上海教育版高中数学一下54两角和与差的余弦正弦和正切教案4篇

1、5.4 (1)两角和与差的余弦公式上海市杨浦高级中学 曹丽琼一、教学内容分析两角和与差的余弦是三角恒等式的起始课，是本章中一系列的三角恒等式的基础，因此对两角和与差的余弦公式的掌握必须扎实.两角和与差的余弦公式的推导是本节课的重点和难点.这一推导过程难度较大也比较复杂，教师可以通过设置问题情景，提出如何用两角的三角比表示两角差的余弦三角比.在猜测公式和实例检验的过程中激发学生探求公式的兴趣,在具体的推导过程中，引导学生想到借助单位圆来研究任意角三角比的基本方法，运用数形结合完成推导.对学生在推导过程中出现的问题，例如任意角的准确表示等，教师需指出或以引导的方式加以更正.在得到公式之后，需要观察

2、和总结公式的特点和规律，便于记忆.在练习时要注意公式的逆用和其它变式的求值及化简问题，应用所学的公式证明三角恒等式的练习在本节课中不宜太难.二、教学目标设计探求两角和与差的余弦公式的推导，经历公式推导的过程，并在此过程中，进一步形成严密而准确的数学思维方法.初步掌握公式，并会应用它们解决一些简单的有关三角的求值问题与证明问题；三、教学重点及难点两角和与差的余弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的余弦公式.四、教学流程设计实例引入、设置问题猜测公式、实例检验转换思路、以求代猜数形结合、推证公式强调特征、巩固应用求值化简、简单证明课堂小结、布置作业五、教学过程设计 一、讲授新课1、实例引入（1）、

3、，而，那么等式是否成立（2）对于任意角、，的余弦如何用和的三角比来表示？说明（1），而，所以等式不成立 （2）对学生所提出的猜想，用具体的数加以检验.通过检验发现不能用简单的或是等来表示.从而明确余弦运算不满足分配律.2、公式推导设、是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角、，射线、分别为其终边，与单位圆相交于、两点，其坐标分别为，.方法一、将角的终边、都绕旋转角，分别转到和的位置，则，.根据两点间距离公式，有因为绕旋转角得到，所以从而也可以将角的终边、都绕旋转角，则同理可得，一方面由诱导公式可知，所以得到.另一方面，由于、表示任意角，所以用替换，替换公式仍成立.从而得到.这个公式叫做两角

4、差的余弦公式, 它对任意角和都成立.在两角差的余弦公式中，用代替.可得到两角和的余弦公式：.3、强调特征两角和与差的余弦公式在结构上的特征为1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差；2、左右两边的加减号互异4、例题解析例1、利用两角和与差的余弦公式，求、的值.解：、说明可以选择不同的角及公式，例如，、；、例2、化简： 解：说明两角差的余弦公式逆用.例3、求的值. 解：原式说明公式变式训练.例4已知三角形，求证：说明 三、巩固练习课本第54页 练习5.4（1）：1/（2）；2四、课堂小结（1）本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量

5、替换的方法，得到了两角和的余弦公式.（2）能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单三角恒等式证明.五、课后作业思考题：求证下列恒等式：（1）；（2）课本第54页 练习5.4（1）3；4六、教学设计说明两角差的余弦公式的推导是这堂课的教学难点.一方面，这一推导本身比较复杂，需要学生对任意角有较好的理解.另一方面是来自于学生对待公式推导和证明的认识上.学生其实很清楚，从课本上所学的命题都是被证明过的，是真的.所以认为在课堂学习时，再证明一次并没有多大意义.他们会自觉地重视公式的应用，不自觉地忽视公式的推导.所以要做好证明教学是这堂课成功与否的关键，让学生在探寻、思考、构造的过程中将证明变成真正

6、有意义的学习活动.所以，在设计教学过程时，将公式的证明变形为开放式的探求.探求的起点是合理的联想：等于什么？一定是与、角的三角比有关.学生很容易联想到乘法分配律：，于是猜测.经过实例检验说明上式只对个别角度成立，不具有一般性，从而与乘法分配律区分开.再猜测、再检验，从这样的过程中一方面培养学生逻辑思考的能力，激励学生探求公式的兴趣，另一方面，发现公式的形式不会太简单，于是转化思路，以求代猜.其基点便是任意角的概念：在直角坐标中由旋转而形成.而研究任意角三角比需借助单位圆的力量.让学生体会到数形结合这一数学思想的美妙.而在单位圆中作出角、时，很容易忽略了两角的任意性，将它们表示为：从而没能使接下

