二次函数面积最值问题

1、 （2 2）求函数）求函数y yx x2 2+2x+2x3 3的最值的最值. .（0 x 30 x 3）复习引入复习引入注：注：1.1.自变量自变量X X的取值范围为一切实数，顶点处取最值的取值范围为一切实数，顶点处取最值. . 2. 2.有取值范围的在端点和顶点处取最值有取值范围的在端点和顶点处取最值. .用总长为用总长为6060米的篱笆围成矩形场地，矩米的篱笆围成矩形场地，矩形面积形面积s s随矩形一边长随矩形一边长L L的变化而变化的变化而变化. .当当L L是多少时，场地的面积是多少时，场地的面积S S最大？最大？ 问题：问题：xxyO16X=8128ABCD例例1：小明的家门前有一块

2、空地，空地外有一面长：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃个矩形花圃 ，他买回了，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？使花圃的面积最大？ (各边取整数）各边取整数） 则则AB=（32-2x）米，设矩形面积为）米，设矩形面积为y米米2，得到：，得到：Y=x（32-2x）=-2x2+32x由顶点公式得：由顶点公式得：x=8米时，米时，y最大

3、最大=128米米210米米DABCx32-2x解：设解：设AD=x米，米，错解错解 而实际上定义域为而实际上定义域为11 x 16，由图象或，由图象或增减性可知增减性可知x=11米时，米时， y最大最大=110米米2例例2：如图在如图在ABC中，中，AB=8cm,BC=6cm，BB9090点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边向点边向点B B以以2 2厘米秒的速度移动，厘米秒的速度移动，点点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边向点边向点C C以以1 1厘米秒的速度厘米秒的速度移动，如果移动，如果P,QP,Q分别从分别从A,BA,B同时出发，同时出发，几秒后几秒后PBQPBQ的面积

4、最大？的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？ABCPQ2cm/秒秒解：根据题意，设经过解：根据题意，设经过x秒秒后后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm=-x2 +4x=-（x2 -4x +4 -4）= -（x - 2）2 + 4所以，当所以，当P、Q同时运动同时运动2秒后秒后PBQPBQ的面积的面积y y最大最大最大面积是最大面积是 4 cm2（0 x4）ABCPQ2cm/秒秒1cm/秒秒则则 y= x（8-2x）练习练习1:如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔米的篱笆，围成中

5、间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方平方米。米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解解： (1) AB为为x米、篱笆长为米、篱笆长为24米米 花圃宽为（花圃宽为（244x）米）米 (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8米米 (2)当当x 时，时，S最大值最大值 36

6、（平方米）（平方米）32ababac442 Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 8 4x6当当x4m时，时，S最大值最大值32 平方米平方米x244x在矩形荒地在矩形荒地ABCD中，中，AB=10，BC=6,今在四今在四边上分别选取边上分别选取E、F、G、H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？可使花园面积最大？DCABGHFE106解：设花园的面积为解：设花园的面积为y则则 y=60-x2 -（10-x）（）（6-x）=-2x2 + 16x（0 x6）=-2（x-4）2 + 32所以当所以当x=4时时

7、 花园的最大面积为花园的最大面积为322：xxxx10-x6-x 练习练习 4 4： 室内通风和室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积面积. .如果计划用一段长如果计划用一段长12m12m的铝合金材料的铝合金材料, ,制制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框, ,那么当那么当矩形的长、宽分别为多少时矩形的长、宽分别为多少时, ,才能使该窗户的透才能使该窗户的透光面积最大光面积最大( (精确到精确到0.1m)?0.1m)?窗户的透光面积窗户的透光面积= 半圆的面积半圆的面积+ + 矩形的面积矩形的面积解解:

8、: 设矩形窗框的宽为设矩形窗框的宽为_m,则半圆形窗框的半径为则半圆形窗框的半径为_m, 矩形窗框的高为矩形窗框的高为_m._m.2xx(6-2x-0.5x)2x设窗户的透光面积为设窗户的透光面积为SmSm2 2, ,则则S= x2+2x(6-2x-0.5x)12=-( +4)x2+12x121212182(4)2x 当当1.11.1时时,s,s的值最大的值最大. .即当矩形窗框宽约即当矩形窗框宽约2.2m,2.2m,高约高约2.1m2.1m时，透光面积最大。时，透光面积最大。何时窗户通过的光线最多w某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半圆它的上半部是半圆, ,下下半

9、部是矩形半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有的黑线图中所有的黑线的长度和的长度和) )为为15m.15m.当当x x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线窗户通过的光线最多最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?做一做做一做P62驶向胜利的彼岸xxyw(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xcm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内

10、部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .想一想想一想P62驶向胜利的彼岸MN40cm30cmABCDw(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xcm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .想一想想一想P62驶向胜利的彼岸AB

11、CDMN40cm30cmxcmbcmw(1).如果设矩形的一边如果设矩形的一边AD=xcm,那那么么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .想一想想一想P62驶向胜利的彼岸ABCDMN40cm30cmbcmxcmw(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xcm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中点其中点A A和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC,BC在斜边上在斜边上. .想一想想一想P63驶向胜利的彼岸ABCDMNP40cm30cmxcmbcmHG（四）师生小结（四）师生小结 1.对于面积最值问题应该设图形一对于面积最值问题应该设图形一 边长为自变量，所求面积为函数建立边长为自变量，