第三部分 多自由度系统的振动

1、基本知识点基本知识点4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应3 固有振型的正交性固有振型的正交性2 多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型）多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型）1 多自由度系统运动微分方程多自由度系统运动微分方程5例题例题1 多自由度系统运动微分方程多自由度系统运动微分方程牛顿力学方法：牛顿力学方法：分析力学方法：分析力学方法： 这种方法必须考虑约束反力并画出物体系统的受力这种方法必须考虑约束反力并画出物体系统的受力图，对于一些简单问题，采用这种方法比较直观简便。图，对于一些简单问题，采用这种方法比较直观简便。 这种方法首先应该合理选取系统的广义坐标，然

2、后这种方法首先应该合理选取系统的广义坐标，然后根据拉格朗日方程等分析力学方法，建立系统的运动方根据拉格朗日方程等分析力学方法，建立系统的运动方程，由于这种方法仅涉及动能、势能和功等标量形式的程，由于这种方法仅涉及动能、势能和功等标量形式的物理量，对于复杂的多自由度振动系统建立运动微分方物理量，对于复杂的多自由度振动系统建立运动微分方程较为方便。程较为方便。MqCqKqQ)(ddtQqUqTqTtjjjj), 2 , 1(nj2 多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型）多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型）按无阻尼自由振动方程进行求解按无阻尼自由振动方程进行求解固有频率求解：固有频率求

3、解：MqKq022()det()0KM021)2(22)1(212nnnnnaaaa 将求得的固有频率将求得的固有频率r (r=1,2,n)分别代入下面的方分别代入下面的方程，得程，得2( )()(1,2, )rrrnKM u0固有振型求解：固有振型求解：正则振型正则振型 振型向量可以排列成为振型向量可以排列成为n阶方阵，称为阶方阵，称为模态矩阵模态矩阵( (或或振型矩阵振型矩阵) )，即，即(1)(2)( )nuuuu 一个很简便的正则化方法就是令一个很简便的正则化方法就是令( )T( )1(1,2, )rruurnM 有有( )T( )2(1,2, )rrruurnK3 固有振型的正交性（

4、主振型）固有振型的正交性（主振型）( )T( )0()srrsuMu( )T( )rrrMuMu( )T( )0()srrsuKu( )T( )rrrKuKuT12nMMMru MuMT12nKKKru KuK3 固有振型的正交性（正则振型）固有振型的正交性（正则振型）( )T( )0()srrsuMu( )T( )1rruMu( )T( )0()srrsuKu( )T( )2rrruKuT111rMu MuIT21222nrKu Ku4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应求解的类型：求解的类型：u无阻尼振动系统对初始条件的响应无阻尼振动系统对初始条件的响应u无阻尼振动系统对任意

5、激励的响应无阻尼振动系统对任意激励的响应u有阻尼振动系统对各种激励的响应有阻尼振动系统对各种激励的响应（简谐激励、周期激励、任意激励）（简谐激励、周期激励、任意激励）4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：求解的基本步骤：(1)(1)列出振动微分方程列出振动微分方程无阻尼自由振动系统无阻尼自由振动系统有阻尼各种激励振有阻尼各种激励振动系统动系统MqKq0无阻尼任意激振无阻尼任意激振振动系统振动系统 Mq tKq tF t Mq tCq tKq tF t( )( )1rrruu( )( )TrrruMu4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤

6、：求解的基本步骤：(2)(2)求系统的特征值和特征向量（固有频率及主振型）求系统的特征值和特征向量（固有频率及主振型）22()det()0KM2( )()(1,2, )rrrnKM u0(3)(3)将固有振型转换成正则振型将固有振型转换成正则振型正则振型正则振型主振型主振型正则化因子正则化因子组成正则振型矩阵组成正则振型矩阵(1)(2)( )nuuuu4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：求解的基本步骤：(4)(4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）令令 q tu tn代入无阻尼自由振动系统，并用代入无阻尼自由振动系统

7、，并用uT左乘方程左乘方程 TTTu Mu tu Ku tu F tN(t) tNttrrrr2 ), 2 , 1(nrn代入无阻尼任意激振振动系统，并用代入无阻尼任意激振振动系统，并用uT左乘方程左乘方程 TTu Mu tu ku t0 02ttrrr ), 2 , 1(nr4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：求解的基本步骤：n代入有阻尼各种激励振动系统，并用代入有阻尼各种激励振动系统，并用uT左乘方程左乘方程（阻尼应为比例阻尼、振型阻尼）（阻尼应为比例阻尼、振型阻尼） 202sin()rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1 T0rrN0uF TTTTu