7、去的证明涵盖到任意角.这里是教师训练学生逻辑思维和思维严密性的发力点，教师可以通过提问的形式，引导学生自己发现这一问题，想办法补救，使得推导严密准确，适用于任意角度.经历这样一个过程，不但使得学生对公式的任意性有了更好的认识，对变量替换思想有更好的理解，更使得学生的证明能力得到提高，数学的思维方法得到了培养.在得到公式后，教师应对该公式的重要性加以肯定和突出.不仅能加强学生对公式的重视，更能使学生感到其努力是有价值的，从中体验到成就感.将课本的例题4作为思考题留给学生，除了课堂时间有限这一因素之外，也作为与下一堂课的衔接.5.4 (3)两角和与差的正切公式上海市杨浦高级中学 曹丽琼一、教学内容

8、分析 推导两角和与差的正切公式是本节课的重点，它是余弦和正弦公式的重要应用.推导的难度并不大，学生可以独立完成.对公式的推导过程要求熟悉，这有利于梳理两角和与差公式间的相互联系，也有利于对公式特征的理解和形式的记忆，为之后的学习打下基础.要使学生能够正确、熟练、较灵活的使用两角和与差的正切公式，在例题的设计中要覆盖对公式的正用、逆用以及变形使用，逆用和变形使用是本堂课的教学难点，但由此可提高学生的观察以及发散思维能力.二、教学目标设计（1）熟悉两角和与差正切公式的推导，知道公式成立的条件，理解公式的形式特征（2）初步了解公式的作用，能够正确运用公式及其常用变形进行计算、化简、证明（3）在公式的

9、推导过程中,进一步形成转化的思想方法和逻辑思维的能力.三、教学重点及难点两角和与差的正切公式的推导和应用；四、教学流程设计复习引入、设置问题联系已知，推导公式小结特征、理解记忆求值化简、恒等证明常用变式、巩固练习课堂小结、布置作业五、教学过程设计 一、讲授新课1、复习引入（1）两角和与差的余弦公式 其中，式可在式中用替换而得.（2）两角和与差的正弦公式，正弦公式可以通过诱导公式，将转化为，继而应用余弦公式推得问题：如何用以及表示？2、公式推导学生思考、独立完成.分子、分母分别除以（），并化简得 思考1、两角差的正切公式具有怎样的形式？思考2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切

10、公式也如此吗？提出你的理由学生回答1、同理可得 ；或由变量替换的思想，用替换两角和公式中的即可.2、不是，使用式前需要先保证、都有意义，且.即、都不能取（）.同理，式中的、也不能取（）这是使用两角和与差正切公式的条件.如果、中有取到（）的角，又如何求或呢？学生回答说明 明确公式成立的条件，使学生的认识完整化.3、强调特征（1）等号的左边是复角的正切.右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是1减去两单角的正切之积.（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异.说明学生掌握公式的特征，不仅从简单的对比而得，更要从推导过程中去理解4、例题解析例1、 已知，求下列三角比的值：（1）；（

11、2）解答：（1）；（2）说明教材中没有继续推导两角和与差的余切公式.在遇到此类问题时，常常通过三角比的倒数关系将余切转化为正切，或通过商数关系转化为正余弦来计算.例2、运用两角和的正切公式，求的值.解答：m说明方法一、可先计算.方法二、将表达式中的1看作为，逆用两角和的正切公式先化简后求值.方法二突现了“1”在三角问题中的重要地位.例3、化简解答：说明两角和与差正切公式的常用变式；.例4、已知、是方程的两个根，求及.解答：；或说明两角和与差的正切公式其结构特征提供了使用韦达定理的条件，从而与二次方程产生联系.三、巩固练习例5、不查表计算解答：例6、已知，求的值.解答：例7、证明下列三角恒等式：

12、（1） （2）四、课堂小结（1）应用已学知识推导了两角和与差的正切公式，知道了公式使用的条件以及特征.（2）能够对所学的公式作正、逆双向使用，进行化简与求值.熟悉公式的常用变式以及知识拓展，从而对公式有进一步的理解.五、课后作业课本第59 练习5.4（3）1、2习题5.4 A组：2/（5）、（65.4 (2)两角和与差的正弦公式上海市杨浦高级中学 曹丽琼一、教学内容分析 本节课的重点在于两角和与差的正弦公式的推导以及公式的应用.学生之前已经学习了两角和与差的余弦公式，又通过第五、六组诱导公式了解了正余弦之间的相互转化.在经过复习之后，教师可提出问题：如何用角与的三角比表示以及的正弦三角比？之前

13、的复习作为铺垫，有利于渗透用已知解决未知问题的化归思想，有助于同学推导公式.在得到两角和与差的正弦公式之后，教师需要强调公式的特征，从而便于学生对公式的记忆，有利于公式的应用.因为公式的应用是本节课的难点之一，应用可以包括对公式的正用、逆用、变式以及与余弦公式的综合应用.二、教学目标设计（1）应用第五组诱导公式推导两角和与差正弦公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.（2）初步掌握两角和与差的正弦公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明（3）通过学习两角和与差的正弦公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学兴趣.三、教学重点

