342基本不等式的应用（1）(求最值）

1、基本不等式的应用（基本不等式的应用（1）求最值求最值重要不等式：重要不等式：均值不等式均值不等式：222abab( ,0)2ababa b2(0,0)abab ab2( ,0)2ababa b222() ( ,)22ababa bR2(0)baabab 2211 1802yxxxx例求的最小值并求出相应的 值。22118.22xxx 当且仅当即是“”成立222211828422yxxxx解(1).4,21函数有最小值时即当x,2a bab（2）若实数满足33ab则的最小值为直接运用直接运用均值不等式求最值均值不等式求最值判断下列函数能否用判断下列函数能否用均值不等式求最值均值不等式求最值？ 0

2、81122xxxy )sin7(sin2xxy 212322xxy练习练习 例例2 2、已知：、已知：0 0 x x31，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一：分析一：原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二：分析二：挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；00 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3

3、x） 2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法“凑用凑用”均值不等式求最值均值不等式求最值220,lglgxyxy（1）若则的最大值是 变式： 。 2(83 )02yxxx最大值为416,.33x 当时 函数有最大值1lg5（3）、若）、若x1)的最小值。 41xx2x求函数y=(x1)的最小值及相应变式：的x的值。22331xx4引申1：x求函数y=的最小值.“拆用拆用”均值不等式求最值均值不等式求最值取不到等号时用函数单调性求最值取不到等号时用函数单调性求最值:4522xxy引申引申2 2：求函数：求函数 的最小值的最小值

4、. .利用函数利用函数 (t0)的单调性的单调性.1ytt t(0,1 单调递减单调递减t1,)单调递增单调递增依据依据: :正解正解: :2222x5x41yx4x4 221x4x4 2tx4 令令1(2)yttt 则min52,:0,2txy当即时,三不等 常用单调性1 1、已知：、已知：0 0 x x81，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：12100 xx811-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121maxy错在哪里：错在哪里：2 2、已知正数、已知正数x x、y y满足满足

5、2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值解解: :221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值为的最小值为yx1124过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错在哪里：错在哪里：2 2、已知正数、已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值正解正解1：223当且仅当当且仅当yxxy2即即:xy2时取时取“=”号号122yxxy而222221yx即此时即此时223minyyx11yy

6、xxyx22yxxy233已知函数已知函数 ，求函数的最，求函数的最小值和此时小值和此时x的取值的取值xxxf1)(11:( )22112.fxxxxxxxx 解当且仅当即时函数取到最小值 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件4已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值)2(23)(xxxxf。的最小值是时，函数即当且仅当解：6323223223)(xxxxxxxxxf 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件45 sin0sin2y求函数其中（ ，的最小值。函数的最小值为解：4, 4sin4

7、sin2sin4siny用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意 “相等相等” 的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值. 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值3 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值yxu11课堂练习：课堂练习：当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为482 22( )f xxx2.已知已知x0，求函数，求函数 的最大值的最大值.32 21 1、设、设 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,2 2、设则的最大值为、设则的最大值为_。, 12, 0, 022baba21 ba、设、设 满足满足 ，且，且 则则 的最大值是（的最大值是（ ）yx,404 yx0, 0 yxyx lglg A、40 B、10 C、4 D、224423、若，则函数的最小值是、若，则函数的最小值是_。1x11072xxxy小结：小结：应用均值不等式求最值的问题应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步骤:一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等,2(0,0)abab ab 一不正 常用(2)先变形再利用均值不等式求函数最值先变形再利用均值不等