全国新高中数学联赛竞赛大纲(修订稿及全部定理内容

1、-来源网络全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1 1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求：面积和面积方法。2 2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。3 3、 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三角形内距离之积最大的点-重心。4 4、几何不等式。5 5、简单的等周问题。了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。6 6、几何中的运动

2、：反射、平移、旋转。7 7、 复数方法、向量方法。平面凸集凸包及应用。二、代数1 1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。2 2、第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。3 3、n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。4 4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。5 5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。6 6、一元 n n 次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。7 7、简单的初等数论问题

3、，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类 函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。三、立体几何I I1 1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。2 2、 正多面体，欧拉定理。3 3、体积证法。4 4、截面，会作截面、表面展开图。四、平面解析几何1 1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。2 2、 二元一次不等式表示的区域。3 3、三角形的面积公式。4 4、圆锥曲线的切线和法线。5 5、圆的幕和根轴。五、其它抽屉原理。容斤原理。极端原理。集合的划分。覆盖。数学竞赛中涉及的重要定理精心整理-来源网络1 1第二数学

4、归纳法:精心整理 有一个与自然数 n 有关的命题，如果：(1) 当 n = 1 时，命题成立；(2)假设当nWk 时命题成立，由此可推得当 n= k+1 时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数n 来说都成2 2、棣美弗定理：设复数 z=r(cos0+isin，其 n 次方乙5=5(cos(n0)+isin(n，其中 n 为正整数。3 3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设 X 为最小的解。从 X 推出一个更小的解丫。从而与 X 的最小性相矛盾。所以，方程无解4、同余：两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余，记作 a

5、= b(modm) 读作 a 同余于 b模 m，或读作 a 与 b 关于模 m 同余。比如 26= 14(mod12)【定义】设m是大于 1 的正整数，a,b 是整数，如果 m|(a-b)，则称 a 与 b 关于模 m 同余，记作 a= b(modm)读作 于b 模 m.。有如下事实：(1)若 a= 0(modm,则 m|a；(2)a = b(mod 等价于 a 与 b 分别用 m 去除，余数相同.5 5、欧几里得除法：即辗转相除法。详见高中数学课标人教B 版必修三6 6、完全剩余类：从模 n 的每个剩余类中各取一个数，得到一个由 n 个数组成的集合，叫做模 n 的一个完全剩余系。例如， 数除

6、以 4 的余数只能是 0，1, 2，3, 0，1, 2，3和4，5, -2，11是模 4 的完全剩余系。可以看出 0 和 4, 2 和-2,3 和 11 关于模 4 同余，这 4 组数分别属于 4 个剩余类。7 7、高斯函数：f(x)=ae-(x-b)A2/cA2 其中 a、b 与 c 为实数常数，且 a0.8 8、费马小定理：假如 p 是质数，且(a,p)=1，那么 aA(p-1)=L(modp)假如 p 是质数，且 a,p 互质，那么 a 的(p-1)次方除以 p 的余 等。9 9、欧拉函数：函数的值：通式： (x)=x(11/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4).(11

7、/pn),其中 p1,p2pn 为 x 的所有质因数， 为0 的整数。 (1)=1 (唯一和 1 互质的数就是 1 本身)。若 n 是质数 p 的 k 次幕， (n)=pAkpA(k-1)=(p-1)pA(k-1)，因为除了 p 的倍数外，其他数都跟 n 互质。 欧拉函数是积性函数- 若 m,n 互质， (mn)= (m) 。)特殊性质：当 n 为奇数时， (2n)= (证明于上述类似。1010、孙子定理：此定理的一般形式是设 m=m1,，mk 为两两互素的正整数，m = m1,mk, m= miMi , i = 1, 2,， 同余式组 x=b1(modm1)，x=bk(modmk 的解为 x

8、=M1M1b1+MkMkbk(modm)。式中 MiMi=1(mo i = 1, 2,，k。1111、裴蜀定理：对任何整数 a、b 和它们的最大公约数 d,关于未知数 x 和 y 的线性丢番图方程(称为裴蜀等式)：若 a,b 是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数 x,y 都一定是 d 的倍数，特别地,一定存在整数 x,y,使 ax+by=d 成立。它的一个重要推论是：a,ba,b 互质的充要条件是存在整数 x,yx,y 使 ax+by=1.ax+by=1.-来源网络-来源网络精心整理1111、梅涅劳斯定理：如果在 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上有点 D、BDBDCE A

9、FE、F 且 D、E、F 三点共线，则 DC EA * FB =11212、梅涅劳斯定理的逆定理： 如果在 ABC 的三边 BC、CA、AB 或其延长线上BDBD CECE AFAF有点 D、E、F,且满足 DC *EA *FB =1，则 D、E、F 三点共线。1313、塞瓦定理：设 0 是厶 ABC 内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于 N、P、AMAM BNBN CPCP 1 1M，贝 UMBMB NCNC PAPA1414、塞瓦定理的逆定理:设 M、N、P 分别在 ABC 的AMAM ,BN,BN .CP.CP1 1边 AB、BC、CA 上，且满足MBMB *NC*NC *PA*P

10、A=1=1，则 AN、BP、CM 相交于1818、三角形位似心定理：如图，若 ABC 与厶 DEF 位似，则通过对应点的三直线 AD、BE、CF 共点于佃、正弦定理、=旦=_=2R在厶 ABC 中有sisi nAnA sisi nBnB sisi nCnC（R ABC 外接圆半径）余弦定理：a、b、c ABC 的边，则有：2 2 2 2 2 2 2 2 2a =b +c -2bc cosA;b =a +c -2ac cosB;c =a +b -2ab cosC;2020、西姆松定理:占。八、 、1515、广勾股定理的两个推论： 推论 1:平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。推论 2：设厶

11、ABC 三边长分别为 a、b、e，对应边上中线长分别为1J2b2+2c2a21则：ma=2； mb=2.2b2亠2c2-a21jv2a2+2c2_b2丄J2a2+2b2-c2;mc=21616、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果/ 仁/2,外角平分线定理：如图，AD 是厶 ABC 中/A 的外角平分线交 BCBD _ AB则有DC - AC的延长线与仃、托勒密定理：I四边形 ABCD 是圆内接四边形，贝 U 有 AB CD+AD BC=AC BDFma、mb、meABD _AB则有DC- ACD,-来源网络精心整理点 P是厶ABC 外接圆周上任意一点，PD 丄 BC, PE 丄 AC, PF 丄 AB , D、E、