第5章控制系统的稳定性

1、第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析一、稳定性的概念和定义一、稳定性的概念和定义二、稳定的充要条件二、稳定的充要条件三、代数稳定判据劳斯判据三、代数稳定判据劳斯判据四、劳斯判据的特殊情况四、劳斯判据的特殊情况 稳定性是控制系统最重要的问题，是系统稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，的变化等。如果

2、系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越 偏 越 远 ， 即 使 扰 动 消 失 了 ， 也 不 可越 偏 越 远 ， 即 使 扰 动 消 失 了 ， 也 不 可能恢复原来的平衡状态。能恢复原来的平衡状态。 如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。定的，或不具有稳定性

3、。0AAAfABBA( )a( )b( )c5.1系统稳定性的基本概念系统稳定性的基本概念 控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。 必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零初始偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的还是发散的。5.2系统稳定性的充要条件系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信若系统初

4、始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号号 ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ， 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。如果当情况。如果当 时，脉冲过渡函数时，脉冲过渡函数 收敛于收敛于系统原平衡工作点，即下式成立：系统原平衡工作点，即下式成立：( ) t( )g t( )g tt ( )g tlim( )0tg t则线性系统是稳定的。则线性系统是稳定的。( )( ) ( )C sG s R s( )( )C sG s( )( )c tg tlim ( )0tc t 设系统闭环传递函数为：设系统闭环传

5、递函数为：( )( )( )M ssD s( )0D S 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为: :12,ns ss 设特征根互不相等，设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：系统闭环传递函数可改写如下：闭环特征根为闭环特征根为: :1( )( )( )niiiAM ssD ss s 则系统脉冲响应的拉氏变换为：则系统脉冲响应的拉氏变换为：1( )( )niiiAC sss s得系统的脉冲过渡函数为（响应）得系统的脉冲过渡函数为（响应）1( )( )ins tiig tc tAe1lim ( )lim0instittig tAe(1)(1)若若 为实数为实数is若系统稳定若系统稳定lim

6、0is titAe0is (2)(2)若若 为复数为复数isiiisj发散发散0is 0i0) tsinjBtcosA(elim) t ( glimn1iiiiititt0)t(sineClimn1iiitiit线性系统稳定的充分必要条线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有件是它的所有特征根都具有负实部或都位于负实部或都位于S S平面的左半平面的左半平面，则系统稳定。平面，则系统稳定。(3)(3)若特征根为若特征根为k k个实根，个实根，r r个复数根，个复数根，0i0ip )tsin(eAeC) t (giir1itiitipk1ii 控制系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的根

7、全部具有负实部。系统特征方程的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭环传递函数的极点全部具有负实部，或者说闭环传递函数的极点全部位于平面的S左半面内。例例 一个单位反馈系统的开环传递函数为一个单位反馈系统的开环传递函数为( )(21)kG sss试说明系统是否稳定。试说明系统是否稳定。解：系统的闭环传递函数为解：系统的闭环传递函数为( )( )1( )G ssG s(21)kssk22kssk2( )20D sssk1,21184ks 系统稳定系统稳定0k1. 1. 系统稳定性的初步判别系统稳定性的初步判别（必要条件）（必要条件）设系统的闭环特征方程式为如下标准形式设系

8、统的闭环特征方程式为如下标准形式：1011( )nnnnD sa sa sasa02. 2. 劳斯稳定判据劳斯稳定判据0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg5.2代数稳定性判据代数稳定性判据0211311aabaaa直至其余 项均为零。ib03111aabaaa 670421511aabaaa 1311211aacbbb 1521311aacbbb1731411aacbbb 1nga按此规律一直计算到按此规律一直计算到n n -1 -1行为止。行为止。考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均

9、为正数，则该系统是稳定的表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; ;假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。根的个数。结论：结论：1011( )nnnnD sa sa sasa0二阶系统稳定的充要条件：三阶系统稳定的充要条件：00a，02a，01a00a，02a，01a03a，3021aaaa例例 系统特征方程系统特征方程为为432( )D sssss 612116 0试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳

10、斯阵列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实数4 1 12 6s3 6 11s261 6 6s1455 6s0 6 s第一列的第一列的系数都为系数都为正数，系正数，系统稳定统稳定例例 系统特征方程为系统特征方程为432( )1930D sssss110试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1)(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。4 1 -12 30s3 1 11s2 -3

