，事实上：对于方程组（2.3）的任一特解，只要令，则显然有，故方程组（3.3）变为(2.5)于是可知方程组（2.3）的

15、解对应于方程组（3.5）为。因此，要研究方程组（3.3）的的稳定性问题可转化为研究方程组（3.5）的平凡解的稳定性问题。如果微分方程组的所有解都能简单的求出来，一个特解的稳定性问题并不难解决，然而，实际中这种情况太少了，由此，一般性的稳定性问题研究是复杂的，通常的情况下都是针对具体问题做相应研究，下面通过例子作为解释说明.例.2 考虑一阶非线性方程组这里线性近似方程组的特征方程为或由此得赫尔维茨行列式根据定理，特征方程所有根均有负实部，由定理知零解为渐进稳定的.2.2人口模型英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年人口出生统计资料，发现了这样一个现象：

16、人口出生率是一个常数.在1978年他发表了人口原理一书，其中提出了闻名于世的Malthus人口模型.他的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，计此常数为r（生命系数）.在到这段时间内人口数量的增长量为于是满足微分方程(2.6)将上式改写为为于是和变量被分离，两边积分得这里为任意常数，由对数的定义，上式变为(2.7)其中，因亦是方程（2.6）的解，因此可以是任意常数。如设初始条件为时，(2.8)代入上式可得，即方程（2.6）的满足初值条件（2.8）的解为(2.9) 如果，上式说明人口总数将按指数规律无限增长.将以年或10年为单位离散化，

17、那么可以说，人口数是以为公比的等比数列增加的.当人口总数不大时，生存空间，资源等及充裕，人口总数指数地增长是可能的，但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实：环境所提供的条件 只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus模型在很大时是不合理的.荷兰生物学家Verhulst引入常数（环境最大容纳量）表示自然资源条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为即相对增长率为，即相对增长率随的增加而减少，当时，净增长率。按此假设，人口增长的方程应改为(2.1.0)这就是logistic模型，当与相比很大时，与相比可以忽略，则模型变为Malthus模型；但当与相比不是很大时，这一

18、项就不能忽略，人口急剧增加的速率要缓慢下来。我们用logistic模型来预测地球未来人数。某些人口学家估计世界人口的自然增长率，而统计得到世界人口在1960年为29.8亿。增长率1。85%，由logistic有，可得，即世界人口总量为82.3亿，由（2.1.0）式右端为二次多项式，以时为顶点，当时人口增长率增加；当时人口增长率减少，即人口增长到时增长率将逐渐减少，结果相符。第三章 常微分方程在数学建模中的应用常微分方程来源于生产实践，在解决科学技术的许多问题中发展并逐步完善，用微分方程解决实际问题一般分为以下几步：第一，实际问题的分析及提出；第二，根据问题的规律建立微分方程（称为建立数学模型）

19、；第三，解此微分方程或对方程进行定性分析；第四，最后再用方程的解（或性质）解释并预测问题的发展.数学建模是微分方程解决实际问题的最主要的途径.下面说明建模方法:微分方程建模是数学建模的重要方法与应用, 许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题.把形形色色的实际问题化微分方程的定解问题, 大体上可以按以下几步:(1) 根据实际问题建立对应的数学模型 微分方程(组). (2) 求解与研究这一数学模型, 包括分析解的特征. (3) 利用解得结果, 解的形式和数值, 进行定性研究与分析, 解释实际问题, 从而预测和描述某些现象, 甚至社会现象中的特定特质. (4)必要时修改模型或对问题作进一

20、步探讨.列方程常见的方法有: (1)按规律列方程，在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所掌握, 并直接由微分方程进行描述.我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程.(2)微元分析法和任意区域上取积分的方法自然界中有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的.对于这类问题, 利用微元分析法, 通过已知的规律建立一些变量( 自变量与未知函数) 的微元之间的关系式, 然后再通过求极限的方法得到微分方程, 或等价地通过任意区域上求积分的方法来建立微分方程. (3)模拟近似法在生物、经济等学科中, 许多现象所满足的规律并不清楚，而且相当复杂, 因而需要了解实

21、际资料或大量的实验数据, 提出各种假设.在一定的假设前提下, 给出实际现象所满足的客观规律, 然后根据适当的数学方法列出微分方程. 在实际的微分方程建模过程中, 也往往是上述方法的综合应用.不论应用哪种建模方法, 通常要根据实际问题中的情况, 作出一定的假设与简化,并把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证和比较, 以修改模型使之更准确地描述解决实际问题并进而达到预测预报的目的.3.1 减肥的数学模型1. 问题的提出随着人们生活水平的提高，普通百姓中减肥健美之风日盛.但是众多的的减肥手段、食品、饮料几乎让人们不知所措，有的达不到预期的效果，甚至产生不良的后果，以致报刊、电视、广播经常提醒人

