高数--曲率教学文案

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂高数-曲率山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds. 因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD21 y dxyds21 202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxxDDDDDDDDDD或者 22)(d)(ddyxs弧微分公式 设x xDx为(a

2、b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量MM 1SD D2SD DNN D D)弯曲程度越大转角越大弯曲程度越大转角越大转角相同弧段短的弯曲大转角相同弧段短的弯曲大1 1、曲率的定义、曲率的定义1M3M)2 D D2M2SD D1SD D1 D D)二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自

3、点 M 开始取弧段, 其长为,sD对应切线,D定义弧段 上的平均曲率sDsKDD点 M 处的曲率sKsDDD0limsdd注注: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,DDRssKsDDD0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .DsDRMMD山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sK

4、dd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 注:参数方程下曲率的计算23)1(2yyK 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例2 计算等边双曲线xy1在点(1, 1)处的曲率.曲线在点(1 1)处的曲率为因此y|x11 y|x12解解 由xy1 得 21xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221解 21xy 32

5、xy 232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221232)1 (|yyK 232) 1(1 (22221 23)1(2yyK 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例3 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a| 232)2(1 |2|baxaK 曲率最大时 xab2 对应的点为抛物线的顶点 23)1(2yyK 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例4. 求椭圆tbytaxsincos)20(t在t=0处的曲率.解解:故曲率为 ba2

6、3)cossin(2222tbta;sinta;costbtacostbsin)(t)(t)(t )(t 2322)()()()()()(ttttttK 在t=0处,即在点(a,0)的曲率为2baK 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径TyxoR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线

7、,的凹向一侧法线上取点 D 使D山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.11,.RkkR即注注: 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例5 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得232)1 (|yyK 08 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂内容小结内容小结1. 弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2. 曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率半径KR1yy 23)1 (2山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 作业：作业