2020-2021武汉备战中考数学圆的综合综合题

1、2020-2021武汉备战中考数学圆的综合综合题一、圆的综合1 .如图，已知 4ABC中，AC=BC以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG，AC于 G,交BC的延长线于F.(1)求证：AE=BE(2)求证：FE是。的切线；(3)若FE=4, FC=2,求。的半径及 CG的长.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) 5.【解析】(1)证明：连接CE,如图1所示：BC是直径，/ BEG90 ；CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示： BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位线， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FE

2、I OE,，FE是。的切线.(3)解：.EF是。的切线，FE?=FC?FB.设 FC=x,贝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=82=6, . OB=OC=3,即。的半径为 3;.OE=3.CG 2 I632 十 ,解得：CG=J .OE/. CS CG FCOEFO点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾 股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.2.如图，AB是半圆的直径，过圆心 。作AB的垂线，与弦 AC的延长线交于点 D,点E在OD 上 DCE B .(1)求证：CE是半圆的切线；2(2)右CD=!0 , tan B

3、求半圆的半径.3【答案】（1）见解析；（2） 4 A【解析】 分析：（1）连接CO,由 DCE B且OC=OB导 DCE OCB ,利用同角的余角相等判断出/BCO+/ BCE=90,即可得出结论；（2）设AC=2x,由根据题目条件用 x分别表示出OA、AD、AB,通过证明AODACB, 列出等式即可.详解：（1）证明：如图，连接 CO.AB是半圆的直径,/ ACB=90 :/ DCB=180 -Z ACB=90 :d D DCE+Z BCE=90. .OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 : OCX CE OC是半径， .CE是半圆

4、的切线.(2)解：设 AC=2x,AC 21 .在 RtACB中，tanB BC 3BC=3x.AB - 2x 2 3x 2、13x .2 .ODXAB,/ AOD=ZACB=90./ A=Z A,3 .AODAACBlAC AO13x2AD=2x+10,AB AD1 OA - AB2n 1 13X2x 2 .j3x 2x 10解得x=8.4 OA -13 8 4 ,13 . 2则半圆的半径为4. 13.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形3.图1和图2,半圆O的直径AB=2,点P （不与点A, B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点 A,。的对称点A； O,设

5、/ABP=a.（1）当a =15时，过点A作A 0/AB,如图1,判断A西半圆O的位置关系，并说明理由.（2）如图2,当“一时；BA与半圆O相切.当M“一时，。点。落在中”上.（3）当线段BO与半圆。只有一个公共点 B时，求a的取值范围.【答案】（1）A右半圆。相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0a 30。或45。j0,由(2)可知当a增大到30。时，点O在半圆上，. 当0V a 30时点O在半圆内，线段 BO与半圆只有一个公共点B;B.当“增大到45。时BA与半圆相切，即线段 BO与半圆只有一个公共点当a继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但是点P, B不重合， a 90 :当45 VB

6、0线段BO与半圆只有一个公共点B.综上所述 0 a30或 45 Wq90.考点：圆的综合题.4.如图，AB为。的直径，点E在。上，过点E的切线与AB的延长线交于点 D,连接BE,过点。作BE的平行线，交。于点F,交切线于点 C,连接AC(1)求证：AC是。的切线；(2)连接EF,当/D= 。时，四边形FOBE是菱形.【答案】(1)见解析；(2) 30.【分析】(1)由等角的转换证明出OCA二OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。的切线.(2)根据四边形FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形，而得出BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案【详解】(1)证明：.

7、CD与。相切于点E,OE CD , CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB,OEB OBE , COE COA,X / OC=OC OA=OE OCA0 OCE(SA0 ,CAO CEO 90 ,又AB为OO的直径，.AC为。O的切线；(2)解：二四边形FOBE是菱形， .OF=OB=BF=EF.OE=OB=BEOBE为等边三角形,BOE 60 ,而OE CD, D 30 .故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir5.如图，4ABC 内接于。O,弦 ADLBC 垂足为 H, / A

8、BC= 2 Z CAD.（1）如图1,求证：AB= BC;（2）如图2,过点B作BMLCD垂足为 M, BM交。于E连接 AE、HM ,求证：AE/ HM;（3）如图3,在（2）的条件下，连接 BD交AE于N, AE与BC交于点F,若NH=275 , AD= 11,求线段 AB的长.国 1%即）WB32）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AB的长为10. 【解析】分析：（1）根据题意，设/CAD=a,然后根据直角三角形的两锐角互余的关系，推导出 /BAC=/ ACB,再根据等角对等边得证结论；（2）延长AD、BM交于点N,连接ED根据圆周角定理得出 ZN=ZDEN=Z BAN

