北师大版数学九年级上册全部教案

1、北师大版数学九年级上册全部教案1.你能证明它们吗（一）本章总体设计介绍本章是八年级下册第六章证明（一）的继续，教科书首先给出四条公理，这四条公理与证明（一）中给出的两条公理一起作为这一章继续对命题进行证明的逻辑基础。在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础.本章所证明的命题都和等腰三角形、直角三角形有关，主要包括：1 .等腰三角形的性质和判定定理；2 .直角三角形的性质定理和判定定理；3 .线段的垂直平分线性质和判定定理；4 .角平分线性质定

2、理和判定定理。本章教学建议对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握

3、规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。1. 你能证明它们吗（一）一、学生知识状况分析在八年级下册第六章证明（一），学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：1

4、知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。2能力目标：经历“探索发现猜想证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3情感与价值目标启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4教

5、学重、难点重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。三、教学过程分析学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）；教师课前准备：制作好的几何画板课件.本节课设计了六个教学环节：第一环节：回顾旧知导出公理；第二环节：折纸活动探索新知；第三环节：明晰结论和证明过程；第四环节：随堂练习巩固新知；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。第一环节：回顾旧知导出公理活动内容：提请学生回忆并整理证明（一）中列出的六条公理：1 .两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2 .两条平

6、行线被第三条直线所截,同位角相等；3 .两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4 .两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5 .三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；6 .全等三角形的对应边相等,对应角相等。在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明。活动目的：经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备；证明这个推论，可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。活动效果与注意事

7、项：由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范,教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。具体证明如下:已知：如图，/A=/D,/B=/E,BC=EF.求证：ABCzXDEF.证明：vZA=ZD,ZB=ZE（已知）,又/A+/B+/C=180,/D+/E+/F=180（三角形内角和等于180）,./C=180-（/A+/B）,/F=180-（/D+/E）,./C=/F（等量代换）。又BC=EF（已知），.ABCADEF（ASA）。第二环节：折纸活动探索新知活动内容：在提问：“等腰三角形

8、有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的活动目的：通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理，当然，可能部分学生得到的定理并不全面，在学生小组的交流中，通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有性质定理。当然，在教学过程中，

9、教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”。第三环节：明晰结论和证明过程活动内容：1、在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明，其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合2、 提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质，从而得到：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.活动目的：和学生一起完成性质定

10、理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用；活动2，则是前面命题的直接推论，力图让学生形成拓广命题的意识，同时也是一个很好的巩固练习。活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60”的证明过程：已知：如图，AABC中，AB=BC=AC.求证：/A=/B=/C=60.证明：在AABC中，VAB=AC,B=/C（等边对等角）.同理：ZC=ZA,A=/B=/C（等量代换）.又/A+/B+/C=180（三角形内角和定理），；/A=/B=/C=60.第四环节：随堂练习巩固新知活动内容：学

11、生自主完成P4第2题：如图（图略），在4ABD中,C是BD上的一点，且ACBD,AC=BC=CD,（1）求证：ZXABD是等腰三角形；（2）求/BAD的度数。活动目的：巩固全等三角形判定公理的应用，复习等腰三角形“等边对等角”的用法。第五环节：课堂小结活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。活动目的：形成及时总结语反思的意识与习惯，提高学生能力。活动效果与注意事项：教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：1、具体有关性质定理；2、通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据3、

12、体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性第六环节：布置作业P5习题1,2.四、教学反思本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了“探索发现猜想证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。第一章证明（二）1. 你能证明它们吗（二）一、学生知识状况分析在八年级下册第六章证明（一），学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七

13、年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。二、教学任务分析本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，以及等腰三角形的判定定理，前者是性质定理的直接运用与拓广，后者则是前者的逆命题，可以发展学生的逆向思维能力，同时后者的证明过程中，需要借助反证法，因而反证法的学习与运用也成为本课时的教学任务之一，为此，确定本节课的教学目标如下：1 知识目标：探索一一发现一一猜想一一证明等腰三角形中相等的线段，证明等腰三角形的判定定

14、理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题；2能力目标：经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；引导学生体会蕴含在问题解决过程中的思想方法，如归纳、类比、反证法等。3情感与价值观要求鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲.体验数学活动中的探索与创造，感受数学

15、的严谨性.4教学重、难点重点：经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论结合实例体会反证法的含义难点：由一般结论归纳出特殊结论.探求证明思路，特别是反证法的思路含义.三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题变式练习；第四环节：逆向思考，导出反证法；第五环节：适时提问导出反证法；第六环节：及时巩固随堂练习；第七环节：.探讨收获课时小结；第八环节：布置作业。第一环节：提出问题，引入新课活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、

