第一部分质点运动学教学ppt课件

1、第一章第一章 质点运动学质点运动学时间和空间的丈量 绝对时空观绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关， 一直坚持着类似和不变。绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地 流逝而与任何外在的情况无关。 牛顿时间和空间的丈量与物体的存在和运动没有任何关系时间和空间的丈量与物体的存在和运动没有任何关系Wireless GPS Synchronized Clock System参考物：选取的一个有固定大小和外形的物体。 相对参考物，可以确定其它物体的位置。参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展， 构成三维平直空间参考系：参考空间+丈量时间的时钟坐标系：在参考空间中任选一点作为原点， 可

2、建立各种坐标系。 时间的零点也可任选xzyO参考系相对运动的参考系两个参考系之间假设有相对运动，他们观测同一个运动物体能否会得到一样的间隔和时间？xzyOv由繁到简将物体模型化为一个点质点由简到繁质点质点系质点质点1.2 1.2 直线运动直线运动1.2.1 位移 速度 加速度直线运动的运动方程)(txx )(tx)(ttxx位移)()(txttxx矢量的标量化：引入正负号即可表示方向平均速度和瞬时速度平均速度和瞬时速度txO)(tx)(ttxtxPQ切线割线平均速度txv瞬时速度txvt0lim某一点的导数将该点的函数值与它相邻的函数值联络起来求导 积分历史上，正是由于牛顿在处置这类根本力学问

3、题时需求一种适当的数学工具，才促使他创建了微积分。平均速度txv不能反映各个时辰的运动瞬时速度，简称速度dtdxv 加速度22dtxddtdva瞬时速度txvt0lim假设知加速度随时间的变化tttvvdttadvvtv00)()()(0ttdttavtv0)()(0ttdttvxtx0)()(0质点的运动形状：),(vx质点的初始运动形状：),(00vx例题 物体在 t0 时辰的初始运动形状为(x0,v0)， 加速度 求 t 时辰的位置和速度)(00ttbaa先求 t 时辰的速度adtdv ttttttdtttbaadtdv000)(00微分关系式两边积分)(21)(21)(21200002

4、0020000ttbtattbtattbtavvtt20000)(21)(ttbttavv再求 t 时辰的位置vdtdx 微分关系式ttttttdtttbttavvdtdx000)(21)(20000两边积分30200000)(61)(21)(ttbttattvxx物体运动的初始形状与积分常数一一对应1.2.2 三类直线运动直线运动可按加速度为零、常量和变量分为：匀速、匀加速和变加速23例 简谐振动)cos(0tAx)sin(0tAvxtAa202)cos(例 小球A在倾角为的光滑斜面顶部从静止下滑，同时小球B在斜面底部从静止开场匀加速分开斜面。假设A不能追上B，试求B的加速度a的取值范围。A

5、B分析：a越小，A越能追上B， 先求A恰能追上B的加速度临界值。设A滑究竟部的速度为vA，所用时间为t1sin1gvtA经t2时间，A恰能追上B的条件路程2212)(21ttatvA速度)(21ttavAsin21ga B的加速度a的取值范围sin21ga 1.3 1.3 平面曲线运动平面曲线运动直角坐标系自然坐标系极坐标系1.3.1 直角坐标系分解在质点运动的平面上建立直角坐标系OxyxyO)(trP位置矢量j yi xr)(trr质点的平面曲线运动方程这个运动方程有两个分量式)( ),(tyytxx平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动xyO)(tr)

6、(ttrri xj yPQ速度rjdtdyidtdxdtrdvrjdtdvidtdvdtrddtvdayx 22t 时辰质点位于P处，位置矢量t + dt 时辰质点运动到Q处，位矢)(tr)(ttr位移)()(trttrr加速度例 空心入篮Oxy程度线v12xAA抛射角21122sin21cosgtvtx122cos21singtvty0y12cossin2gvt 11122sin)2sin(cosAgxv无极大值，但有极小值24510极小值对应的抛射角1.3.2 自然坐标系分解自在度：确定物体的运动形状所需的独立坐标的数目。限定在一条曲线上运动：限定在圆周上运动：222Ryx曲面上运动的质点

