两点间距离公式

1、5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移知识梳理1.设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2x1，y2y1）.|=.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1，P，P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于P1，P2的直线P1P2上的点；（2）实数是P分有向线段所成的比，即P1P，PP2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式（1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，特别提示1.定比分点的定义：点P为所成的比为，用数学符号表达即为=.当0时，P为内分点；0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式：P点分成的比为，则=+（O为平面内任一点）

2、.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题.点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y=f（x+1）2B.y=f（x1）2C.y=f（x1）+2D.y=f（x+1）+2解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f（x1）+2.答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y24y=4x，则向量a为A.（1，2）B.（1，2）C.（4，2）D.（4，2）解析：设a=（h，k），由平移公式得代入y2=4x得（k）2=4（h），

3、22k=44hk2，即y22ky=4x4hk2，k=2，h=1.a=（1，2）.答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示：由y24y=4x，配方得（y2）2=4（x+1），h=1，k=2.（知道为什么吗?）3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为A.B.C.D.解析：设A点分所得的比为，则由2=，得=.答案：C4.若点P分所成的比是（0），则点A分所成的比是_.解析：=，=（+）.（1+）=.=.=.答案：5.（理）若ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（3，4）、（1，1），则ABC的重心坐标为_.解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），

4、C（x3，y3），则重心坐标为（，）.答案：（，）（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为32，则m的值为_.解析：设M（x，y），则x=3，y=5，即M（3，5），代入y=mx7得5=3m7，m=4.答案：4典例剖析【例1】 已知点A（1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使|=|.剖析：|=|，则=或=.设出P（x，y），向量转化为坐标运算即可.解：设P的坐标为（x，y），若=，则由（x+1，y6）=（4，6），得解得此时P点坐标为（，4）.若=，则由（x+1，y6）=（4，6）得解得P（，8）.综上所述，P（，4）或（，8）

5、.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，=，代入公式即可；若=，则=，则P为的定比分点，=.由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】 已知ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（1，2），BD是ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.剖析：A、C两点坐标为已知，要求点D的坐标，只要能求出D分所成的比即可.解：|BC|=2，|AB|=，D分所成的比=.由定比分点坐标公式，得D点坐标为（95，）.|BD|=.评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何

6、知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D（x，y），BD是ABC的平分线，=，.，即=.又=（1，3），=（x3，y4），=（4，2），=.（4+）x+（23）y+920=0.又A、D、C三点共线，共线.又=（x4，y1），=（x+1，y2），（x4）（y2）=（x+1）（y1）.由可解得D点坐标为（95，），|BD|=.思考讨论若BD是AC边上的高，或BD把ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】 已知在ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.（1）求向量a；（2）求平移后的平

7、行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由ABCD可得=，设C（x3，y3），D（x4，y4），则又CD的中点为E（4，1），则由得即C（，2），D（，0）.a=（，2）.（2）由平移公式得A（，1），B（，1），C（0，0），D（1，2）.闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx按向量a=（，3）平移后的函数解析式为A.y=sin（x）+3B.y=sin（x）3C.y=sin（x+）+3D.y=sin（x+）3解析：由得3=sin（+）.=sin（+）+3，即y=sin（x+）+3.答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y

8、=2sin（2x+）+1的图象，则a等于A.（，1）B.（，1）C.（，1）D.（，1）解析：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，a=（，1）.答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是_，它的焦点坐标是_.解析：设P（x0，y0），M（x，y）.代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，x2=y+=（y+），p=，焦点坐标为（0，）.答案：x2=（y+） （0，）4.把函数y=2x24x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且ab，c=（1

9、，1），b·c=4，则b=_.解析：a=（0，0）（1，3）=（1，3）.设b=（x，y），由题意得则b=（3，1）.答案：（3，1）5.已知向量=（3，1），=（1，2），.试求满足+=的的坐标.解：设=（x，y），则=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），=（x+3，y+1）（1，2）=（x+4，y1），则所以=（11，6）.6.已知A（2，3），B（1，5），且满足=，=3，=，求C、D、E的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1，），D（7，9），E（，）.培养能力7.（2004年福建，17）设函数f（x）=a·b，其中a=（2co

10、sx，1），b=（cosx，sin2x），xR.（1）若f（x）=1，且x，求x；（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.解：（1）依题设f（x）=2cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），由1+2sin（2x+）=1，得sin（2x+）=.|x|，2x+.2x+=，即x=.（2）函数y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（xm）+n的图象，即y=f（x）的图象.由（1）得f（x）=2sin2（x+）+1.又|m|，m=，n=1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x2

11、+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=，求实数的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，即+y2=1.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上，则即消去x22得，22+8y2+8=22+4+2，即y2=.1y21，11.又0，故解得.故的取值范围为，+）.思考讨论本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜

12、率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东（=arctan）的方向作匀速直线航行，速度为10 n mile/h.（如下图所示）（1）求出发后3 h两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系.设在t时刻甲、乙两船分别在P（x1，y1），Q（x2，y2），则由=arctan，可得cos=，sin=，x2=10tsin=10t，y2=10tcos

13、40=20t40.（1）令t=3，P、Q两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ|=5，即两船出发后3 h时，两船相距5 n mile.（2）由（1）的解法过程易知|PQ|=20.当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为20，即两船出发4 h时，相距20 n mile为两船最近距离.思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定的值是公式应用的关键.3.关于

14、平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.教师下载中心教学点睛1.线段的定比分点公式=，该式中已知P1、P2及可求分点P的坐标，并且还要注意公式的变式在P1、P2、P、中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背.拓展题例【例1】 （2004年豫南三市联考）已知f（A，B）=sin22A+cos22Bsin2Acos2

15、B+2.（1）设ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；（2）当A+B=且A、BR时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A）2+（cos2B）2+1，由题意得C=或C=.（2）A+B=，2B=2A，cos2B=cos2A.f（A，B）=cos2Asin2A+3=2cos（2A+）+3=2cos2（A+）+3.从而p=（，3）（只要写出一个符合条件的向量p即可）.【例2】 设曲线C的方程是y=x3x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C1.（1）写出曲线C1的方程；（2）证明：曲线C与C1关于点A（，）对称.（1）解：C1：ys=（st）3（xt）.（2）分析：要证明曲线C1与C关于点A（，）对称，只需证明曲线C1上任