CPI与股指货币供应量的数学建模

1、CPI、货币供给量、股指关系建模分析摘要： 2001年中国加入WTO后经济高速增长，人们的消费观念和消费结构也渐渐发生了改变，越来越多的人开始关注证券市场，股指是其中的的一项参重要的参考指标。在国家经济中，居民消费价格指数(CPI)，一直是政府关注的对象，为了稳定CPI，央行会通过货币供应量来调控。所以CPI、货币供给量、股指之间的关系也就成了一个经济热点。本文以经济着眼，我们在充分理解题意的基础后，选用了中国国家统计局往年公布的官方数据作为研究的数据。考虑到经济现象所存在的复杂性，我们提出了合理的假设.通过对问题的深入分析，我们将本题归结为多元线性回归的问题.采用了相关分析、曲线拟合、多元线

2、性回归、神经网络的方法得到最优的解决方案.对于题目要求的五个问题，我们逐次进行了解答：针对问题一，我们采用了spss13.0数学软件来解决。我们首先对1992年到2005年的数据进行整理，表（1）。并分别画出了股指、居民消费指数、货币供应量的走势图，见图（1）、（2）、（3）。然后，对变量股指、CPI、货币供应量进行相关分析，从相关分析表，见表（2），我们可以看出M2与股指，M2与CPI之间的关系较强，CPI与股指之间的相关性较弱，于是我们忽略其关系，确定了股指、CPI、货币供应量的初步关系。针对问题二，我们将货币供应量分为M0(准货币) 、M1（货币）、M2(货币和准货币),把M0 、M0、

3、M2当作自变量，研究M0 、M0、M2与CPI、股指的联系。用Matlab画出了M0 、M0、M2分别与CPI得曲线拟合图。针对问题三，首先，我们对M0 、M0、M2、CPI、股指进行相关性分析，看出他们的相关性很大。然后，我们再以M0 、M0、M2为自变量，分别以CPI和股指为因变量建立多元线性回归模型。从模型的结果看出，M0是影响其它变量最根本的原因，于是我们建立统计分析表，表（7）针对问题四，以M0 、M0、M2为自变量，分别以CPI和股指为因变量，通过往年的数据建立神经网络模型，来达到对2010年和2011年CPI和股指的预测。通过神经网络MATLAB源程序生成的原始数据与仿真数据的对

4、比图可知，神经网络预测具有较高的准确性，并把得到的2010年和2011年的CPI和股指的数据与原数据作对比。针对问题五，把神经网络预测的结果和真实数据进行对比，我们看出数据之间存在着明显误差，所以我们对模型提出了改进方案，引进了金融危机修正系数，来提高模型准确度。关键词：相关分析 曲线拟合 多元线性回归 神经网络 Matlab Spss一、 问题重述 我们的问题是，利用所下载的数据，解决以下经济问题：1.分析CPI、货币供给量、股指的走势及初步关系2.对之间的关系进行建模分析3.分析到底哪一个是根本原因，并进行统计分析4.对这些指标的未来走势进行预测5.提出相应的对策和建议二、问题背景及分析

5、股指（stock index）: 是股票价格指数简称 股票价格指数简介：股票价格指数即股票指数。是由证券交易所或金融服务机构编制的表明股票行市变动的一种供参考的指示数字。由于股票价格起伏无常，投资者必然面临市场价格风险。对于具体某一种股票的价格变化，投资者容易了解，而对于多种股票的价格变化，要逐一了解，既不容易，也不胜其烦。为了适应这种情况和需要，一些金融服务机构就利用自己的业务知识和熟悉市场的优势，编制出股票价格指数，公开发布，作为市场价格变动的指标。投资者据此就可以检验自己投资的效果，并用以预测股票市场的动向。居民消费价格指数 （CPI）: 反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品价格和服