22、们：减肥要慎重.问如何建立减肥的数学模型？2. 问题分析各种种族的不同性别人都有它自己体重的标准，但对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖.“肥胖”从某种意义上说就是脂肪过多以致超过标准.如果人吸收含过多热量的食物，则人体中这些过多的热量就会转化为脂肪而使脂肪增加.为了减肥应似乎少吃或不吃，但为了维持生命，就必须消耗一定的能量（热量）维持最基本的新陈代谢，工作、学习及体育锻炼也要消耗热量.因此，减肥应基于对饮食、新陈代谢、工作及体育锻炼这些关系的正确分析基础上，选择适当的方法进行.减肥的数学模型就要由此入手来建立.3. 模型假设（1）设某人每天从食物中摄取的热量是，其中用于新陈代谢（即自动

23、消耗），而从事工作、生活每天每kg体重必须消耗的热量，进行体育锻炼每天每kg体重消耗的热量；（2）某人以脂肪形式储存的热量的百分之白的有效，而1kg脂肪含热量是42000J；（3）设体重是时间t的连续的可微函数. 4、模型建立 显然，某人每天体重的变化等于输出热量所产生的体重减去输出热量所消耗的体重，这里输出热量是指扣除了新陈代谢之外的净吸收热量，而输出热量就是进行工作、生活以及体育锻炼的总消耗量.由于1kg脂肪含热量，故某人每天净吸收脂肪量，每天每kg体重净消耗脂肪量，进而知在到的时间内体重的变化为由此得体重变化的数学模型为(3.1)5.模型求解运用分离变量法，解方程（3.1），有利用初始条

24、件得于是得(3.2)注意到（3.2）式两端同号，指数因式为正，因此与同号，故有解得 (3.3) 下面再作进一步的分析：对（3.3）式求导得(3.4)由式（3.1）、（3.3）及（3.4）可以对减增肥效分析如下：若，即每天净吸收大于当初总消耗，则体重增加；若，即每天净吸收小于当初总消耗，则体重减少； 若，即每天净吸收等于总消耗，则体重不变；上述分析结果表明，只要适当控制(进食),（新陈代谢）,（工作生活），(体育锻炼)，要是体重控制在某个范围内是“可能”的，而且从数学上看，衰减很快，一般在有限时间（例如34个月）内体重就近似等于，因此为减肥，要减少，增大，有必要指出，市场上某些减肥药可能在（新陈

25、代谢）上做文章，从而具有某些速效，然而人们的新陈代谢不能违反人体的生理规律，所以某些药物强制性大幅度改变人体的新陈代谢反而给人体的健康造成不良后果.正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作和锻炼的习惯，即要适当控制及，当然，对于少数肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的.3.2化工车间的通风问题模型1.问题的提出在化工生产过程中，由于经常要排出一些不利于环境的物质.为了保持车间内的环境卫生，必须实时通入大量的新鲜空气，这就是通风问题.设有一个 的车间，其中空气中含有的,如需要在 分钟后的含量不超过 .（设新鲜空气中的含量为），问每分钟应通入多少的新鲜空气？2.问题分析化

26、工生产过程中，由于经常要排除一些不利于环境的物质，保持车间的环境卫生.就要通入大量的新鲜空气，研究通风的规律.3.模型建立引入下列符号：时间时的浓度；通入的空气量；车间的体积 的初浓度；解决这个问题主要依据下列两个物质平衡式：新鲜空气的浓度；增量 = 加入量 - 排出量 （1）流进（或排出）量 = 流进（或排出）速度×浓度×时间 （2）现在考虑在时间间隔内的进入量与排出量.由（2）式知的进入量的排出量在瞬间，的总量等于；在瞬间，的总量等于.所以在这段时间内，的增量为.4.模型求解根据上述分析，由（1）式可得或即(3)上述方程是一阶变量可分离方程. 显然初始条件是容易求解得(4)上式就是这个车间中空气中的浓度与时间的函数关系. 从（4）式可解出，得(5)将下列数值：代入（5）式，得5.模型总结也就是说每分钟应通入的新鲜空气，就能在分钟后，使车间内的 含量不超过 .实际上所需的新鲜空气量，比上面的数要小