9、,进而根据 等角对等边，得到 DE=DN,BA=BN再根据等腰三角形和直角三角形的性质，求得MH / AE；（3）连接CE,根据（2）的结论，由三角形全等的判定与性质证得HF=HQ然后结合勾股定理求出AG2-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=g最后根据锐角三角函数的性质得到AB.详解：（1）证明：设/CAD=a,贝U / ABC=2a/ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90-2a+a=90 -a / BAC=Z ACBJ AB=BC证明：延长 AD、BM交于点N,连接ED. / DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z

10、DEN=Z BAN，DE=DN,BA=BN又 ; BHAN,DMENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)连接CE./ BDA=Z BCA,/ BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD EF. AFNBAENB,同理可证 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NE . NH / EC,EC=2NH NH=2而，EC=4V5/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可证弧 AC或 EC,.AC=EC=4.5设 HD=x, AH=11-x,

11、/ ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG可证 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CD2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x227xi=3,x2=(舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2又AHBHCHDHtan2a,.-. BH=6 .-.AB=, bm2 AH2、,62 8210点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性 质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键6.如图，在 RtAAB, /ABC=90, AB=CB,以AB

12、为直径的。交AC于点D,点E是 AB边上一点（点 E不与点A B重合），DE的延长线交。于点G, DF，DG,且交BC于 点F.(1)求证：AE=BF；(2)连接 EF,求证：/FEB=Z GDA;分析：（1）连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形，求出 / A与/C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到/ADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=- AC,进而确定出Z A=Z FBD,再利用同角的2余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF, BG,由

13、三角形 AED与三角形BFD全等，得到ED=FD,进而得到三角形 DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利 用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结 论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据 三角形的面积公式计算即可.详解：（1）连接 BD,在 RtABC 中，ZABC=90, AB=BC, . . /

14、 A=/C=45. AB为圆。的直径，Z ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC=BD=1 AC, /CBD=/C=45 ,2/ A=/ FBD.DF DG,Z FDG=90 , ZFDB+Z BDG=90 .A FBD./EDA+/ BDG=90,/ EDA=/FDB.在 AED 和 BFD 中，AD BD ,EDA FDB .AEDABFD (ASA) , . AE=BF;(2)连接 EF, BG. AAECABFD, . DE=DF. ZEDF=90,. AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45. /G=/A=45： ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / FEB=

15、/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA;(3) AE=BF, AE=2,，BF=2.在 RtA EBF 中，Z EBF=90 ,，根据勾股定理得： EF2=EB2+BF2.EB=4, BF=2,EF=/42 22 =275. ADEF为等腰直角三角形，Z EDF=90,cosZ DEF=-DE- -EF,. EF=2褥，DE=2V5 X1 = 710 .GE EB./G=/A, ZGEB=ZAED, GEB AED, .=，即 GE?ED=AE?EB,AE EDT0?GE=8,即 GE=4后,则 GD=GE+ED=9/10 . 55S GD DF 1 GD DE 1 9-10- .

16、10 1 9 .2252点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定 与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答 本题的关键.7.如图，已知平行四边形 OABC的三个顶点 A、B C在以O为圆心的半圆上，过点CD AB,分另1J交AB、AO的延长线于点 D、E, AE交半圆O于点F,连接CF.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)若半圆O的半径为6,求Ac的长.D【答案】（1）直线CE与半圆。相切（2） 4【解析】试题分析：（1）结论：DE是。的切线.首先证明 aABO, BCO都是等边三角形，再 证明四边

17、形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）只要证明OCF是等边三角形即可解决问题，求AC即可解决问题.试题解析：（1）直线CE与半圆O相切，理由如下： 四边形OABC是平行四边形，AB II OC. / D=90 ；/ OCE=Z D=90 ；即 OCX DE, 直线CE与半圆O相切.(2)由(1)可知：/COF=60, OC=OE .OCF是等边三角形， ./AOC=120 - Ac的长为1201806二4 兀.8.如图，A是以BC为直径的。上一点，AD BC于点D,过点B作。的切线，与 CA 的延长线相交于点 E, G是AD的中点，连结 CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的 延长线相交

18、于点 P.（1）求证：BF二EF：（2）求证：PA是。的切线；（3）若FG=BF,且。的半径长为3J2,求BD的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 2J2【解析】分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到/FAO=/EBQ结合BE是圆的切线，得到P OA,从而得到PA是圆。的切线；BD(3)点F作Fhl AD于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出 的长度.详解：证明：(1).BC是圆O的直径，BE是圆O的切线， EBL