16、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。第二环节：自主探究活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。活动目的：让学生再次经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线

17、段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等.并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法:已知：如图，在ABC中,AB=ACBDCE是ABC的角平分线.求证：BD=CE证法1:AB=AC./ABC=ACB代边对等角）.1 1/1=2/ABC/2=2/ABC/1=/2.在BDCffiCEB中，/ACBWABCBC=CB/1=/2.BD

18、冬ACEB(ASA).BD=CEtr等三角形的对应边相等)证法2:证明：=AB=AC./ABCWACB又:/3=/4.在ABCffiACE中，/3=/4,AB=AC/A=/A.AB四AACE(ASA).BD=CEtr等三角形的对应边相等).在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。第三环节：经典例题变式练习活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生

19、思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图14的等腰三角形ABC中，(1)如果/ABD1/ABC,/ACE1/ACB呢？由此，你能得到一个什么结论？34(2)如果AD=1AC,AE=1AB,那么BD=CE5?如果AD=1AC,AE=1AB呢？由2233此你得到什么结论？活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等.如果是三等份、四等份结果如何呢？从而引出“议一议”。由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引

20、导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考”还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。下面是学生的课堂表现：1一、一生在等腰三角形ABC中，如果/ABD=/ABC那么BD=CE这和证明等3腰三角形两底角的角平分线相等类似.证明如下：.AB=AC /ABCWACB边对等角）.X-ZABD1/ABC,./ACE1/ACB,33 ./ABDWACE在BDC

21、ffiCEB中， /ABDWACEBC=CB/ACBWABC, .BDCizCEB（ASA） .BD=CEr等三角形的对应边相等）,E,11生如果在ABC中，AB=AC,/ABD4/ABC/ACE?4/ACB那么BD=C曲是成立白1因为AB=AC所以/ABCNACB利用等量代换便可得到/ABDWACEBDCtACE等的条件就能满足，也就能得到BD=CE由此我们可以发现：在ABC中，AB=AC/ABDW：/ABCZACEn/ACB就一定有BD=CE成立.生也可以更直接地说：在ABO,AB=AC/ABDWACE那么BD=CE师这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整

22、地书写出来.（教师可巡视指导）下面我们来讨论第（2）问，请小组代表发言.,E11，E1生在4ABC中，AB=AC如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE如果AD=2231AC,AE=AB,那么BD=CE由此我们得到了一个更一般的结论：在ABCt,311、一一AB=ACAD=nAC,AE=nAB,那么BD=CE证明如下：,.AB=ACp11又.AD=AC,AE=AB,.AD=AE在ADB?口AAEC中，AB=AC/A=/A,AD=AE.AD皆AEC（SAS）.BD=CE等三角形的对应边相等）.生一般结论也可更简洁地叙述为：在ABC中，如果AB=ACAD=AE那么BD=CE师这里的两个问题都是由

23、特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的.第四环节：逆向思考，导出反证法活动过程与效果：教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题“反过来”思考问题，这也是获得数,反过来成立吗？也就是：有两个角相要想证明AB=AC只要构造两的一种常用方法，除此之外，我们还可以学结论的一条途径.例如“等边对等角”等的三角形是等腰三角形吗？生如图，在ABC中，/B=/C,个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.

24、师你是如何想到的？生由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把ABS成两个全等的三角形.师很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨生我们组发现，如果作BC的中线，虽然把ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的.后两种方法是可行的.师那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来.（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）（证明略）师我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理一一等腰三角形的判定定

25、理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简单叙述为：等角对等边.我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美.第五环节：适时提问导出反证法我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论.如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗？我们一起来“想一想”：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？有学生提出：“我认为这个结论是成立的.因为我画了几个三角形，观察并“等角对测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等.但要像证明等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定

26、的.的确如此.像这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢？我们来看一位同学的想法：如图，在ZXABC中，已知/BwZC,止匕时AB与Ac要么相等,要么不相等.假设AB=AC那么根据“等边对等角”定理可得/C=ZB,但已知条件是/Bw/C“/C=/B与已知条件/Bw/C相矛盾，因此AAAC你能理解他的推理过程吗？再例如，我们要证明ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设/A=90,/B=90,可得/A+/B=180,但zABC中ZA+ZB+ZC=180,“/A+/B=180”与“/A+/B+ZC=180”相矛盾，因此ABC中不可能有两个直