6、务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果。利用居民消费价格指数，可以观察和分析消费品的零售价格和服务价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度。居民消费价格水平的变动率在一定程度上反映了通货膨胀（或紧缩）的程度。货币供应量 (Money Supply) ：国家在某一时点上为社会经济运转服务的货币存量，它由包括中央银行在内的金融机构供应的存款货币和现金货币两部分构成。我国从1994 年三季度起由中国人民银行按季向社会公布货币供应量统计监测指标。我国将货币供应量划分为三个层次：一是流通中现金0，即在银行体系外流通的现金；二是狭义货币供应

7、量1，即0加上企事业单位活期存款；三是广义货币供应量2，即1加上企事业单位定期存款、居民储蓄存款和其他存款。我们知道，CPI是一个滞后性的数据，但它往往是市场经济活动与政府货币政策的一个重要参考指标。CPI的大幅上涨，即最通俗的说法“涨价”，是不受欢迎的。如果CPI升幅过大，则通货膨胀就会成为国民经济中的不稳定因素，央行即会有紧缩货币政策和财政政策的风险，继而导致经济前景不明朗。国内经济快速增长，近两年来GDP增长都在9%以上，CPI却没有多少波动,最大的原因在于为了稳定经济，我国政策对经济一直实行着宏观调控。比如，当CPI高，而且持续升高，国家就会调控，一般会收紧银根，减少货币发行量，通过减

8、少流通的货币来控制物价，即稳定了居民消费价格指数 （CPI），而流通的货币减少了，宏观上对股指的影响就是利空，股指就有可能下降。当然，我们通过往年数据大体可知，股指、居民消费指数、货币供应量之间存在着错综复杂的关系。可是，经济现象一直都存在着复杂性，我们在研究它们的关系并且预测走势时，必须理清整体的脉络，为了找出最根本原因，而忽略次要的因素。对于此题，由于我们对经济方面并没有深入的研究，我们给自己的论文定位只是一篇关系浅显的学术探讨，并不具备精准的经济预测能，我们只能择其优者而选之，来解决问题。三、模型假设及符号说明1、模型假设（1）不考虑除股指、居民消费指数、货币供应量之外的其他变量的作用。

9、（2）假设历年所统计的数据都是采用同样的统计方法和统计范畴。（3）假设样本的范围足够大，具有代表性。（4）假设国家政策、居民消费结构不发生改变。（5）假设忽略了实际生活中存在的不定因素。（6）假设不考虑CPI的滞后影响。2、符号说明 符号 符号说明 CPI 当年居民消费指数 CPI1 相对1991年的居民消费指数 0 银行体系外流通的现金 1 狭义货币供应量 2 广义货币供应量，即准货币和货币 五、模型建立及求解1问题一1.1 对中国1992年到2005年间的股指、CPI、货币供应数据进行整理，数据见表（1）。（其中CPI以1991年的数据100为基准） 表（1）时间M0M1M2股指CPI1C

10、PI19902644.46950.715293.4127.6199.8103.119913177.88633.319349.9292.65102.9103.41992433611731.525402.2780106.4106.419935864.716280.434879.8834122.1114.719947288.620540.746923.5648151.5124.119957885.323987.160750.5555177.4117.11996880228514.876094.9917192.1108.3199710177.634826.390995.31194197.5102.81

11、99811204.238953.7104498.51147195.999.2199913455.545837.3119897.91367193.198.6200014652.6553147.2134610.42073193.9100.4200115688.859871.6158301.91646195.3100.7200217278.4370881.81850071358193.799.2200319745.9984118.6221222.81497196101.2200421468.395969.72541071267203.7103.9200524031.67107278.7298755.

12、71161207.3101.8 数据来源于中国统计局对股指、CPI、货币供应量（用M2表示）数据进行整理描述性统计分析：Descriptive Statistics 表（2） NRangeMinimumMaximumMeanStd. DeviationVarianceM214273353.50000000000025402.200000000000298755.7000000000007146975941.454guzhi14151855520731174.57412.598170237.187CPI1425.598.6124.1105.6007.804060.903Valid N (list

