连续型随机变量及其概率密度

1、第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度教学重点教学重点 1 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 2 正态分布正态分布要求：要求：1 1、连续型随机变量的密度函数的定义和性质，、连续型随机变量的密度函数的定义和性质， 2 2、均匀均匀分布分布、指数分布指数分布的的定义及性质；定义及性质；4 4、正态正态分布分布的定义、性质、密度函数及几何性质；的定义、性质、密度函数及几何性质；5 5、一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系；、一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系；6 6、会利用正态分布密度函数的性质求积分、会利用正态分布密度函数的性质求积分一一 连

2、续型随机变量连续型随机变量 1 定义定义( )( )xF xf t dt ,XFxfxx设随机变量的分布函数为，若存在一个非负函数使对于任意 ，恒有 xXfxX连续型随机变量分布成立，则称X为，F称为的，称为函数概率密度函数的，简称密度函数由定义知道：由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数连续型随机变量的分布函数是连续函数2 概率密度的性质概率密度的性质 1 非负性非负性( )0f x ( )1f x dx2 规范性规范性这两个性质是判这两个性质是判断一个函数是否断一个函数是否为一个连续型为一个连续型r.v.X的概率密度的概率密度的充要条件的充要条件 f (x)xo分布曲分布曲线线面积

3、为面积为121121221, ()()()( )xxx xp xXxF xF xf x dx3 对利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率4( )( )( )f xxF xf x 若在点 处连续，则有0( )limxxxxxf t dt 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPx )(lim0=f(x) 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x

4、)相当于线密度相当于线密度.x ,(xxx (1) 连续型连续型r.v.取任一指定实数值取任一指定实数值a 的概率均为的概率均为0. 即即这是因为这是因为请注意请注意: xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 当当 时时得到得到 0 .P Xa由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S由由P(A)=0, 不能推出不能推出A 00(3): 0.,0,p XxXx注 ： 由 可 知故 一 个 事 件的 概 率 为 只 表 示 这 事 件 发 生 的 可 能 性 很 小但 这 事 件并 不 一 定 是 不 可 能 事 件 。)()(bXaPbXaP)(bXaP 对连续型对连续型 r.

5、v. X,有有)(bXaP 取取值值的的概概率率为为，也也可可以以是是无无穷穷区区间间）上上间间；可可以以是是有有限限区区间间，闭闭区区间间，或或半半开开半半闭闭区区也也可可以以是是可可以以是是开开区区间间（在在任任意意区区间间则则，的的密密度度函函数数为为已已知知连连续续型型随随机机变变量量若若,GGXxfX说说 明明: :由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在我们所关心的是它在某一区间某一区间上取值的问题上取值的问题 GdxxfGXP(此公式非常重要此

6、公式非常重要) 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有： 它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与kkpx

7、XP)(在离散型在离散型r.v理论中所起的理论中所起的作用相类似作用相类似.( )P xXxxf xx例题选讲例题选讲例题例题1 设随机变量设随机变量X具有随机密度函数具有随机密度函数2( )1cf xx(3) 01PX试求试求 (1) c (2) X的分布函数；的分布函数； 22 |1( )10 |11(2113).22XAxfxxxAX例题设随机变量的概率密度为 试求 ( )系数 ； ) 随机变量的分布函数； （ ） 随机变量落在区间（-， 2713)(2;1, 043,2230,)(1XPxFXkxxxkxxfX）求）求（；的分布函数的分布函数）求）求（）确定常数）确定常数（其它其它具有

8、概率密度具有概率密度设随机变量设随机变量例例 其它其它解解, 043,2230,)(xxxkxxf611)()1( kdxxf得得由由0 x34 4, 143,22630,60, 0)()2(3300 xxdxxdxxxdxxxxFxx分布函数分布函数0 x34 xx x x ,xF xf t dtx 4, 143,42330,120, 0)(22xxxxxxxxF即分布函数即分布函数 48411272713 FFXP）（的的分分布布函函数数为为设设连连续续型型随随机机变变量量例例X3 xarctgxxF 121的的密密度度函函数数试试求求 X ，则则的的密密度度函函数数为为设设解解：xfX