7、最多有两个自在度圆周运动圆周运动dvd/vdvd)(tv)(dttv角速度dtd角加速度22dtddtd圆周运动加速度可分解为切心aadtvddtvddtvda/2RdtdRdtvddtdva心RdtRddtdva/切速度RdtdRv与速度垂直，改动速度方向与速度平行，改动速度大小无限小角位移矢量dk)(tr)(ttrkdd初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法那么无限小角位移与有限角位移的区别？有限角位移不是矢量不满足矢量加法的交换律d角速度kdtd角加速度kdtkdkdtddtdk)(tv角速度和角加速度都沿转轴的方向无限小角位移是矢量无限小角位移是矢量dvRdtRdRdtddtvda)(

8、tv转动引起的无限小位移RRdRdRd速度加速度RRdtddtRdvkRava切心 ,曲线的曲率和曲率半径dddl曲率曲率半径dldddl曲率正比于转过的角度，反比于经过的路程。自然坐标系自然坐标系vn自然坐标系的两个正交基矢n沿速度方向指向曲率圆的圆心aaan加速度在自然坐标系中的分解dtdvavdtdldlvddtvdan2切向单位矢量法向单位矢量计算曲率半径的运动学方法计算曲率半径的运动学方法1假设一种沿曲线的简单运动2计算各点的速度3计算各点的加速度4计算与速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度5计算曲率半径心av2例 椭圆半长轴和半短轴处的曲率半径AB假设一沿轨道的运动tBytAxs

9、in ,cos求速度和加速度tBatAatBvtAvyxyxsin ,coscos ,sin22求向心加速度在(A, 0)处2Aa心在(0, B)处2Ba心代入公式，曲率半径? ,2BAABBA21.3.3 极坐标系分解)(trree极坐标系),(r基矢),(eer恣意矢量的分解eAeAtrArr),(与直角坐标系的变换sin ,cosryrx正交基矢与极坐标的微分关系)(trreedededrreded正交基矢只依赖 ，与 r 无关当变化时，正交基矢同时改动方向满足微分关系极坐标系中位置矢量、速度和加速度的表示位置矢量rerr速度vvedtdredtdrdtedredtdrdterddtrd

10、vrrrrr)(rrrrevedtdrvevedtdrv径向速度横向速度)(trreerrrrevedtdrvevedtdrv径向速度横向速度径向速度依赖 r 随时间的变化和径向基矢横向速度依赖 r、 随时间的变化和横向基矢当 r 和 随时间变化时，径向速度的变化包含两项 横向速度的变化包含三项径向基矢和横向基矢依赖 vvrvrrredtddtdredtdredtddtdredtddtdredtrdedtdredtdrdtddtvda2222径向速度大小的变化径向速度方向的变化r增大引起横向速度的变化角速度增大引起横向速度的变化横向速度方向的变化edtdrdtddtdredtdrdtrdeae

11、aaaarrrr222222径向加速引起横向旋转引起径向变化与横向旋转共同引起加速旋转引起加速度平面极坐标系中质点运动的轨道方程在平面上，质点的运动方程)(trr在极坐标系中，质点的运动方程)()(ttrr消去时间参量 t，得到极坐标系中的质点运动轨道方程)(rr 假设知径向速度与横向速度，利用vrvddrr经过积分，可以得到轨道方程)(rr 例 狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都为v，圆心、狗、狐狸一直连成不断线。 求狗的速度、加速度和轨道方程。狐狸的角速度Rvdtd狗有横向和纵向速度22,vvvrvr狗的横向和纵向加速度22222 ,2dtdrdtrdadtdrdtddtdrar轨道方程2

12、2rRvvrddrr0022drRdrrsinRr r例 四点追击 四支狗开场位于边长为 l 的正方形四个顶点上，追击速度v坚持不变，求开场时狗的加速度、相遇的时间和轨道方程。分析：四支狗一直成一正方形经过时间间隔dtlvdtd/vdvd加速度lva/2沿径矢的分速度不变相遇的时间rvvrddrrler221.4 1.4 空间曲线运动空间曲线运动1.4.1质点的空间曲线运动xyO)(tr)(ttrrPQzxyz质点的位置矢量kzj yi xr运动方程)(trr)( ),( ),(tzztyytxx可分解成三个直线运动方程位移)()(trttrr速度kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdt

