初二数学全全等三角形截长补短达标专项训练检测试题

1、初二数学全全等三角形截长补短达标专项训练检测试题一、全等三角形截长补短1. (1 )问题背景：如图 1，在四边形 ABCD中，AB= AD, / BAD= 120 ° / B= Z ADC=90 ° E, F分别是BC, CD上的点，且Z EAF= 60。，请探究图中线段 BE, EF, FD之间的数 量关系是什么？團I2小明探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG= BE,连结AG.先证明 ABEBA ADG, 得 AE= AG;再由条件可得 Z EAF= Z GAF,证明 AEF AGF,进而可得 线段BE, EF, FD之间的数量关系是 .(2)拓展应用：如图2,在

2、四边形 ABCD中，AB= AD, Z B+Z D= 180°. E, F分别是BC, CD上的点，且1Z EAF=Z BAD.问(1)中的线段BE, EF, FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.2. 如图， ABC中，V：，AD是BC边上的高，如果-，我们就称厶ABC为 高和三角形”请你依据这一定义回答问题：(1 )若如也=個，少,则厶ABC 高和三角形”(填是”或不是”;(2) 一般地，如果 ABC是高和三角形”则上号与"之间的关系是 ，并证明你的结 论3. 如图，在 ABC中，AB= AC, Z BAC= 30 ° 点 D

3、 是厶 ABC内一点，DB= DC, Z DCB=30 °点E是BD延长线上一点， AE= AB.(2)线段DE, AD, DC之间有什么数量关系？请说明理由.4阅读题：如图1，OM平分 AOB，以0为圆心任意长为半径画弧，交射线 OA，0B于C，D两点，在射线0M上任取一点E (点0除外)，连接 CE，DE，可证 OCEODE，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：(1) 如图2,在厶ABC中， A 2 B , CD平分 ACB交AB于点D，试判断BC与AC、AD之间的数量关系；(2) 如图 3,在四边形 ABCD 中，AC 平分 BAD , BC CD 10 , AB 20 ,

4、AD 8，求厶ABC的面积.5.如图，在正方形 ABCD中，点E迕射线BC上，连接AE，作EF AE，且EF交正 方形外角的平分线 CF于点F .(1) 若点E在边BC的中点处时，AEEF (填“>” “”或“=)'(2) 若点E为边BC上的任意一点(不含点 B , C )，探究此时 AE与EF的数量关系, 并说明理由.(3) 若点E是边BC延长线上的一点，探究此时 AE与EF的数量关系，并说明理由.6.(1 )如图，RtABC中，AB AC , BAC 90 , D为BC边上的一点，将 ABD绕点A逆时针旋转90。至心ACF，作AE平分 DAF交BC于点E，易证明：BD2 CE

5、2 DE 2 若DE寸2BD，则以BD、DE、EC为边的三角形的形状是(2)如图，四边形ABCD中， BAD BCD 90 , AB AD，若四边形ABCD的面积是32, CD 2，求BC的长度；(3) ABC是以BC为底的等腰直角三角形，点 D是 ABC所在平面内一点，且满足AD 4，BD 6，CD 2，请画草图并求ADC的度数.圏-图7.已知等腰 ABC中，AB=AC,点D在直线 AB上，DE/ BC,交直线 AC与点E,且BD=BC CH丄AB,垂足为 H.HE(1)(2)写出当占=1 八、当占=1 八、DH,图2D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DED在线段BA延长线上时，如图

6、 2,当点D在线段AB延长线上时，如图 3,直接BH, DE之间的数量关系，不需要证明.&如图所示，平行四边形 ABCD和平行四边形 CDEF有公共边CD,边AB和EF在同一条直线上，AC丄CD且AC=AF,过点A作AH丄BC交CF于点G,交BC于点H,连接EG.(1 )若AE=2, CD=5,则厶BCF的面积为 ; BCF的周长为(2)求证：BC=AG+EG 9.如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AE平分/ BAD, BE平分/ ABC,且 AE、BE交CD于 点E.试说明AD= AB- BC的理由.10.在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图，在四边形 ABCD中，

7、E是边CD的中点，AE是 BAD的平分线,AD / BC .求证：AB AD BC.小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图，延长AE、BC交于点F 方法2：如图，在AB上取一点G，使AG AD，连接EG、CG .(1 )请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；(2)如图，在四边形ABCD中，AE是 BAD的平分线，E是边CD的中点,D - BCD2180，求证：CB CE .BAD 60 ,【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、全等三角形截长补短1 .(1) EF= BE+DF;( 2)结论EF= BE+DF仍然成立；证明见解析.【分析】(1)延长FD到点G.使DG=BE连结AG,即可证