8、 Mu tu Cu tu Ku tu F tN(t)1 1）简谐激励，）简谐激励， sint0F tF4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：求解的基本步骤： 2012cossin2rrrrrrrjjjtttaNtaj tbj t nr, 2 , 1 2 2）周期激励，）周期激励， ()ttjTFF4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应求解的基本步骤：求解的基本步骤： 3 3）任意激励，）任意激励， 22( )rrrrrrrtttN t nr, 2 , 1(5)(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应n各正则坐

9、标下单自由度自由振动系统，对初始条件的各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的响应响应 1 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件100u q100u qTT,0000u Mqu Mq4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应 2 2）初始条件响应求解公式）初始条件响应求解公式 tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nrn各正则坐标下单自由度无阻尼任意激振振动系统的响各正则坐标下单自由度无阻尼任意激振振动系统的响应应 1 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初

10、始条件 2 2）任意激振响应求解公式）任意激振响应求解公式(5.6-14) trrrrrrrrrtNttt 0 00dsin1sincos4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应n各正则坐标下单自由度有阻尼振动系统对各种激振的各正则坐标下单自由度有阻尼振动系统对各种激振的响应响应 1 1）简谐激励（稳态响应）简谐激励（稳态响应） 02222sin12rrrrrrrNtt 122tg1rrrr rr T0rrN0uF4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应 2 2）周期激励（稳态响应）周期激励（稳态响应） 102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat式

11、中式中 2222112rjrrrHjjj1222tg1rrrjrjjrr4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应 3 3）任意激励）任意激励 000 0ecossin1esindrrrrtrrrrrrdrdrdrttrdrdrtttNt 21drrr TT00,rrrr00uMquMq经过上述步骤可求得正则坐标下的响应经过上述步骤可求得正则坐标下的响应 12( )( )( )Tnttt(t)4 对多自由度系统振动求响应对多自由度系统振动求响应(5)(5)变换为原坐标下的响应变换为原坐标下的响应 111121212221212( )( )( )nrrrnnnnnnntuuuuuutt

12、tuuuq tu(t)u123000000mmmM5 例题例题 求解振动方程求解振动方程图示三自由度有阻尼受迫振动系统。已知：图示三自由度有阻尼受迫振动系统。已知： 试建立该系统的振试建立该系统的振动微分方程，并写出系统的特征矩阵。动微分方程，并写出系统的特征矩阵。 kkk41kk5 . 123,2kk123,mmmm1k2k3k4k1r2r3r4r1m2m3m1Q2Q3Q1x2x3x解：解： 122223333400kkkkkkkkkkK122223333400rrrrrrrrrrC123QQQQ123xxxX5 例题例题 求解振动方程求解振动方程123xxxX123xxxXMXCXKXQ则

13、系统的微分方程为则系统的微分方程为 系统的特征矩阵为系统的特征矩阵为 22222.51.501.53.52023kmkkkmkkkmHKM5 例题例题 响应求解响应求解某振动系统的运动微分方程为：某振动系统的运动微分方程为： MqKqF(t)其中，其中， mmm0005 . 10002M520230kkkkkkk K20sin0QtF(t)已知该振动系统的二阶振型为，已知该振动系统的二阶振型为， (2)0.6790.60661.000 u试用模态分析法求对应于二阶振型的强迫振动解。试用模态分析法求对应于二阶振型的强迫振动解。 (2)(2)22000.6790.6790.6066101.500.

14、60662.474001TpmMmmm uMu(2)(2)25200.6790.6790.60661230.60663.974801TpkkKKkkkkkk uu22.474m5 例题例题 响应求解响应求解对应第二阶主质量和主刚度分别为对应第二阶主质量和主刚度分别为 求正则化因子求正则化因子 将阵型正则化，有将阵型正则化，有 (2)(2)20.6790.43171110.60660.38572.4741.0000.6358mmuu2000.4317110.43170.38570.635801.500.38571000.6358mmmmm5200.4317110.43170.38570.6358230.38571.606600.6358kkkkkkmmmkk2200.385710.4317