13、wise)14 从描述性统计分析可看出，在1992年至2005年之间，我国CPI的波动不大，而货币供应量和股指都有较大幅度的波动。1.2用spss13.0数学软件，分别画出了股指、CPI、货币供应量的走势图，用M2代表货币供应量，见下图：图（1） *采用曲线拟合的方法，画出股指走势图： 图（2）*处理CPI数据时，由于其波动不大，我们以1991年的CPI为基准，采用相对CPI指数CPI1,即当年数据乘以上一年数据。 图（3）1.3用spss13.0对变量股指、CPI、货币供应进行相关分析，得相关分析表： 表（3）Correlations M2guzhiCPI1M2Pearson Correla

14、tion1.526.704(*) Sig. (2-tailed) .054.005 N141414guzhiPearson Correlation.5261.561(*) Sig. (2-tailed).054 .037 N141414CPI1Pearson Correlation.704(*).561(*)1 Sig. (2-tailed).005.037 N141414从相关分析表中，我们可以看出，股指、CPI、货币供应之间都存在一定的关系。但货币供应量与CPI和股指之间的相关性较强，CPI与股指之间的相关关系较弱，于是我们在后面的研究中忽略CPI与股指之间的关系，只研究货币供应量同股指和

15、CPI的关系。 2问题二2.1模型建立现代经济学认为，当一国经济高速增长时，生产和消费需求增长，工资上涨、失业下降，同时伴随着物价增长，股指也有所提高。中国经济高速增长，CPI却并未像预期的那样快速升高，甚至还出现了“通货紧缩”，货币增发后半年CPI会受影响上升，回顾近十年货币供应量与CPI变动趋势，发现货币供应量变动轨迹与CPI呈现相似趋势。我国央行将货币供应量划分为M0、M1和M2，三者包含的内容分别为：M0：流通中的现金；M1：M0+非金融性公司的活期存款；M2：M1+M1+非金融性公司的定期存款+储蓄存款+其他存款。因此，本文将对三个层次的货币供应量与CPI、股指的关系进行实证分析。我

16、们将货币供应量分为M0(准货币) M0（货币）、M2(货币+准货币)。以M0 、M0、M2为自变量，分别将CPI和股指作为因变量。2.2 CPI与M0、M1、M2曲线拟合图 图（4） 图（5） 图（6）3. 问题三3.1数据分析、我们M0 、M0、M2、CPI、股指进行相关性分析，看出他们的相关性很大。 表（4）Correlations M0M1M2guzhiCPI1M0Pearson Correlation1.995(*).993(*).599(*).745(*) Sig. (2-tailed) .000.000.024.002 N1414141414M1Pearson Correlatio

17、n.995(*)1.999(*).543(*).696(*) Sig. (2-tailed).000 .000.045.006 N1414141414M2Pearson Correlation.993(*).999(*)1.526.704(*) Sig. (2-tailed).000.000 .054.005 N1414141414guzhiPearson Correlation.599(*).543(*).5261.561(*) Sig. (2-tailed).024.045.054 .037 N1414141414CPI1Pearson Correlation.745(*).696(*).

18、704(*).561(*)1 Sig. (2-tailed).002.006.005.037 N1414141414* Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).* Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).3.2建立模型-多元线性回归 如果根据经验和有关知识认为与因变量有关联的自变量不止一个，那么就应该考虑用最小二乘法准则建立多元线性回归模型。以M0 、M0、M2为自变量，分别将CPI和股指作为因变量建立多元回归模型。设回归方程为： 3.3模型结果运用M

19、atlab命令中的regress(y,X),实现多元线性回归的解，程序见附录（2）。 表（5）回归系数回归系数估计值回归系数的置信区间76.444019.9530 132.93500.02560.0095 0.0417-0.0091-0.0169 -0.00130.0017-0.0008 0.0042因此，我们得到初步CPI的回归方程：CPI=76.4440+0.0256M0-0.0091M1+0.0017M2 表（6）回归系数回归系数估计值回归系数的置信区间-543.6851-1.4243 0.33700.35460.0001 0.00060.0204-0.0001 0.0001-0.030