9、xxxFxf2111 1. 均匀分布均匀分布则称则称X在区间在区间( a, b)上服从均匀分布上服从均匀分布，X U(a, b)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf三、三种重要的连续型随机变量三、三种重要的连续型随机变量若若 r .v X的概率密度为：的概率密度为：记作记作 abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc 1,),(.1),(有有为的区间为的区间对于长度对于长度若若与c无关子子区区间间的的位位置置无无关关的的长长度度成成正正比比，而而与与该该取取值值的的概概率率与与该该子子区区间间上上的的任任意意一一个个子子区区间间上上，在在区区间间则则随随机机变变量量上上的的

10、均均匀匀分分布布，区区间间服服从从如如果果随随机机变变量量baXbaXXabll0Xx 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某入，小数点后某一位小数引入的误差一位小数引入的误差； bxbxaabaxaxxXPxFX1, 0)(.2的分布函数为：的分布函数为： 例例2 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班分钟来一班车，即车，即 7:00，7:15，7:

11、30, 7:45 等时刻有汽车到达此等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的之间的均匀随机变量均匀随机变量, 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解解依题意，依题意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位其它, 0300,301)(xxf 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为所求概率为：313013013025151

12、0dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，10152530PXPX有实根的概率试求方程上的均匀分布，服从区间设随机变量例02446362xx的的密密度度函函数数为为解解：随随机机变变量量 其它其它06391xxf 有实根有实根方程方程设：设：02442 xxA 024442 PAP则则32949291916213 dxdx 021 P返回目录 21 或或P则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.

13、 指数分布常用于可靠性统计研究指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命中，如元件的寿命.若若 r.v X具有概率密度具有概率密度0001)(xxexfx0常简记为常简记为 XE( ) .2 指数分布指数分布 其它其它, 00,1)(/xexXPxFx 若若X 服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布, 则其则其分布函数分布函数为为事实上事实上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 当当 时时,0 x 当当 时时, xF xf t dt 00dt 01txedt ,0s tP Xst XsP Xt 对于任意有：PXstXsP Xst XsP Xs

14、PXstP Xs注意 1）无记忆性；s ttseeeP X t 11F stF s 2）电子元件的使用寿命和各种随机系统的）电子元件的使用寿命和各种随机系统的服务时间在一般情形认为其服从指数分布；服务时间在一般情形认为其服从指数分布； 3）指数分布在可靠性理论和排队论的应用）指数分布在可靠性理论和排队论的应用比较广泛。比较广泛。3. 正态分布正态分布 若连续型若连续型 r .v X 的的概率密度为概率密度为 xexfx,21)(222)( 记作记作其中其中 和和 ( 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布. ),(2NX :具有

15、下述性质具有下述性质xf ;12 dxxf ;01 xf1曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称； fx 3 P hX P Xh 0h 函数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上 4单调减少单调减少, ,在在 取得最大值；取得最大值； 22()23,2x xfxex x = 为为 f (x) 的两个拐点的横坐标；的两个拐点的横坐标； 5 22()2223(),2x xfxex fx,x当当x 时，时，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线 6 根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率

16、密度曲线图的概率密度曲线图. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .称为位置参数 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 设设 X ,),(2NX 的分布函数的分布函数是是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),(2N 2 22()21,2txF xedtx dtexxt2221)(4 4 标准正态分布标准

17、正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 的性质的性质 : ;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事实上事实上 , 221()2txxedtx 22112uxedu x 12212uxutedu 它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，标准正态分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转

18、化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. .定理定理 1)1 , 0(),(2NXZNX则若 .1 ,0,2NXZNX 则则若若证证Z Z 的分布函数为的分布函数为 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令则有则有 duexZPxu 2221 x .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计

19、算查表以解决一般正态分布的概率计算查表. .正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时, (x)的值的值.4),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.99745 3 5 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, ,),(2NY时，时，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|Y