27、角.引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢？引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法.第六环节：及时巩固随堂练习已知：如图，/CAEzABC的外角，AD/BC且/1=/2.求证：AB=AC证明：:AD/BG/1=/B（两直线平行，同位角相等），/2=/C（两直线平行，内错角相等）.件一D又./1=/2,./B=/C.AB=A想角对等边）./第七环节：.探讨收获课时小结BZ%本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，接着

28、用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义.第八环节：布置作业课本P9习题1,2第2、3题四、教学反思本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。第一章证明（二）1 .你能证明它们吗（三）一、学生知识状况分析在前两节课，学生已

29、经经历了独立探索发现定理的过程，并能基本规范地证明相关命题，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。二、教学任务分析本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。

30、为此，确定本节课的教学目标：1 知识目标：理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30o角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2能力目标： 经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维 经历实际操作，探索含有30o角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力； 在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。3情感与价值观要求 积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲 在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点 等边三角形判定定理的发现与证

31、明. 含30角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4教学难点 含30角的直角三角形性质定理的探索与证明. 引导学生全面、周到地思考问题.三、教学过程分析学具准备：两个带30度角的三角板。本节课设计了六个教学环节：第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫

32、。活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？下面是实际教学中的部分师生活动实况：生等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形.生等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60.我认为等腰三角形的三个内角都等于600,等腰三角形就是等边三角形了.（此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生

33、的看法，引起激烈地争论.教师可让同学代表充分发表自己的看法.）生我不同意这位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边，三个内角都是600所以它们所对的边一定相等.但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！师给三个角都是600这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可在小组内交流自己的看法.（2）你认为有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗7m你的证明思路与同伴交流.（教师应给学生自主探索、思考的时间）第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并

34、交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：性质判定的条件等腰二龟形（含等边三角形）等边对等角等角对等边主线合一”即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、局互相重/有一角是600等边三角形三个角都相等，且每个角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：顶角是60。的等腰三角形是等边三角形；底角是60的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。对于前两个定理

35、的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗？从而引导学生得出：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路.并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到.第三环节：实际操作提出问题活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30角的直角三角形。拿出三角板，做一

36、做：用含30角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形器长拼出一个等边三角形吗？在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由.活动目的：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.活动注意事项与效果：学生一般可以得出下面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也1.可以得出BD=AB,从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具体的说明过程可以如下

37、：方法1:因为ABDACD,所以AB=AC.又因为RtAABD中，/BAD=60,所以/ABD=60,有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.方法2:图（1）中，/B=/C=60,/BAC=/BAD+/CAD=30+30=60,所以/B=/C=/BAC=60,即ABC是等边三角形.如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论。然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图，在RtAABC中，/

38、C=90,BBAC=30.1求证：BC=2AB.使CD=BC,连接分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D,AD.证明：在4ABC中，/ACB=90,/BAC=30/B=60.延长BC至D,使CD=BC,连接AD（如图所示）.ZACB=90aZACB=90vAC=AC,.ABCAADC（SAS）.AB=AD（全等三角形的对应边相等）.ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）.“1_1_BC=2BD=2AB.第四环节：变式训练巩固新知活动1:直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一30吗？果是，请条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于你证

39、明它.在师生分析的基础上，给出证明：已知：如图，在RtAABC中，/ C=90求证：/ BAC=30证明：延长BC至D,使CD=BC,连接ZACB=90 , . ./ACD=90 .又AC=AC .ACBAACD(SAS). .AB=AD .-1BC=2 AB .AD.1 . CD=BC ,BC=2 BD.-1又 ; BC=2 AB .AB=AD=BD即4ABD是等边三角形./ B=60在 RtAABC 中，注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？活动2:呈现例

40、题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题2a,求腰上的高CD的长.如果一个锐角等于30。，那么它所例题等腰三角形的底角为15,腰长为分析：观察图形可以发现在RtAADC中，AC=2a而/DAC是4ABC的一个外角，而/DAC=15=30,根据在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD.解：ABC=/ACB=15./DAC=/ABC+/ACB=15+15=300一11CD=2AC=22a=a（在直角二角形中,对的直角边等于斜边的一半）.活动目的：在例题求解中巩固新知。第五环节：畅谈收获课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中

41、的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。第六环节：布置作业P12习题1.31,2,3。四、教学反思本节课，难点在于探究两个定理：“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。”和“直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半”，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂学生思维非常灵活，方法多样，取得较好的效果。第一章证明（二）2.直角三角形（一）一、学生知识状况分析直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来.例如以前我们曾用割补法验