8、明 ABE ADG，可得AE=AQ 再证 明厶AEFA AGF,可得EF=FG即可解题；(2)延长FD到点G.使DG=BE连结AG,即可证明 ABE ADG，可得AE=AG,再证 明厶AEFA AGF,可得EF=FG即可解题.【详解】(1) EF= BE+DF,理由如下：在厶ABE和厶ADG中，DG BEB ADG 90，AB AD ABE ADG (SAS , AE= AG, / BAE= / DAG,1/ / EAF=/ BAD,2 / GAF= / DAG+Z DAF= / BAE+Z DAF= / BAD- / EAF= / EAF, Z EAF= Z GAF,在厶AEF和厶GAF中，

9、AE AGEAF GAF ,AF AF AEFA AGF (SAS , EF= FG,/ FG= DG+DF= BE+DF, EF= BE+DF;故答案为：EF= BE+DF.(2) 结论EF= BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G.使DG= BE.连结AG,如图2,/ Z B+Z ADC= 180 ； Z ADC+Z ADG= 180 ° Z B= Z ADG,在厶ABE和厶ADG中，DG BEB ADG ,AB AD ABE ADG （SAS , AE= AG, / BAE= / DAG,1/ / EAX / BAD,2 / GAM / DAG+Z DAM / BAE+Z D

10、AF= / BAD- / EAF= / EAF, Z EAF= Z GAF,在厶AEF和厶GAF中，AE AGEAF GAF ,AF AF AEFA AGF （SAS , EF= FG,/ FG= DG+DF= BE+DF, EF= BE+DF.【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.2. （ 1 ）是（2）-汇：;见解析【解析】【分析】（1 ）在BC上截取£一 能，根据*一心，一 “可得 ABE为等边三角形，卞丫 = ”二，问题得解；（2 ）在厶ABC中，在DC上截取二它，由AD是BC边上的高且-：，-，

11、进而证明洽匚二, ABDA AED（ SAS就可以得到结论【详解】解：（1）如图，RtAABC中，I冷沐,"二釦订，,在BC上截取眈二佃，则 ABE为等边三角形，初=BE 二 AE ,.ZE力芒二 GO0 SAC - 90c ,/'，且 ABE为等边三角形， -厂 DC = DE + EC是咼和三角形.A(2)一 丄厶;证明：如上图，在 ABC中，在DC上截取 二兰ED = M + BD,.砂=冊，/ AD是BC边上的高且 阿；氓=心， ABDA AED ( SAS ,：= =、：: F瓦=lEAC dBEA = 2lC ? ?:上B = 2 lC【点睛】本题主要考查全等三角

12、形的判定与性质，根据题意构造全等三角形，理解高和三角形”的定义是解题关键.3. (1) 120 °( 2) DE= AD+CD,理由见解析【分析】(1) 根据三角形内角和定理得到/ ABC= / ACB= 75°,根据全等三角形的性质得到/ BAD=/ CAD= 15°根据三角形的外角性质计算，得到答案；(2) 在线段DE上截取DM = AD,连接AM，得到 ADM是等边三角形，根据 ABDAAEM，得至BD= ME,结合图形证明结论【详解】解：(1) / AB= AC, / BAC= 30°1: / ABC= / ACB= (180。- 30°

13、; = 75°2/ DB= DC, Z DCB= 30 : Z DBC= Z DCB= 30 :o: Z ABD= Z ABC- Z DBC= 45oABAC在厶ABD和厶ACD中，DBDC ,ADAD：. ABDA ACD ( SSS ,1: / BAD= / CAD=/ BAC= 15 °2: / ADE= / ABD+Z BAD= 60 °：/ ADB= 180 - Z ADE= 180 ° 60 = 120 °(2) DE= AD+CD,理由如下：在线段 DE上截取DM = AD,连接AM ,/ / ADE= 60 ° DM

14、= AD, ADM是等边三角形，/ ADB= Z AME= 120 ,°/ AE= AB, Z ABD= Z E,ABD E在厶ABD和厶AEM中， ADB AME ,AB AE ABDA AEM (AAS), BD= ME,/ BD= CD, CD= ME./ DE= DM+ME,本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判 定定理和性质定理是解题的关键.4. (1) BC=AC+AD ( 2) ABC的面积为 80.【分析】(1 )在CB上截取CE=CA则由题意可得 AD=DE, Z CED=Z A,再结合Z A=2Z B可得 DE=BE 从而得

15、到 BC=AD+AC(2 )在AB上截取AE=AD,连结CE过C作CF丄AB于F点，由题意可得 EC=BC从而得 到EF的长度，再由勾股定理根据EC EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答.【详解】解：(1)如图，在 CB上截取CE=CA则由题意得： CADACED, AD=DE, / CED=Z A,/ / A=2/ B, / CED=2/ B,又/ CED=/ B+/ EDB / B+/ EDB=2/ B, / EDB=/ B, DE=BE BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC(2)如图，在 AB上截取AE=AD,连结CE,过C作CF丄AB于F点,(2 )作辅助线，仍然

