相似矩阵与矩阵对角化

1、2009.7.224-1-1相似矩阵与相似变换的性质相似矩阵与相似变换的性质利用相似变换将方阵对角化利用相似变换将方阵对角化约当矩阵的概念约当矩阵的概念2009.7.224-1-2 设设A,B为为n阶矩阵阶矩阵,若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵P,使使记为记为 AB.则称则称B为为A的相似矩阵的相似矩阵,或称矩阵或称矩阵A与与B相似相似.A相似于相似于B,也称矩阵也称矩阵A经过相似变换化为经过相似变换化为B,而可逆矩阵而可逆矩阵P称为将称为将A变为变为B的相似变换矩阵的相似变换矩阵. P-1AP=B (2.1)相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-3 . 2211121

2、1PAPPAPPAAP (1) 反身性反身性 A与与A本身相似本身相似(2) 对称性对称性 若若A与与B相似相似,则则B与与A相似相似.(3) 传递性传递性 若若A与与B相似相似, B与与C相似相似,则则A与与C相似相似.3. 若若A与与B相似相似, 则则Am与与Bm相似相似.(m为正整数为正整数).相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-4事实上事实上,因因AB, 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,使使B=P-1AP于是于是 B2=(P-1AP)(P-1AP) =P-1A2P依此类推依此类推 Bm=P-1AmP .此结论利用数学归纳法可以证此结论利用数学归纳法可以证明

3、明若设若设 AB, 且且(A)=a0+a1A +a2A2+ anAn ,则则 (B)=P-1(A)P 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-5 naaa00000021 mmmmnaaa00000021 naaa 00000021特别是特别是,当当A为对角矩阵时为对角矩阵时, 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-6若若n阶矩阵阶矩阵AB,则则A与与B有相同的多项式有相同的多项式,特征多项式特征多项式,特征值特征值,秩秩,且可逆性相同且可逆性相同.若若AB, 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,使得使得B=P-1AP(1) |B|=|P-1A

4、P|=|A|(2) 由于由于|B|=|A|,同时为同时为0或不为或不为0,故故A与与B同时同时可逆或不可逆可逆或不可逆.(3) 由于由于B=P-1AP,则则A与与B相同的秩相同的秩.(4) 由于由于|B-E|=|P-1AP- P-1(E)P|=|P-1(A-E)P|=|A-E|所以所以A与与B有相同的特征多项式与特征值有相同的特征多项式与特征值.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-7 n 21若若n阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵相似相似, ,则则1,2, ,n为为A的的n个特征值个特征值. .若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵P,使使P-1AP=为对角矩阵为对角矩阵,则

5、有则有Ak=P kP-1 , (A)=P()P-1 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-8,其其中中,21 knkkk,)()()()(111 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-9对于对于n阶矩阵阶矩阵A,若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵P,使使P-1AP=为对角阵为对角阵,则称将方阵则称将方阵A对角化对角化.n阶矩阵阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是与对角阵相似的充分必要条件是是矩阵是矩阵A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.假设假设A ,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,使使P-1AP=于是有于是有 AP=P记记 P=(

6、1, 2, n) 其中其中 j (1,2, ,n)是矩阵是矩阵P第第j列构成的列向量列构成的列向量. 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-10 nnnA 212121, .,2211nn nnAAAA ,2121 ., 2 , 1niAiii nn ,2211 于是有于是有矩阵相等矩阵相等因因P可逆可逆,故故|P|0,于是于是j(j=1,2, ,n)均为非零均为非零向量向量,且且1, 2, n线性无关线性无关.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-11于是知于是知 1, 2, n是矩阵是矩阵A分别属于分别属于1,2, ,n的线性无关的特

7、征向量的线性无关的特征向量.上述过程均可逆上述过程均可逆,故充分性得证故充分性得证.由证明过程知由证明过程知 矩阵矩阵P的列向量的列向量i是是A的的属于特征值属于特征值i的特征向量的特征向量.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-122009.7.224-1-132009.7.224-1-14解之得基础解系解之得基础解系当当1=2= 2时时,有有(A-2E)x=0当当3=-7时时,有有(A+7E)x=0得基础解系得基础解系相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-15因因所以所以1, 2, 3线性无关线性无关.故故A有有3个个线性无关的特征向

8、量线性无关的特征向量,因而因而A可以可以对角化对角化.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-16(2) 求矩阵求矩阵A的特征值与特征向量的特征值与特征向量A的特征值的特征值 1=2=3=-1 当当1=2=3=-1时时,有有(A+E)x=0解之得基础解系解之得基础解系故故A不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-17A能否对角化？若能能否对角化？若能对角化对角化,则求出可逆矩阵则求出可逆矩阵P,使使P-1AP为对角阵为对角阵.A的特征值的特征值 1=2= 1,3=-2 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化

9、2009.7.224-1-18解之得基础解系解之得基础解系当当1=2= 1时时,有有(A-E)x=0当当3=-2时时,有有(A-2E)x=0得基础解系得基础解系相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-19因因所以所以1, 2, 3线性无关线性无关.故故A有有3个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量,因而因而A可以可以对角化对角化.令令则有则有相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-20要相对应要相对应 即矩阵即矩阵P的列向量与对角阵中特征值的位置的列向量与对角阵中特征值的位置相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-

10、21 n阶方阵阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个是对于每一个ni重特征根重特征根i ,矩阵矩阵i E-A的秩为的秩为n-ni. 例例2中的方阵中的方阵A可对角化的理论依据可对角化的理论依据.若求若求A50,只需利用只需利用A50=P-150P即可即可.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-22 在在n阶矩阵阶矩阵A=(aij)中中,如果如果aii=(i=1,2, ,n), aii+1=1 (i=1,2, ,n-1), aij= (ij, ji+1)称此矩阵为约当块称此矩阵为约当块.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化20

11、09.7.224-1-23若一个准对角矩阵的主对角线上的各子块均为若一个准对角矩阵的主对角线上的各子块均为约当块约当块,即即称此矩阵为约当矩阵称此矩阵为约当矩阵,或称为约当标准型或称为约当标准型. 对角矩阵可看成约当矩阵对角矩阵可看成约当矩阵,每一个约当块每一个约当块是一阶矩阵是一阶矩阵.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-24 3000013000001000011000011 200000120000012000000500000010000011任一个任一个n阶矩阵阶矩阵A,都存在可逆矩阵都存在可逆矩阵T,使使 即即 任一个任一个n阶矩阵阶矩阵A,都与都与n

12、阶约当矩阵阶约当矩阵J相似相似.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-25相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算是对方阵进行的一种运算,它把它把A变成变成P-1AP,而可逆矩阵而可逆矩阵P称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵相似是矩阵之间的一种关系相似是矩阵之间的一种关系,它具有很多良好的它具有很多良好的性质性质,除了课堂内介绍的以外除了课堂内介绍的以外,还有：还有：(1)若若AB, 则则kAkB, k为常数为常数(1)若若AB, 而而f(x)是一多项式是一多项式, 则则f(A)f(B).相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-26,111111111 A.00100100 nB判断矩阵判断矩阵A与与B是否相似是否相似.相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化2009.7.224-1-27. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的特征值为的特征值为因因解解使得使得矩阵矩阵存在可逆存在可逆是实对称矩阵是实对称矩阵又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP ,)( )()det( 1 nnEB还可求