离心率的五种求法

1、离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现椭圆的离心率0e1,双曲线的离心率e1,抛物线的离心率e1.一、直接求出a,c,求解e已知标准方程或ac易求时，可利用离心率公式c来求解。e-a2例1.过双曲线C:x2y21（b0）的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的b2两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是（）A.,10B.,5C.-1D.分析：这里的a1,cJb21,故关键是求出b2,即可利用定义求解。解：易知A（-1,0）,则直线l的方程为yx1。直线与两条渐近线ybx和ybx的交点分别为B（,-b-）、C（,b-）,又|

2、AB|=|BC|,可解得b29,则b1b1b1b1c,110故有e-d0,从而选A。、变用公式p ce aa13（双曲线），e1-22（椭圆），整体求出eaa，a例2.已知双曲线的离心率为（2xa)b21（a 0 b 0）的一条渐近线方程为 y , x，则双曲线，3A.B.C.D.分析：本题已知b4,不能直接求出a、c,可用整体代入套用公式。a3解：因为双曲线的一条渐近线方程为y1(4)25,从而选Aoa331 .设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线yx21相切，则该双曲线的离心率等于A.C.D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切,所以，即b2a2

3、.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若AB1bc,则双曲线的离心率是（）2A.B.C.D答案：Cuur因止匕2AB【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B,G,uur22b2BC,4a2b2,即b24,a3.过椭圆（）的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【解析】因为，再由有即bi2从而可得e1bi72Y3,故选ba3a33三、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率eo例3.已知椭圆的左焦点为，右顶点

4、为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点.若uuruurAP2PB,则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.uuruur【解析】对于椭圆，因为AP2PB,则1 .设和为双曲线（）的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D,3【解析】由有，则，故选B.2 .双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,F1MF21200,则双曲线的离心率为（）A .3、33解：如图所示,不妨设M 0,b , F1c,0F2 c,0 ，MF1 MF在F1MF2中,b2cc2b2 ,又 F1F2由余弦定理，得cos2222c b c b2 c2b24c23 .设是等腰三角形,A.B.2c,F

5、1MF2|MFi|2MF2F1F22MF1 MF22ac 222c a3a22c2,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（C.D.4 .设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上,设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，5.设椭圆的两个焦点分别为F F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）A B. ； C. 22D.P,若F1PF2. 2 1解:b2,PF22c2 a化为齐次式e222a c 2ac2e 1 0 e 2 1

6、6.双曲线（a 0,b 0）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）22A.B.C.D.7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（A.B.C.D.行AFAF2= 2AF2 = 2a解？ _ 2_ 2_ 2 ? a?(AF1)2+(AF2)2= (2c)22c ?10 _J0228 .如图，F1和F2分别是双曲线与与 a b（a 0,b 0）的两个焦点，A和B是以。为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2 AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（A .3B .5、526.解析：连接 AF, /

7、 AF2Fi=30 ,|AFi|二c|AF2|二c,二,双曲线的离心率为，选 D229.设E、F2分别是椭圆 二与1 （ a a bb 0）的左、右焦点,P是其右准线上纵坐标为 3c（c为半焦距）的点，且F2 P ,则椭圆的离心率是（）A；.5 122 X10.设双曲线与a2 y b21 (0a b）的半焦距为a,00, b两点.已知原点到直线的距离为. 3c4则双曲线的离心率为A. 22,33B.3C.D.解：由已知，直线L的方程为bx ay ab0,由点到直线的距离公式,ab .a2b2又c23e4a2 16e2b2,16 4ab J3c2,两边平方,0,得 16a2 c2 a3c4,整理

8、得得e242一，又 0 a b , ： e322a b2ab222 , a e 4 , aF1F2为边作正三）11.知F1、F2是双曲线:与1（a0，b0）的两焦点，以线段ab角形MFiF2,若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A.42.3B.31C.-2_JD.312解：如图，设MF1的中点为P,_0c、3cic3cQOF1P60,PF1c,Xp,yp，即P(,)2222222把P点坐标代人双曲线方程，有J二=1，4a24b2化简得e48e240解得e1君或e1-向舍），故选D四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适

9、用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。22例4：设椭圆x-y-1（a0,b0）的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直a2b2于X轴的弦的长等于点Fi到1i的距离，则椭圆的离心率是V AD义，e解：如图所示，AB是过F1且垂直于X轴的弦,1i于D,AD为Fi到准线1i的距离，根据椭圆的第二定AFi|2AB1ad|ad|21.在给定椭圆中, 椭圆的离心率为（过焦点且垂直于长轴的弦长为J2，焦点到相应准线的距离为1,则该解：eAD).222 21.242.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为1焦点到相应准线的距离为-2则该双曲线的离心率为（22五、构建关于e的不等式，求e的取值范围221.已知双曲线x2冬1(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为600ab的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A1,2B1,2C2,D2,222.椭圆x211(ab0)的焦点为E、F2,两条准线与x轴的交点分别为a2b2M、N,若MN2F1F2,则该椭圆离心率的取值范围是()1 .21、.2A.0,-B.0,C.-,1D.,12 2221 .双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