13、rdvzyx加速度kajaiakdtdvjdtdvidtdvdtvdazyxzyx1.4.2 质点系和刚体的空间运动物体的外形不可忽略假设物体内各个点部位的运动一样，整个物体可近似为质点。假设物体内各个点部位的运动不一样，将它分解成一系列无穷小部位，每个小部位可处置为质点，物体质点系力学中质点系是普适性的系统模型刚体的运动刚体的自在度刚体的平动刚体的定点转动刚体的定轴转动质点在空间中自在运动，有三个自在度。宠辱不惊，闲看庭前花开花落；去留无意，漫随天外云卷云舒。1.5 1.5 参考系间的相对运动参考系间的相对运动1.5.1 参考系间的平动zyOrPxyzOrxS系S系两个参考系观测同一质点的运

14、动时间tt位置矢量)()()(trtrtrOOr平动：参考系S 的基矢相对参考系S不变， 参考系S 的基矢不随时间变化。, 0 i)()()(trtrtrO位置矢量速度)()()(tvtvtvO加速度)()()(tatataO1.5.2 参考系间的匀速定轴转动yOrPxyOrxS系S系转动参考系：相对S系，S系绕着它的某一点O匀速定轴转动。 转动角速度沿z轴方向。两个坐标系的原点和z轴重合在两个坐标系中质点P的 jyixrj yi xr速度加速度 jyixvj yi xv jyixaj yi xa 位置矢量yOrPxyOrxS系S系质点P相对S系静止，相对S系作匀速圆周运动。在S系质点P的速度

15、、加速度皆为零在S系质点P的速度为r ，沿切向。加速度为r2，指向原点。假设质点P相对S系运动，速度、加速度的变换关系就更为复杂。yOrPxyOrxS系S系ijdtjddti dijijrvdtjyddtixdrrv )()(相对S系，它本人的基矢是静止不变的；但S的基矢由于转动是随时间变化的。坐标关系 jyixj yi xrrrvv加速度的推导加速度的推导)(2rvaaiyjxjyixrvv rvaiyjxvvaiyjxiyjxjyixjyixa 2 rrvaa)(2非匀速转动yOrPxyOrxS系S系质点P相对S系静止，相对S系作匀速圆周运动。在S系质点P的速度、加速度皆为零在S系rrvv

16、)()(2rrvaa00av速度、加速度的大小和方向与质点P在S系中作匀速圆周运动一致1.5.2 参考系中质点间的相对运动在参考系S中，质点B 相对质点A的运动一个质点不能作为运动参考物，不能建立相应的参考空间和参考系zOrBxyABrS系Ar ABABABaaavvvrrr在参考系S中，可分别丈量质点A的运动、质点B的运动。B相对A的运动B点相对S系的运动 = B点相对A点的运动 +A点相对S系的运动ABABABaaavvvrrr或B的运动 = B相对A的运动 +A的运动例 直角三角板的边长如图示，开场时，斜边靠在y轴上，使A点单调地朝O点运动。1AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点的速度

17、和加速度。2A运动到原点时，求C点经过的路程。OxyAabBCOxyAabBCOxyAabBCOxyAabBC1C点的速度和加速度C点的速度 = C相对A的速度 + A的速度C点速度的x分量C点速度的y分量C点的加速度 = C相对A的加速度 + A的加速度C点的加速度 = C相对B的加速度 + B的加速度0Cxv0CyvABvbav bvaACx222ACyvbaaOxyAabBCAvCvO、A、B、C四点共圆，OC的方向不变。A、C两点的速度沿CA边的分量相等sin)(cosCAvvsin)cos(CAvv2/2 if , 02/ if , 02/ if , 0sin)cos(ACvvC点先远离O点、静止、再接近O点)(222babas例 三根细杆在一平面内相连，并可绕衔接处转动。A、D是两个转轴。当AB杆以角速度转到竖直位置时，求此时C点加速度的大小和方向。ABCDll450450解法一知B点的速度和加速度C点作圆周运动，有法向和切向加速度。由约束关系：B、C两点沿杆的速度分量相等，得到C点速度。C点相对B点加速度沿BC杆的分量：C相对B作圆周运动