16、证明 AMEB ECF得出结论;由题意可得： CDAA CEA EC=CD=BC=10 AE=AD=8,CF 丄 AB ,AB AE208Q匚厂厂匚)一22CF.EC2 EF2.102628，S.ABC1-AB CF1 20880.22【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定 和性质、勾股定理是解题关键.5. (1) =;( 2) AE EF ,见解析；(3) AE EF ,见解析【分析】(1)作辅助线,AH=EC / 1 = / 2 , / AHE=/ ECF=180-45 °135° 贝 AHE ECF；(3 )做辅助线，仍

17、然证明【详解】 ANEA ECF得出结论.证明：取AB的中点H,连接EH;T ABCD是正方形，AE± EF; / 1 + Z AEB=90,/ 2+ / AEB=90 ° / 仁/ 2,/ BH=BE, / BHE=45 ,且 / FCG=45, / AHE=Z ECF=135 , °AH=CE AHEA ECF AE=EF；EC ,连接MEDB BM BE BME 45 AME 135 CF是正方形外角平分线DCF45ECF135AMEECFAEBBAEBAE 90 ,CEFAEBCEF90(2 )在AB上取一点M，使得AMANCE ,连接NE AME ECF

18、 AE EF(3 )在BA的延长线上取一点 N，使V；*(? E BN NEN NEC 45 CF是正方形外角平分线 FEC 45 N FEC四边形ABCD是正方形 AD BEDAE BEA即.CAE | 90J./BEA+90。 NAE CEF ANEA ECF AE EF【点睛】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思 路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键.6. (1)等腰直角三角形；(2) 7,2 ； ( 3)图见解析，135°或45°【分析】(1 )要判断以BD、DE、EC为边的三角形形状，根据题干中所给条

19、件，只需证明BD EC即可；(2) 先构造出 ABEAADC，进而判断出 色CAE是等腰直角三角形，四边形的面积 等于 ACE的面积，由此求出 AC , CE即可；(3) 分情况讨论： 当点D在厶ABC内时，作AE AD，使AE AD，连接CE ,DE，利用全等三角形的性质以及勾股定理的逆定理解决问题；当点D在厶ABC外时，作AE AD，使AE AD，连接CE , DE，利用全等三角形的性质以及勾股定理 的逆定理解决问题.【详解】解：(1) T BD2 CE2 DE2,以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，DE2BD，设 BD a，则 DE2a，a2EC2 2a2ECa ,BDEC ,以

20、 BD、DE、EC为边的三角形的形状是等腰直角三角形故答案：等腰直角三角形.(2)如图，延长CB至E ,使BE CD，连接AE , 在四边形ABCD中，BAD BCD 90 ,ABCADC180 ,ABCABE180 ,ABEADC在AABE和公ADC中,AB AD,ABE ADC,BE CD,J)AEAC, BAEDAC ,CAEBAE BACDACSa ace1 AC2 ,2.四边形ABCD的面积为32,S四边形ABCD1 AC2232,AC8 (负值已舍)，EC2AC 8 2，BCEC BE 8 227 2 . ABE 望厶 ADC SAS ,BAC 90 ,Sa ace ,卜:ti图(

21、3)画图如图，.DE ,当点D在厶ABC内时，如图，过点A作AE AD，使AE AD，连接CE , 丫 BAC DAE 90 ,BAD CAE, 在厶BAD和色CAE中，AB ACBAD CAE，AD AEBAD也色CAE SAS ,BD CE 6, DE 2AD 4、2，CD 2， EC2 ED2 CD2,EDC 90 ,丁 ADE 45 ,ADC 4590135 ；当点D在 ABC外时，如图，过点A作AE AD，使AE AD，连接CE ,DE ,丁 BAC DAE 90 ,BAD CAE,在厶BAD和己CAE中，AB ACBAD CAE,AD AEBADCAE SAS ,BDCE 6,/D

22、EEC22AD 4 2，CD 2 ,ED2 CD2,EDC90 ,/ ADE45 ,ADC45 .综上所述，ADC的度数为135°或45图图 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及逆定理等 知识，解题的关键是利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，用分类讨论的思 想思考问题，属于中考压轴题.7.(1)见详解；(2)图 2： DH=BH DE，图 3： DE DH +BH【分析】(1)在线段AH上截取HM BH，连接CM , CD，证明 DMCDEC，可得到DE DM，即可求解.(2)当点D在线段BA延长线上时，在 BA的延长线上截取 MH