11、0 30 s1 12 s0 30 s有两个根位于有两个根位于s平面的右半平面平面的右半平面练习练习 系统特征方程系统特征方程为为54320sssss3256试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定具有正实部根的个数。具有正实部根的个数。答案：答案：系统不稳定系统不稳定, ,有两个有两个根具有正实部根具有正实部, ,即有即有两个根位于两个根位于s s平面的平面的右半平面右半平面劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零

12、，全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，则系统临界稳定，否则不稳定。则系统临界稳定，否则不稳定。2 0 16 s解：解：(1)(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。例例 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。432( )34126D sssss 04 1 4 16s3 3 12s148 12- 0s0 16 s2 16 s第一列第一列为零为零(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :系统不稳定，系统不

13、稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部练习练习 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。432( )221Dsssss 0432101112212201sssss系统不稳定，系统不稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部 若劳斯阵列表中某一行（设为第若劳斯阵列表中某一行（设为第k k行）的所有系数行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。于原点对称的根。(3)(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。(1)(1)用用(k-

14、1)(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶次为次为(n-k+2)(n-k+2)，然后，然后s s的次数递降的次数递降2 2。(2)(2)将辅助方程对将辅助方程对s s求导，其系数作为全零行的元素，求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。继续完成劳斯表。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实数例例 系统特征方程为系统特征方程为65432( )2812201616D sssssss 0判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。3 0 0s3 8 24 s18 3

15、s0 16 s5 2 12 16s6 1 8 20 16s4 2 12 16s42( )21216F sss2 6 16 s解辅助方程得解辅助方程得: :1,22sj3,42sj例例 系统特征方程为系统特征方程为5433312ssss2+9s -40判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根的个数。的个数。5433210134391 20001 21 891 225 001 2sssssss42( )3912F sss543238ssss 2+6s -40 练习练习 系统特征方程为系统特征方程为543321013426800081 2381 0

16、 0038sssssss42( )268F sss设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k k的的范围范围1s)(sC)(sR(1)(5)kss( )( )( )(1)()C sKsR ss ssK5320sssK65解解(1)系统的传递函数为：系统的传递函数为：特征方程为：特征方程为：(2)(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表系数都为正实数系数都为正实数3 1 5 s2 6 k s130-k 6s0 k s3 1 5 s130-k 6s0 k s2 6 k s(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表0 0 K K 30, 0 0，30 - 30 - K K

17、0 0432( )210100DsssTss0按稳定要求确定按稳定要求确定 T T 的临界值。的临界值。解解 劳斯阵列表为劳斯阵列表为3 2 10 s110T-250 T-5s0 100 s4 1 T 100s2 T-5 100 s0TT10250550,T 即必须即必须 T 25T 25系统才能稳定。系统才能稳定。例例11 11 系统特征方程式为系统特征方程式为乃奎斯特稳定性判据（预备知识）乃奎斯特稳定性判据（预备知识） 时域判据的弱点：时域判据的弱点： 工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用；判据不能应用； 时域判据仅能

18、判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。Nyquist判据特点：判据特点： 图解法：由图解法：由几何作图几何作图判定系统稳定性；判定系统稳定性； 由由开环特性判断闭环系统稳定性开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法（开环特性由分析法或实验法获得）；或实验法获得）； 可判断系统可判断系统相对稳定性相对稳定性； 可指出各环节对系统稳定性的影响。可指出各环节对系统稳定性的影响。5.3 Nyquist稳定稳定判据判据一、幅角原理（一、幅角原理（Cauch

19、y） 对于复变函数对于复变函数)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(k)s(Fnm2121 如果函数如果函数f（Z）在）在Z0及及Z0的邻域内处处可导，的邻域内处处可导，那么称那么称f（Z）在）在Z0解析解析。 如果在区域如果在区域D内每一点解析，那么称内每一点解析，那么称f（Z）在）在D内解析或称内解析或称f（Z）是）是D内的一个内的一个解析函数解析函数。 如果如果f（Z）在）在Z0不解析，那么称不解析，那么称Z0为为f（Z）的的奇点奇点。n设设F(s)在在s平面上（除有限个奇点外）为单值的连平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数。续正则函数。n设设s平面上解析点平面上解析点

20、s映射到映射到F(s)平面上为点平面上为点F(s)，或为从原点指向此映射点的向量或为从原点指向此映射点的向量F(s) 。n在在s平面上任意选定一封闭曲线平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不，只要此曲线不经过经过F(s)的奇点，则在的奇点，则在F(s)平面上必有一对应的映平面上必有一对应的映射曲线射曲线LF，也是一封闭曲线。，也是一封闭曲线。n当解析点当解析点s按按顺时针顺时针方向沿方向沿Ls变化一周时，向量变化一周时，向量F(s)将按将按顺时针顺时针方向旋转方向旋转N周，即周，即F(s)以原点为中心顺时以原点为中心顺时针旋转针旋转N周，这就等于曲线周，这就等于曲线LF顺时针包围原点顺时针

