高中数学3.2.3用空间向量求空间角教学设计新人教A版选修2_1

1、3.2.3 立体几何中的向量方法空间“角”问题（后附学案）一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算 . 空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。二、 学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、 证、 算”三部分组成， 学生

2、对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。三、教学目标知识基础：空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。认知目标：掌握利用空间向量求空间角（两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角）的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。能力目标：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从 “定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。情感目标：激发学生

3、的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情 .教学重点：1 ）向量法求空间角的方法和公式；2 ）空间角与向量夹角的区别和联系。教学难点：1） 两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别；2） 构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.关 键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标, 将几何问题转化为代数问题 .四、教学方法：启发式讲解互动式讨论 研究式探索反馈式评价五、教学手段：借助多媒体辅助教学六、教学过程教师教学活动学生参与活动设计意图教师提出问题：提问学生，学生一作出回答。复习空间1、异向直

4、线所成的角、线囿角、二囿角的角概念及范围分别是什么？两条异面直线所成的角(线线求法以及2、两向量夹角的范围是什么？角)，直线和平囿所成的角(线新学的空3、向重的后夫知识囿角)及二囿角的平囿角(向向间向量知(1)两向量数量积的定义角)。识，为新(2)两向量夹角公式(3)什么是直线的方向向量？什么是分三步：作一一证一一求课做准备平囿的法向量？(4)如何用直线的方向向量和平囿的法向量证明线面间的平行与垂直？教师给出引例：1、学生说方法以简单的如图所示，四边形ABCD是边练习题回长为6的正方形，SA_L平闻2、方法归纳：求空间角的主要顾空间角ABCD, SA=8,M是SA的中点，方法是通过平移转化法作

5、出所的三种类成角，然后利用三角形边角关系型，在解过M和BC的平曲父SD于N.求解题方法上注重引导学生并通过问题让c<-学生对所求二囿角 M-BC-D的平囿角的止切值；用知识有(2)求CN与平囿ABC的成角的止切值；较为详细(3)求CN BD所成角的余弦值；的回顾，(4)求平囿SBC与SDC所成角的止弦值基于时间 的问题板 演省略提出问题：如何用空间向量来求解空间 角？1、线线角多媒体演7K两异向直线夹角与向量夹角的 区别和联系，教师板书用向量求线线角结论通过讨 论、分析cD总结得出 用空间向量求线线 角方法，得出结论：分别在直线 AR CD上取定向同时强调14量a,b,则异面直线AR C

6、D所成的角8等于向量a,b所成的角或其补角如图，则cos= |a b| |a| |b|0-7T-a , $：， A a漏|例1、如图所示的正方体中，已知Fi与Ei为四等分点，求异面直线教师提问学生回答例 1,可以用 两种办法，传统法和向量法 引导学生悟出用向量求线线角 的方法步骤两者之间 的区别和 联系，培 养学生严 谨的学习 习惯。DF与BB的夹角余弦值?陪一岗利用向量索舁面直线所成的而的市事为:（1序定空间苒条直线的方向向量;1工读两个向篁爽的的余比悠。曲定线战时5向形国贼系；寸向趺角/触眩即为两鹃的趟：当向趺带照角址殖鳏耕为而练习二联角福卜角.讲练结合 使得知识 能够及时 巩固并找 到方

7、法规 律，同时 通过练习 题熟悉线 线角的空 间向量 法，这样 的设计符 合学生的 认知规律此血中/8=好现正MGB普平西解法向基早移到MAC他1己如K-CJ二CC取4/4C曲中热卜R,釉°与肝而或曲有的余侬抵学生练习（回答）G4B2、线面角多媒体演示线面夹角夹角与向量夹角的区别和联系，教师引导，学生类比用向量求线 线角的研究方法，通过独立探 索、讨论得出结论明确直 线方向向 量与平面 法向量所 成角与线 面角的关例2、如图，在正方体 ABCD-ABiCD 中, 求AiB与平面AiBCD所成的角练习：在长方体上0-举也4=6&=4 M =6, M为监上的一届班M=I点帏线图p

8、h 察二i剌眄平前VM所成的蒯用值，以二面角的横上隹意一盘为墙点,在 啊个曲内分别祚皆宜于I的两条射绫，述 两条忖线所成的角叫做二面角的平面角.二面用的平面用婚翔满足：1）角的便点心救上，jpX2）岛的两城京剧4卦华曲内 i f商的曲舞Z JL于二赤扃种餐范围:0,4系学生回答例题方法（两种）通过教教师板演例题的向量法师的板书使学生对学生练习，求出答案，点评对证明、求错解题的过程书写后It-S|个很规范可用向量该求饿与¥面所思担的步骤为：的标准，目的使学切曲定饿的方向谴那平正的法向量；生既要会。球两个向量光的的交弦值：做又要/、同丽定城面角与向量先用的美晶向量夹括为爬的失分。时1域面

9、由与通力夹常互热向量夹用为钝明由樊面明讲练结等于武袂角耻期.合让学生自己动手分桐可题解决问题更能激发学生学习的兴趣。有助于学生对知识的掌握观察、分析、理解用向量求一面角的方法和依据通过数形结合，分类讨论分析使学生掌握用法向量求二面角时例工已知正方体48CD -4/山的边长为2,。为川口跳）的交点，M为m的中点（1）求证+直线6Q一面延4 （；（2）求二面角47 C的余弦值.不要忽 略对二面 角大小的 判断学生思考后回答：通过此学生写出过程，实物投影展示题主要是培养学生灵活运用t-ll所学知识nw解题能力口例Q小回同由£的迁移COMM通过学口网更二部二4*曲青“也出根.生讨论，提问增加

