广西南宁市江南区江西中学人教A版数学选修2-2教案：1.5.2汽车行驶的路程(一)

1、课题：汽车行驶的路程课时：17课型：新授课【教学目标】：1 .体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2 .感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。3 .了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；【教学重点】：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）教教学难点：过程的理解.【教学过程】：1 .连续函数的概念；2 .求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题.反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？三、交流点拨问题引入：汽车以速度v组匀速直线

2、运动时，经过时间t所行驶的路程为S=vt.如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v（t）=-t2+2（单位：km/h）,那么它在0wtwi（单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题.把区间0,1分成n个小区间，在每个小区间上，由于v（t）的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值.（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思

3、想方法求出匀变速直线运动的路程）.1 .分割在时间区间0,1上等间隔地插入n-1个点，将区间0,1等分成n个小区间:"1，上,1_n_nn.n记第i个区间为J1,11（i=1,2,川，n）,其长度为,nni-11把汽车在时间段0I1-L,12z11上行驶的路程分另ij记作:一n_nn_nG,g,，恪n显然，S=xSii12 .近似代替当n很大，即担很小时，在区间上1上，可以认为函数v(t尸-12+2的值变化ILnni-1一一一，一很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点一1处的函数值n_V,7 (i=1,2H,n)，上11=_'t1i十2,从物理意义上看，即使汽车

4、在时间段,n.n上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻上1处的速度丫'匚11=匕11+2作匀速n.n.n直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积AS；近似的彳t替即在局部范围内“以直代取”，则有g口快，口2+2乜=_口触+2(i=1,2,，n)In)In/_nln/nn3 .求和由，Sn=£ASi'=Wv.iU&=£L'is1l+l13 n1 n T n 2n T3 n12+22+111 +(n-1)21母imlnjiTln/nn21122 3n,2n111从而得到S的近似值SSn=11-+23 .n.2n4.取极限

5、,、.,111，一当n趋向于无穷大时，即N趋向于0时，Sn=,11+2趋向于S,从3.n.2n血有S=limSn=lim/1j/H=lim卜1111+2、5nfnfi4nInJ5131n人2n)3思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线t=0,t=1,v=0和曲线v=-t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程S=limSn在数据上等于由直线t=0,t=1,v=0n.和曲线v=-t2+2所围成的曲边梯形的面积.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t),那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”

6、的方法及无限逼近的思想，求出它在a<t<b内所作的位移S.四、拓展建构例1.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所作的功.分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所作的功为W=F，x.(1)分割在区间0,b上等间隔地插入n-1个点，将区间0,1等分成n个小区间：3,小1n！nnnn3个区间为，T，M(i=1, 2,|l|,n)，其长度为ibi-1bb-x=二一nnncbb2bn-1b把在分段0,b1,产，巴，I-,b上所作的功分别记作：n)nnnn四，Wl2,，&Wn(2)近似代替有条件知：W/-=FAx=k-(i=1,2，川，n)(3)求和nnWncWieki1i1kb22kb2nn-1012HIn-1="-n2kb,1一1-kb21从而得到W的近似值W：.Wn=kb-1-1n2n(4)取极限nkb21kb2W=1而四=lim%.W=lim1-n:二n:i4n,2n2一_,一一-、一._,kb2所以得到