21、包围原点N次。次。 令：令：Z为包围于为包围于Ls内的内的F(s)的零点数，的零点数，P为包围为包围于于Ls内的内的F(s)的极点数，则的极点数，则 N=Z-P 向量向量F(s)的相位为的相位为 假设假设Ls内只包围了内只包围了F(s)的一个零点的一个零点zi，其他零极，其他零极点均位于点均位于Ls之外，当之外，当s沿沿Ls顺时针方向移动一周顺时针方向移动一周时，向量时，向量(s-zi)的相位角变化的相位角变化-2弧度，而其他各弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即向量向量的相位角变化为零。即向量F(s)的相位角变的相位角变化为化为-2，或者说，或者说F(s)在在F(s)平面上沿平面上沿LF绕

22、原点绕原点顺时针顺时针转了一周。转了一周。 njmipjszissF11)()()( 若若s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F(s)的的Z个零点，个零点，则在则在F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将绕原点将绕原点顺时顺时针针转转Z周。周。 若若s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F(s)的的P个极点，个极点，则在则在F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将绕原点将绕原点逆时逆时针针转转P周。周。 若若Ls包围着包围着F(s)的的Z个零点和个零点和P个极点，则在个极点，则在F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将绕原点将绕原点顺时针顺时针转转N=Z-P

23、圈。圈。二、二、Nyquist稳定判据稳定判据设系统的开环传递函数为：设系统的开环传递函数为：)(.).()().()()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK）系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数)()(1)()(sHsGsGsGB特征方程为：特征方程为： 0)()(1sHsG)()(1)(sHsGsF).(.).()().()().()().()().()()(2121212121nnpspspssssssspspspszszszsKpspspssFnnnmn） F(s)的零点的零点s1,s2.,sn即为系统闭环传递函数即为系统闭环传递函数GB(s)的极点，亦即

24、系统特征方程的根；的极点，亦即系统特征方程的根； F(s)的极点的极点p1,p2.,pn即为系统开环传递函数即为系统开环传递函数GK(s)的极点。的极点。 闭环传递函数闭环传递函数 开环传递函数开环传递函数 GB(s) F(s) GK(s) 零点零点 极点极点 零点零点 极点极点 零点零点 极点极点 相同相同 相同相同 定常线性系统定常线性系统稳定的充要条件稳定的充要条件：其闭环系统的特征方：其闭环系统的特征方程程1+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部，即的全部根具有负实部，即GB(s)在在s平面的右半平面没有平面的右半平面没有极点极点，亦即亦即F(s)在在s平面的右半平面的右半平面没有零

25、点。平面没有零点。 Nyquist稳定判据稳定判据首先选择一条包围首先选择一条包围整个整个s右半平面右半平面的封闭曲线的封闭曲线Ls。 设设)()(1)(sHsGsF 在在s 右半平面有右半平面有Z个零点和个零点和P个极点，由幅角原理个极点，由幅角原理知，当知，当s沿沿s平面上的平面上的Nyquist轨迹移动一周时，在轨迹移动一周时，在F平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转将绕原点顺时针转N=Z-P圈。圈。由由1)()()(sFsHsG 可知，可知，GH平面是将平面是将F平面的虚轴右移一个单位所平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。构成的复平面。F 平面的坐标原点，就是平面的坐

26、标原点，就是GH平面平面的（的（-1，j0）点，）点，F(s)的映射曲线的映射曲线LF包围原点的圈数就包围原点的圈数就等于等于)()(sHsG的的映射曲线映射曲线LGH包围（包围（-1，j0）点的圈数。）点的圈数。mnmnsHsGs当常量当.0)()(lim 这里这里s是指模而言。所以是指模而言。所以s平面上半径为平面上半径为的半圆映射到的半圆映射到GH平面上为原点或实轴上的一点。平面上为原点或实轴上的一点。 由于闭环系统稳定的充要条件是由于闭环系统稳定的充要条件是F(s)在在s平平面的右半平面没有零点，即面的右半平面没有零点，即Z=0。 所以如果所以如果G(s)H(s)的的Nyquist轨迹