10、了师生间的交流使这堂课变得生动活泼并使学生充分掌握化归和转化的思想课时小结小结：1异面直线所成角：COS0 坪os：CD, AB >2.直线与平面所成角： sinO |Cos<n，AB>|3二面角：.tcosB= |cos0q 才 cosO=TcosCi% n2 >关键：观察二面角的范围C' DATDa 、b八山0T-P培养学 生回顾、 总结的能 力和意 识，彻底 完成今天 的教学目 标学生回答总结:七、作业：课后强化训练八、教学过程设计说明1、这是一节用空间向量求解空间角的专题课，基于学生对空间角的概念和基本的求解方法有一定的基础，所以本节课先从空间各种角的概

11、念、相关图形及取值范围进行复习，再通过一个相对比较综合的题目对普通方法求所有的空间角巩固一下，为新课做好准备。2、整个教学过程采用循序渐进的原则，使学生能更好地掌握所学知识。3、教学过程中充分体现学生的主体作用，激发学生的学习兴趣，以达到良好的教学效果。九、板书设计课题利用向量解决空间角问题一、线线角公式例题2引例多媒体投影二、线面角公式三、二面角公式3.2.3立体几何中的向量方法空间“角”问题课程标准能用向量方法解决线线、 线面、面面的夹角的计算问题， 体会向量方法在研究几何问题 中的作用学习目标1、使学生学会求异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方

12、法解决一些简单的立体几何问题3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高学习重点线线、线面、囿囿角的定义、范围及向量解法学习难点利用向量求解空间角的大小导学设计一、复习回顾1、异面直线所成的角、线面角、二面角的范围分别是什么？2、两向量夹角的范围是什么？3、向重的后关知识(1)两向量数量积的定义(2)两向量夹角公式(3)什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？(4)如何用直线的方向向量和平面的法向量证明线面间的平行与垂直？二、新知探究探究一线线角定义：范围:CD思考：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？ 设直线AR CD的方向向量分别为 a、b例2、 如图所示的止方体中，已知F1与

13、DF与BE的夹角余弦值？Ei为四等分点，求异面直线笛一法利用向量求异面直线所练习二成的角的步骤为:(1)(2)(3)RtLABC, =现将二NBC沿着平跳3国?去向量平移到AJ4G位置，Bto BC = CA=CC取4H广4G的中点。广尸L，求3乌与冒巴所成的角的余弦值.探究二线面角定义：范围：例2、如图，在正方体 ABCD-AB1GD 中，求 A1B与 平面AB1CD所成的角思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？设直线AB的方向向量分别为a,平面值的法向量为n悟1法利用向量法求直线与平 面所成角的步骤为：(1)练习：在长方体44GR中，力5 = 6”力。=8, .44 =6, Af为40上

14、的一点，且用” =2,点N在线段4。上, &N = 5,求与平面所成的角的正弦值.探究三面面角(二面角)定义：范围：(3)思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢?设两平面的法向量分别为 m、n2a例3.已知正方体口 -月Q朋边长为 。为WC和6。的交点1/为的中点(I )求证：直线用C 1面M4G(2)求一面角塔M4 c的余弦值.如图，已知：直角梯形ORBC中，OA/7BC, NAOC=90 SOljEjOABC,且DS=OC=BC=1, OA=ln 求：异面直线8A和OB所成的角的余弦值，OS与面SAB所成角a的正弦值，二面角BAS 0的余弦值，,1 ) 产r'-丁厂L回值;

15、利用向量法求直线与平 面所成角的步骤为：(1)(2)(3)三、课堂小结1、线线角2、线面角3、面面角解题技巧都掌握了吗?快快记下来吧！四、当堂检测1 .直三棱柱 ABC ABC中，/ ACB= 90° , D, E分别为 AB, A1C的中点，若BC= CA CC,则BD与AE所成角的余弦值为 （）A.1 B.曙CT鹿2,已知长方体 ABCD-ABCD中，AB= BC= 4, CC= 2,则直线BC和平面 DBED 所成角的正弦值为（）A史Bq C讨DA. 2B. 2C.5D. 104 .已知正三棱柱 ABC- ABC的底面边长为 a,侧棱长为42a,则AC与侧面ABBAi 所成的角

16、的正弦值为.5 .如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A B,线段AC, BD分别在这个二面角的两个面内， 并且都垂直于棱 AB AB= 4cm, AC= 6cm, BD= 8cm, CD= 2g7 cm,则这个二面角的度数为 .6 .如图，在直三棱柱 ABC- ABC 中，AB= 1, AC= AA = <3, Z ABC= 60 (1)证明：AB! AiC;作业：P58 2 、3 +课后强化练习精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨

17、不变色的清白。2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获 . 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声， 花落知多少”的恬淡。 幸福是 “零落成泥碾作尘， 只有香如故”的圣洁。 幸福是 “壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是 “先天下之忧而忧， 后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中， 我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了

18、春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