42、证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在犊一读中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，逆逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的.二、教学任务分析本节课的教学目标是：1 .知识目标：(1)经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性.(2)结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.2 .能力目标：(1)进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.(2)进一步掌握

43、推理证明的方法，发展演绎推理的能力.3 .情感与价值观要求在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲.4 .教学重点、难点重点了解勾股定理及其逆定理的证明方法.结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.难点勾股定理及其逆定理的证明方法.对不是“如果那么”形式的逆命题的叙述.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：讲述新课；第三环节：议一议；第四环节：想一想；第五环节：.随堂练习；第六环节：课时小结；第七环节：课后作业。第一环节：创设情境，引

44、入新课通过问题1,让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。问题1一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC,/BAC=30,AB=10cm,CB1AB,B1CXAC1,垂足分别是B1、C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？解：在RtAABC中，/CAB=30,AB=10cm,5“11 .BC=2AB=2X10=5cm.CB1AB,B+/BCB=90又./A+/B=90 /BCB1=/A=30,.一，11在RtACB1中，BB1=2BC=2X5=.AB1=AB=BB1=102.5=7.5(cm). .在RtAC1AB1中，/A=30c11B1C1=2AB1=2X7.5=3.75(cm).

45、解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30角的直角三角形的性质”.由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢？”从而引入勾股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗？请同学们打开课本P18,阅读馍一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法.第二环节：讲述新课阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种,第二种方法请有兴趣的同学课后阅读.1 .勾股定理及其逆定理的证明.已知：如图，在ABC中，/C=90,BC=a,AC=b,AB=c.求证：a2+b2=c2.证明：延长C

46、B至D,使BD=b,作/EBD=/A,并取BE=c,连接ED、. / BDE = 90, ED= a(全等三角形的对应角相等,oAE(如图)，则ABCzXBED.一四边形ACDE是直角梯形.11o S梯形acde=2(a+b)(a+b)=2(a+b)2. ./ABE=180(/ABC+/EBD)=180AB=BE.人12.SAABE=2c2S梯形ACDE=Saabe+Saabc+Sabed.12121-1 -2(a+b)=2c+2ab+2ab,12.1.212即2a+ab+2b=2c+ab,a2+b2=c2两千多年来，人们对勾股定理进行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法.如果学生有兴趣，

47、鼓励他们查阅有关资料，了解勾股定理的其他证明方法.教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调.具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗？这对同学们来说也是具有一定难度的.于是师生共同来完成.已知：如图：在ABC中，AB2+AC2=BC2求证：ZXABC是直角三角形.分析：要从边的关系，推出/A=90。是不容易的，如果能借助于ABC与一个直角三角形全等，而得到/A与对应角（构造的三角形的直角）相等，可证.A G AC（

48、如图）,证明：作RtzXABC使/A=90,A屏AB,则A打AC2.（勾股定理）.AB2+AC2=BC2,A&AB,AC.BC2=Bc.BC=BC.ABCABCSSS）./A=/A=90。（全等三角形的对应角相等）.因此，ABC是直角三角形.教师用多媒体显示定理内容：定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗？通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件.这样的情况，在前面也曾遇到过.例

49、如两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到内错角相等，两直线平行又如在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边就等于斜边的一半交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。”。第三环节：议一议：活动内容：观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。活动目的：让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果；那么”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的

50、引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另

51、一个就为原命题再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题请同学们判断i每组原命题的真假逆命题呢?在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题在第三组中，原命题和逆命题都是真命题由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题第四环节：想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗？从而引导学生思考：原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗?并通

52、过具体的实例说明。如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中逆命题成为原命题(即原定理)的逆定理能举例说出我们已学过的互逆定理?如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等第五环节：随堂练习说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；(3)如果ab=0,那么a=0,b=0分析互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以如果那么”形式给出的命题，写出其逆命

53、题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题解：(1)多边形是四边形原命题是真命题，而逆命题是假命题(2)同旁内角互补，两直线平行原命题与逆命题同为正(3)如果a=0,6=0,那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题.第六环节：课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力第七环节：课后作业习题14第1、3题四、教学反思学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准，部分学生

54、尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，显然，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导。使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分地寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距。所以作为教师一定要重视这个事实，不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导.第一章证明（二）2直角三角形（二）一、学生知识状况分析学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前已经接触过，只是原来仅属于了解阶段。现在是要重新认识这个定理，并且要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题有一个较高的要求。二、教学任务分析本节课的教学目标是：1 知识目标：能够证明直角三角形全等的“HL的判定定理，进一步理解证明的必要性利用HL定理解决实际问题2能力目标： 进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 初步学会从数学的角度提出问题，