20、1-0.0001 0.0000因此，我们得到初步股指的回归方程：guzhi=0.3546M0+0.0204M1-0.0301M2-543.6851由结果可知，影响CPI、股指的根本因素是M0. 表（7） 统计表4问题四4.1模型原理-神经网络模型 1985年，Rumelhart等人提出了误差反向传递学习算法（即BP算），实现了Minsky的多层网络设想，如图（7）所示。 图（7）输入层中间层输出层 BP神经网络模型         BP算法不仅有输入层节点、输出层节点，还可有1个或多个隐含层节点。对于输入

21、信号，要先向前传播到隐含层节点，经作用函数后，再把隐节点的输出信号传播到输出节点，最后给出输出结果。节点的作用的激励函数通常选取S型函数，如假设含有n个节点的任意网络，各节点之特性为Sigmoid型。为简便起见，指定网络只有一个输出y,任一节点i的输出为Oi,并设有N个样本(xk,yk)(k=1,2,3,N),对某一输入xk，网络输出为yk节点i的输出为Oik,节点j的输入为netjk=并将误差函数定义为其中为网络实际输出，定义Ek=(yk-k)2, ,且Ojk=f(netjk),于是=jkOik当j为输出节点时，Ojk=k(34.1)若j不是输出节点，则有 因此(34.2)如果有M层，而第M

22、层仅含输出节点，第一层为输入节点，则BP算法为：第一步，选取初始权值W。第二步，重复下述过程直至收敛：a. a.       对于k=1到Na). 计算Oik, netjk和k的值(正向过程)；b). 对各层从M到2反向计算(反向过程)；b. b.       对同一节点jM,由式(34.1)和(34.2)计算jk;第三步，修正权值，Wij=Wij-, >0, 其中。从上述BP算法可以看出，BP模型把一组样本的I/O问题变为一个非线性优化问题，它使用的是优化中最普通的梯

23、度下降法。如果把神经网络的看成输入到输出的映射，则这个映射是一个高度非线性映射。4.2模型建立-神经网络以M0 、M1、M2为自变量，分别以CPI和股指为因变量，通过往年的数据建立神经网络模型（假设除M0、M1、M2三个自变量，其他影响因素可忽略不计）。利用MATLAB源程序对未来两年CPI和股指走势，取19902009年20年的M0、M1、M2数据作为样本，建立一个输入维度为3输出维度为2样本空间为20，中间层隐节点数量取8，并预测未来两年，即2010年、2012年的CPI和股指数据。 表（7）时间M0M1M2股指CPI19902644.46950.715293.4127.6199.8199

24、13177.88633.319349.9292.65102.91992433611731.525402.2780106.419935864.716280.434879.8834122.119947288.620540.746923.5648151.519957885.323987.160750.5555177.41996880228514.876094.9917192.1199710177.634826.390995.31194197.5199811204.238953.7104498.51147195.9199913455.545837.3119897.91367193.1200014652

25、.6553147.2134610.42073193.9200115688.859871.6158301.91646195.3200217278.4370881.81850071358193.7200319745.9984118.6221222.81497196200421468.395969.72541071267203.7200524031.67107278.7298755.71161207.3200627072.62126035.1345603.62675210.4200730375.23152560.1403442.25261.56220.5200834218.96166217.1475

26、166.61820.81233.5200938245.97220001.56062253277231.9201044628.17266621.5725851.82801239.5201150748.5289847.7851590.92199.42253 注：表中CPI数据是以1991年为100，货币供给量，即M0、M1、M2的单位为亿元，股指单位为点。4.3模型预测及检验神经网络MATLAB源程序生成的原始数据与仿真数据的对比图可知，神经网络预测具有较高的准确性，并把得到的2010年和2011年的CPI和股指的数据与原数据作对比，发现预测数据与元数据误差较小，可应用于实际，即国家可以根据控制货