14、及难点两角和与差的正弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的正弦公式.四、教学流程设计复习引入、提出问题学生讨论，推证公式强调特征、巩固应用三角恒等、简单证明求值化简、综合使用课堂小结、布置作业五、教学过程设计 一、讲授新课1、复习引入上节课学习了两角和与差的余弦公式，该式对任意角和成立.作为课后的思考题，要求同学们证明三角恒等式：（1）；（2）.由这两式又可以进一步得到、，即 用替换上述各式中的，则可得到如下各式 将上述两组公式称为第五、六组诱导公式. 应用两角和与差的余弦公式，十分方便的推导了上述两组公式，实现了两组角间正余弦、正余切的转化.问题：已知可用和三角比表示以及的余弦三角比，可否用于

15、表示以及的正弦三角比呢？已知的余弦公式是否有助于正弦公式的推导呢？2、公式推导学生分小组讨论，进行推导. 称；为两角和与差的正弦公式，它们对任意角、成立.说明其中使用了第五组诱导公式.3、强调特征两角和与差的正弦公式在结构上的特征为（1）公式左边是复角的余弦，右边是单角的正余弦交叉相乘的和与差；（2）左右两边的加减号相同.4、例题解析例1、 求的值.解答：原式.说明可以选取两角和的正弦公式或余弦公式.例2、已知，求解答：例3、已知：，求解答：例4、求证：说明与平方关系相结合；增强对两角和与差正弦公式结构的理解和记忆；常用的三角恒等式.例5、已知，判断是第几象限角.解答：因为且，所以是第四象限角

16、.说明用三角比值的符号确定角所在的象限；体现公式的作用.三、巩固练习课本第57页 练习5.4（2）1、2四、课堂小结（1）通过化归和变量替换的的数学思想推导了两角和与差的正弦公式.（2）能够应用两角和与差的正弦公式解决求值、化简、证明等三角问题.五、课后作业课本第57页 练习5.4（2）3、4、5六、教学设计说明1、公式的推导应由学生自主得到，此过程有利于进一步提高学生推证的能力，感受三角证明的灵活性和多变性.2、在例题的设计中注意公式的正用、逆用以及变式使用.对于三角恒等式的证明应由浅入深，较复杂的证明题可以留作思考题.5.4 (4)两角和与差公式的应用上海市杨浦高级中学 曹丽琼一、教学内容

17、分析通过之前的学习，学生已初步掌握两角和与差的正弦、余弦与正切公式.本节课将对这组公式作进一步的应用，从中体会公式的作用.辅助角公式的引入是本节课的重点，可以由具体实例出发，使学生经历由具体到一般的抽象思维过程，使辅助角公式的形成自然、易理解.二、教学目标设计（1）应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式，了解公式的形式以及辅助角的意义.能较为熟练的使用辅助角公式，从中体会公式的作用（2）在推导的过程中，进一步提高对比、分析和知识运用的能力，逐步形成从具体到一般的抽象思维以及化归的数学思想.三、教学重点及难点两角和与差公式的应用；辅助角公式的形成、理解.四、教学流程设计m正确选取辅助角，对公

18、式作简单应用从具体到一般，形成辅助角公式复习已学公式，设置问题情景讨论分析，逆向思维课堂小结、布置作业五、教学过程设计一、讲授新课1、复习引入，设置问题复习：两角和与差的正弦、余弦公式.；快速练习：利用两角和与差公式展开学生完成.（）若要将表达式化简为只含一个三角比的形式，则表达式可以是问题1、表达式还可以是什么？为什么？学生回答（、等）2、辅助角公式根据三角函数的周期性可知，（），可以根据实际问题选取值.一般的，取.结合诱导公式，便可将表达式转化为只含余弦的形式事实上，也可以直接与余弦两角差的公式作比较，此时，可将以及看作某角的余弦值和正弦值，从而化简为只含有余弦三角比的表达式.若将表达式视为，则可逆用两角和的余弦公式.逆用任一两角和与差的正弦、余弦公式都是可以的，视具体问题而定.问题2、（1）若将表达式化为只含一个三角比的形式，则表达式可以是？学生回答，说明理由.（等）（2）若将表达式化为只含一个三角比的形式，则表达式可以是学生回答，说明理由.（等）（3）若将表达式化为只含一个三角比的形式，则表达式可以是？学生回答，说明理由.（，这里的需满足：，故而是第一象限角，其终边是唯一确定的.）问题、对于一般形式（、不全为零）如何将表达式化简为只含正弦三角比的形式？ ，其中（通常取）由，确定.称上述公式为辅助角公式，角为辅助角.三、巩固练习例、试将以下各式化为（）的形式.（）