27、轨迹逆时针逆时针方方向包围向包围（-1，j0）点）点P圈圈，则闭环系统稳定。，则闭环系统稳定。P为为G(s)H(s)在在s平面的右半平面的极点数。平面的右半平面的极点数。 Nyquist稳定判据：当稳定判据：当由由-到到+变化时，变化时，若若GH平面上的开环频率特性平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆逆时针方向包围（时针方向包围（-1，j0）点）点P圈，则闭环系统圈，则闭环系统稳定。稳定。P为为G(s)Hs)在在s平面的右半平面的极平面的右半平面的极点数。点数。 对于开环稳定的系统，有对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性统稳定的充要条件是

28、，系统的开环频率特性G(j)H(j)不包含（不包含（-1，j0）点。）点。 例例 1P=0N=0Z=N+P=0稳定稳定P=0N=2Z=2+P=2不稳定不稳定) 1)(1)(12() 1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGbaP=1N=-1Z=N+P=0稳定稳定例例 2I Im mk0 j -1 j0-Nyquist判据判据P = 0 (由由G(s)表达式知表达式知)N0 (由由Nyquist图图)由由N Z P , 所以所以Z = 0，故系统稳定故系统稳定 ) 1)(1()(21jTjTkjG例例 3 002700)(0100)0(01jGjG 02单调变化单调变化与

29、实轴有交点与实轴有交点，为，为7.9Nyquist判据：判据：N2,P = 0 ,N =ZP， 故故Z = 2。有两个极点在右半平面，系统不稳定有两个极点在右半平面，系统不稳定。kk不稳定不稳定可能稳定可能稳定例例 4) 12 . 0)(15 . 0)(1(100)(jjjjG画画Nyquist图：图：R Re eI Im m100例例 5) 1)(1)(1)(1)(1() 1)(1()(543210101jTjTjTjTjTjTjTkjG540201321T,TT,TT,T,T00002700000)j(Gk)j(G Nyquist判据：判据：N=0，P=0，所以，所以Z=0系统稳定系统稳定

30、ImRek0-1例例 6)s( sk)s(G10积分环节积分环节 = 1 000018009001)s(G)s(G 0)(020sG00018090)s(G单调变化单调变化ImRe-1问题问题：N? P = ? j 0 0 0 0 ABC 在原点附近令在原点附近令V=1 jeS当当从从时时 202 jjjkekekeG)()(jkeG202)(jkeG三、开环含有积分环节时的三、开环含有积分环节时的Nyquist轨迹轨迹22000220202 jj)( jekeksekABCABC-1ImReABC 0 0 在无穷远处顺时在无穷远处顺时针针绕行绕行 角角N 0，P = 0所以所以Z = 0系统

31、稳定系统稳定例例 6) 12)(1() 14()()(2sssssHsGP=0 N=2Z=N+P=2不稳定不稳定例例 7例例 8) 1()(2TssksG积分环节积分环节 = 2002700)(180)(0sGsG单调递减单调递减无穷远处顺时针绕行无穷远处顺时针绕行2ImRe0 0 -1N=2，P = 0，所以，所以Z = 2系统不稳定系统不稳定小结：小结：积分环节积分环节数数 = 1 在无穷远处顺时针绕在无穷远处顺时针绕 圈圈 = 2 在无穷远处顺时针绕在无穷远处顺时针绕 圈圈 = 3 在无穷远处顺时针绕在无穷远处顺时针绕 圈圈 32Nyquist判据判据：已知已知 开环极点数开环极点数 P

32、 积分环节积分环节数数 Nyquist图绕图绕(-1,j0)点圈数点圈数 N求求 闭环极点数闭环极点数 Z意味着必须已知意味着必须已知系统传递函数系统传递函数问题问题：(1) Nyquist图是否包含系统稳定性的全部信息图是否包含系统稳定性的全部信息? (2)仅用仅用 Nyquist图（如实验所得）能否判断稳定图（如实验所得）能否判断稳定？四、关于四、关于Nyquist判据的几点说明判据的几点说明 （1）Nyquist判据并不是在判据并不是在s平面而是在平面而是在GH平面判平面判别系统的稳定性。根据别系统的稳定性。根据G(j)H(j)轨迹包围轨迹包围（-1，j0）点的情况来判别闭环系统的稳定性

33、。）点的情况来判别闭环系统的稳定性。 （2）Nyquist判据的证明复杂，但应用简单。判据的证明复杂，但应用简单。 （3）在）在P=0，即，即GK(s)在在s平面的右半平面无极点时，平面的右半平面无极点时，习惯称为开环稳定。否则开环不稳定。开环不稳定，闭习惯称为开环稳定。否则开环不稳定。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。 （4）开环）开环Nyquist轨迹对实轴是对称的，因为当轨迹对实轴是对称的，因为当-变变为为+时，时，G(-j)H(-j)与与G(j)H(j)的模相同，而相的模相同，而相位异号。位异号。 五、具有延时环节的系统的