27、币供给量，控制CPI和股指的走势。 图（8）预测结果统计表： 表（8） 项目实际值预测值2010年CPI239.5214.8股指28012857.62011年CPI253204股指2199.422281 七、模型评价与改进优点：该模型结合相关分析和多元线性规划的方法，将模型的复杂度降低。整个模型结构紧凑，简单明了，图解充分。所构造的神经网络模型具有很强的非线性拟合能力，可映射任意复杂的非线性关系，而且学习规则简单，便于计算机实现。同时具有很强的记忆能力、非线性映射能力以及强大的自学习能力。缺点：该模型有一定的局限性，社会经济中CPI在受到货币供应量影响的同时也会和货币供应量一起影响到股指的走势

28、，它们之间的关系是彼此受到影响。模型忽略了时间的滞后因素，忽略了金融危机、自然灾害、和众多社会变动因素，这也就降低预测的准确度。 模型改进：1、没有考虑到CPI计算基准随时间在变，以致CPI 19922000年和20012005年的数据衔接得不是很好，对模型各个参数产生一定的影响。我们可以对不同基准的CPI数据先做预处理，以减少其带来的误差。2、没有考虑到中间有些年份金融危机对CPI、股指、货币供应量的巨大影响。在模型中，我们可以在遇到金融危机年份时增加一个修正系数，以提高模型的准确性。 八、模型的推广该模型可以推广到研究工资与某些因素的内在关系、证券市场的分析、旅游业与国民经济的发展，可以推

29、广到数据众多，但具体关系并不十分明显的研究领域。九、参考文献3 M.H.Alsuwaiyel.算法设计技巧与分析M.北京：电子工业出版社，20104 华东师范大学数学系.数学分析下册（第三版）M. 北京：高等教育出版社，20015 薛南青.数学建模基础知识与案例精选M.济南：山东大学出版社，20076 杨启帆、方道元.数学建模M.杭州：浙江大学出版社，19997赵红.神经网络应用设计M.北京：机械工业出版社，20108张甜.SPSS统计分析与行业应用S.北京：清华大学出版社，20119，2012-8-25十、附录附录（1）最小二乘法拟合股指走势曲线程序：x=1992:1:2005;y=780

30、834 648 555 917 1194 1147 1367 2073 1646 1358 1497 1267 1161;p=polyfit(x,y,2);y1=polyval(p,x)plot(x,y1,'-*')附录（2）多元线性回归程序m0=4336 5864.7 7288.6 7885.3 8802 10177.6 11204.2 13455.5 14652.65 15688.8 17278.43 19745.99 21468.3 24031.67;m1=11731.5 16280.4 20540.7 23987.1 28514.8 34826.3 38953.7 45

31、837.3 53147.2 59871.6 70881.8 84118.6 95969.7 107278.7;m2=25402.2 34879.8 46923.5 60750.5 76094.9 90995.3 104498.5 119897.9 134610.4 158301.9 185007 221222.8 254107 298755.7;CPI=106.4 122.1 151.5 177.4 192.1 197.5 195.9 193.1 193.9 195.3 193.7 196 203.7 207.3;x=ones(14,1),m0',m1',m2'b,bi

32、nt,r,rint,stats=regress(CPI',x);b bint r rintstats b = 76.4440 0.0256 -0.0091 0.0017bint = 19.9530 132.9350 0.0095 0.0417 -0.0169 -0.0013 -0.0008 0.0042r = -17.8481 -16.1438 -5.0060 13.4470 19.7285 21.8583 8.5087 -15.6687 -4.2018 -8.4920 3.7641 1.5102 16.8375 -18.2938rint = -43.0563 7.3600 -47.0

33、633 14.7756 -39.9811 29.9692 -20.8657 47.7597 -11.3423 50.7992 -10.6740 54.3905 -25.8170 42.8345 -44.6516 13.3141 -35.4813 27.0776 -43.3503 26.3664 -31.1029 38.6310 -31.5938 34.6143 -8.5529 42.2279 -32.1692 -4.4184stats =0.7869 12.3055 0.0011 269.4348m0=4336 5864.7 7288.6 7885.3 8802 10177.6 11204.2

34、 13455.5 14652.65 15688.8 17278.43 19745.99 21468.3 24031.67;m1=11731.5 16280.4 20540.7 23987.1 28514.8 34826.3 38953.7 45837.3 53147.2 59871.6 70881.8 84118.6 95969.7 107278.7;m2=25402.2 34879.8 46923.5 60750.5 76094.9 90995.3 104498.5 119897.9 134610.4 158301.9 185007 221222.8 254107 298755.7;gz=7