23、 BH，连接CM , DC，由题意可证 BHCCHM，可得 B CMB，由题意可得 Z B= Z AED , 即可证 DMC DEC，可得DE DM，则可得DH BH DE ;当点D在线段AB延长线上时，在线段 AB上截取BH HM，连接CM , CD，由题意可证 BHCA CHM，可得 B CMB，由题意可得 B AED，即可证 DMC DEC，可得 DE DM，则可得 DE DH BH .【详解】解：（1）证明：在线段 AH上截取HM BH，连接CM , CD CH AB , HM BH二 CM BCB CMB/ AB AC B ACB DE/BC ADEB AED ACB , CDE B

24、CD AEDBMCDEC DMC BD BCBDC BCD EDC CD CD CDM CDE- DM =DE BH+DE DM HM DH(2)当点D在线段BA延长线上时， DH BH DE如图2：在BA的延长线上截取 MH BH，连接CM , DC/ AB AC二 / ABC ACB BD BC/ BDC / DCB DE/BC/ E / ACB / B / EDB CH=CH , BH MH , / BHC / CHM BHCA CHM- Z B = Z M- Z E Z M Z MDC Z B+ Z DCB , Z EDC Z BDC Z EDB Z MDC Z EDC又：Z E Z

25、M , DC CD DECA DMC DEDM DH :=MHDM DHBHDE当点D在线段AB延长线上时，DE DH BH如图3：当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BHHM，连接CM ,CDb 图3 BH HM , CHCH , Z CHB Z MHC 90 MHC BHCZ ABC Z BMC AB ACZ ABCACBBD BCBDCBCDBC/DEBCDCDE, ACBAEDBDCCDE ,Z BMCZ AED，且 CD CD ACDM 也ACDE DE DM DM DH HM DE DH BH【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理

26、添加 辅助线证全等是解题的关键.&(1)3，23 234 ；( 2)见解析【分析】(1)根据平行和垂直的特点求出BF, AF,再根据勾股定理求出 CD,根据FP与BA的比值求出面积，再根据勾股定理求CF, BC即可得到周长.(2 )在 AD上截取 AM=AG，连接。皿，证厶FA3 CAM ;证厶EF3A DCM .【详解】解：(1)面积为3；周长为2 3 234四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形， EF=CD AB=CD, AB/ CD EF=AB=CD=5 AE=EF-AE=5-2=3 BF=5-3=2过F作FP丄BC则 FP： AH=BF： AB=2： 5, S BCF

27、: S”BCA FP : AH 2 : 5 , / AC丄 CD, AB / CD, AB丄 AC,即卩 / BAC=90 ,°/ AC=AF=3, CF= 32 32 3 2 , BC= 32 52,34 , ss O -BCFBCA52 1CD AC 35 2 BCF的面积为3, BCF周长为 23、234(2)在 AD上截取 AM=AG，连接 CM,fl p /四边形ABCD是平行四边形， AD/ BC, AD=BC/ AH 丄 BC AD 丄 AH / DAH=90 °/ / BAC=90 ° / DAH=Z BAC / DAH-Z CAH =/ BAC-

28、/ CAH / BAH=Z CAD/ AF=AC FAG CAM FG=CM, / ACM=Z AFG四边形CDEF是平行四边形， EF/ CD, EF=CD / DCF+Z AFC=180 , °/ AF=AC,/ BAC=90 ,° / AFC=Z ACF=45 ,° / DCF=180-Z AFC=135 , ° Z ACM=Z AFG=45 ,° Z DCM=Z FCD-Z ACF-Z ACM=45 ° Z AFG=Z DCM, EFG DCM,EG=DM,/ AD=AM+DM ,ad=ag+eg/ AD=BC, BC=AG+

29、EG【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例和勾股定理的应用.9. 见解析【分析】在AB上找到F使得AF= AD,易证 AEF AED,可得AF = AD, Z AFE= Z D,根据平行 线性质可证Z C= Z BFE即可证明 BECA BEF,可得BF= BC,即可解题.【详解】F使得 AF= AD, / EAD= / EAF, 在 AEF和厶AED中,AD AFEAD EAF ,AE AE AEFA AED,( SAS AF = AD, / AFE= Z D,/AD/ BC, Z D+ Z C= 180 °/ Z AFE+ Z BFE= 180 ° Z C

30、= Z BFE/ BE 平分 Z BAD, Z FBE= Z C,在 BEC和 BEF中，BFE CFBE CBE,BE BE BECA BEF,( AAS) BF= BC,/ AB= AF+ BF, AB= AD+ BC,即 AD= AB - BC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证厶AEF AED和 BEC BEF是解题的关键.10. (1)方法1:证明见解析；方法 2 :证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F，再根据等腰三角形的性质可得 AB BF，根据三角形全等的判定定理与性质得出A