34、稳定分析五、具有延时环节的系统的稳定分析具有延时环节的系统传递函数具有延时环节的系统传递函数 )()()()()()()()(1111jGjGjGjGejGjGesGsGKKjKsK 延时环节不改变原系统的幅频特性，仅仅使相频延时环节不改变原系统的幅频特性，仅仅使相频发生变化。发生变化。jKsKejjjGesssGsssG) 1(1)() 1(1)() 1(1)(1例例系统的特征方程系统的特征方程 0)(11 sesG当1)(1 sesG时，系统处于临界稳定状态。时，系统处于临界稳定状态。)(1)(11jGjG 解得解得15. 1786. 015. 1 闭环系统稳定闭环系统稳定 15. 1 闭

35、环系统不稳定闭环系统不稳定5.4 Bode稳定判据稳定判据一、一、Nyquist图和图和Bode图的对应关系图的对应关系Nyquist图上的单位圆对应于图上的单位圆对应于Bode图上的图上的0分分贝线，即对应幅频特性图的横轴。贝线，即对应幅频特性图的横轴。剪切频率，幅值穿越频率，幅值交界频率剪切频率，幅值穿越频率，幅值交界频率c Nyquist图上的负实轴相当于图上的负实轴相当于Bode图上的图上的-180线，线，即对数相频特性图的横轴。即对数相频特性图的横轴。相位穿越频率，相位交界频率相位穿越频率，相位交界频率g二、穿越的概念二、穿越的概念 在在Bode图上，在开环对数图上，在开环对数幅频特

36、性为正值的频率范幅频特性为正值的频率范围内，沿围内，沿增加的方向，增加的方向，对数相频特性曲线对数相频特性曲线自下而自下而上上穿过穿过-180线为线为正穿越正穿越； 沿沿增加的方向，对数相增加的方向，对数相频特性曲线自上而下穿过频特性曲线自上而下穿过-180线为线为负穿越负穿越。三、三、Bode判据判据 闭环系统稳定的充要条件是，在闭环系统稳定的充要条件是，在Bode图上，当图上，当由由0变到变到+时，在开环对数幅频特性为正值的频时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对率范围内，开环对数相频特性对-180线线正穿越正穿越与负穿越次数之差为与负穿越次数之差为P/2时，时，闭环

37、系统稳定闭环系统稳定；否则；否则不稳定。其中不稳定。其中P为开环传递函数为开环传递函数G(s)H(s)在在s平平面的右半平面的极点数。面的右半平面的极点数。 在在P=0时，若开环对数幅频特性比其对数相频特时，若开环对数幅频特性比其对数相频特性先交于横轴，即性先交于横轴，即cg，则闭环系统不稳定，则闭环系统不稳定多个剪切频率，以最大的来判别稳定性。多个剪切频率，以最大的来判别稳定性。5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性相对稳定性相对稳定性稳定裕量稳定裕量幅值穿越频率幅值穿越频率相位穿越频率相位穿越频率0180)(1)(ggcKcjjG幅值裕量幅值裕量相角裕量相角裕量稳定稳定不稳定不稳定)(L

38、 dB s/raddB0 s/rad00)( -1800c g k kg00 )(L dB s/raddB0 s/rad00)( -1800c g k kg00 相角裕量相角裕量幅值裕量幅值裕量00)(180)(18000cKcjG系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定为负值为负值00)(lg20)(1lg20gggKgKgkkjGjGk系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定为满足动态性能的要求，相角裕量在为满足动态性能的要求，相角裕量在300600 幅值裕量在幅值裕量在515dB| )H(jG(j|1Kg)2()(222nnnKssssG例例 1例例 2 ) 11 . 0)(1()(sssksG

39、KK=5和和K=20判系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量判系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量(1)低频段低频段: 1 k=5 L(1) = 20lg5 = 14dB -20dB/dec k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB -20dB/dec(2)转折频率：转折频率： 11 20dB/dec 210 20 dB/dec)(L dB s/rad1100.12040-20-40-20-40-60 s/rad)( 度0.1110-900-1800-270014dB26dB3.16计算相角裕量：求穿越计算相角裕量：求穿越0dB线的线的c和和(c)K=5-40c1114dB0dB242144014140111.,dBlgdB)lg(lgccc 0411180616810900100111101.)(.).(tg)(tg)(cccc 系统稳定系统稳定66012.60K=20-40c2126dB0dB474264026140122.,dBlgdB