35、80 834 648 555 917 1194 1147 1367 2073 1646 1358 1497 1267 1161;x=ones(14,1),m0',m1',m2'b,bint,r,rint,stats=regress(gz',x);b bint r rintstats b = -543.6851 0.3546 0.0204 -0.0301bint = 1.0e+003 * -1.4243 0.3370 0.0001 0.0006 -0.0001 0.0001 -0.0001 0.0000r = 311.9681 16.5763 -398.5405

36、-357.1048 49.5221 158.7474 70.1388 -184.7644 390.7474 172.5339 -99.4935 -14.8815 -107.0876 -8.3618rint = -66.7722 690.7083 -500.2557 533.4082 -860.0798 62.9988 -847.0183 132.8086 -484.7351 583.7794 -395.6409 713.1357 -471.4608 611.7385 -651.9016 282.3729 -4.1119 785.6067 -364.6246 709.6924 -639.7505

37、 440.7636 -531.1202 501.3573 -541.0761 326.9008 -311.0366 294.3131stats = 1.0e+004 * 0.0001 0.0008 0.0000 6.5478附录（3）神经网络模型Matlab程序function main()clcclear all;close all;SamNum=20;TestSamNum=20;ForcastSamNum=2;HiddenUnitNum=8;InDim=3;OutDim=2;sqm0=2644.4 3177.8 4336 5864.7 7288.6 7885.3 8802 10177.6

38、11204.2 13455.5 14652.65 15688.8 17278.43 19745.99 21468.3 24031.67 27072.62 30375.23 34218.96 38245.97;sqm1=6952.7 8633.3 11731.5 16280.4 20540.7 23987.1 28514.8 34826.3 38953.7 45837.3 53147.2 59871.6 70881.8 84118.6 95969.7 107278.7 126035.1 152560.1 166217.1 220001.5;sqm2=15293.4 19349.9 25402.2

39、 34879.8 46923.5 60750.5 76094.9 90995.3 104498.5 119897.9 134610.4 158301.9 185007 221222.8 254107 298755.7 345603.6 403442.2 475166.6 606225;glcpi=99.8 102.9 106.4 122.1 151.5 177.4 192.1 197.5 195.9 193.1 193.9 195.3 193.7 196 203.7 207.3 210.4 220.5 233.5 231.9;glgz=127.61 292.65 780 834 648 555

40、 917 1194 1147 1367 2073 1646 1358 1497 1267 1161 2675 5261.56 1820.81 3277;p=sqm0;sqm1;sqm2;t=glcpi;glgz;SamIn,minp,maxp,tn,mint,maxt=premnmx(p,t);rand('state',sum(100*clock);NoiseVar=0.01;Noise=NoiseVar*randn(2,SamNum);SamOut=tn+Noise;TestSamIn=SamIn;TestSamOut=SamOut;MaxEpochs=50000;lr=0.

41、035;E0=0.65*10(-3);W1=0.5*rand(HiddenUnitNum,InDim)-0.1;B1=0.5*rand(HiddenUnitNum,1)-0.1;W2=0.5*rand(OutDim,HiddenUnitNum)-0.1;B2=0.5*rand(OutDim,1)-0.1;ErrHistory=;for i=1:MaxEpochs HiddenOut=logsig(W1*SamIn+repmat(B1,1,SamNum); NetworkOut=W2*HiddenOut+repmat(B2,1,SamNum); Error=SamOut-NetworkOut; SSE=sumsqr(Error) ErrHistory=ErrHistory SSE; if SSE<E0,break,end Delta2=Error; Delta1=W2'*Delta2.*HiddenOut.*(1-HiddenOut); dW2=Delta2*HiddenOut' dB2=Delta2*ones(SamNum,1); dW1=Delta1*SamIn' dB1=Delta1*ones(SamNum,1); W2=W2+lr*