19、BC又 ; AD BC, .AD/ BE.BFCADGQ AFECAGAC,BF CF EF CFDG -CG ? AG-CG ?BF EF 二 ，DG AG G是AD的中点，DG=AG,BF=EF;(2)连接 AO, AB. BC是圆O的直径， / BAO90 ；由(1)得：在RtBAE中，F是斜边BE的中点, .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又 OA=OB,/ ABO=Z BAO,. BE是圆O的切线，/ EBO=90 ； / FBA+ZABO=90 ； / FA9/ BAO=90 ；即 / FAO=90, PAX OA, .PA是圆O的切线；(3)过点F作FHIAD于点H

20、,A FH/ BC,由(2),知 Z FBAfZ BAF, BF=AF. BF=FG,.AF=FG,.AFG是等腰三角形.FHXAD,.AH=GH, DG=AG, DG=2HG.即怛1DG 2 . FH/BD, BF/ AD, Z FBD=90 ；四边形BDHF是矩形,.BD=FH,1. FH/ BC.HFGADCQFHHG ICDDG2Rn BD 1即CD 2 .0的半径长为3J5, . BC=6 ).BD=-BC = 2 % 2 .3.结合已点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质 知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键19 .如图1,延长

21、。的直径AB至点C,使得BC=AB,点P是。上半部分的一个动点2(点P不与A、B重合)，连结 OP, CP.(1) /C的最大度数为;(2)当。的半径为3时，4OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值;若没有，请说明理由；(3)如图2,延长PO交。于点D,连结DB,当CP=DB时，求证：CP是。的切线.图1图？【答案】(1) 30。； (2)有最大值为9,理由见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)当PC与。相切时，/OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；(2)由4OPC的边OC是定值，得到当 OC边上的高为最大值时，4OPC的面积最大，当P0 OC时，取得最大值，即

22、此时 OC边上的高最大，于是得到结论；(3)根据全等三角形的性质得到AP=DB,根据等腰三角形的性质得到 /A=/C,得到CO=OB+OB=AB推出AP4CPQ根据全等三角形的性质得到 / CPO=/ APB,根据圆周 角定理得到/APB=90,即可得到结论.试题解析：(1)当PC与。相切时，/OCP最大.如图1,所示：sin Z OCP= = = ,/ OCP=30OC 4 2 / OCP的最大度数为 30 ,故答案为：30;(2)有最大值，理由： OPC的边OC是定值，当OC边上的高为最大值时， OPC的面积最大，而点P在OO上半圆上运动，当 POXOC时，取得最大值，即此时 OC边上的高

23、最大，也就是高为半径长，最大值SaOPC=-OC?OP=1 X 6x 3=9 22(3)连结AP, BP,如图2,OA OD在AOAP与OBD中,AOP BOD , .OAPOBD,，AP=DBOP OB PC=DB,，AP=PC PA=PC/ A=Z C,.BC=1AB=OB,2 .CO=OB+OB=ABAP CP在 AAPB 和 ACPO 中，A C,AAPBACPO, / CPO=/ APB,AB CO,. AB 为直径，/ APB=90 , / CPO=90 ,PC切。O于点P,即CP是。的切线.图L置210.已知：如图1, /ACG=90。，AC=2,点B为CG边上的一个动点，连接

24、AB,将4ACB沿AB边所在的直线翻折得到 ADB,过点D作DFL CG于点F.(1)当BC=23时，判断直线FD与以AB为直径的。的位置关系，并加以证明； 3(2)如图2,点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的。O交于D、H两点，连接AH,当/CAB=/ BAD=Z DAH时，求 BC的长.【答案】(1)直线FD与以AB为直径的。相切，理由见解析；(2) 2J2 2 .【解析】试题分析：(1)根据已知及切线的判定证明得，直线 FD与以AB为直径的。相切;(2)根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长.试题解析：(1)判断：直线 FD与以AB为直径的。相切.

25、证明：如图，作以AB为直径的OO; ADB是将 ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，.ADBAACB,/ ADB=Z ACB=90 ,.O为AB的中点，连接 DO, .OD=OB= AB,.点D在。O上.在 RtA ACB 中,BC聋!, AC=2;tan Z CAB= ,AC 3 / CAB=Z BAD=30 ,/ ABC=Z ABD=60 ,.BOD是等边三角形./ BOD=60 :/ ABC=Z BOD,.FC/ DO.DFXCGJ,/ ODF=Z BFD=90 ； ODXFD, .FD为。O的切线.(2)延长AD交CG于点E,同(1)中的方法，可证点 C在。O上; 四边形ADBC是圆内

26、接四边形./ FBD=Z 1 + /2.同理 ZFDB=Z2+Z 3. / 1 = 7 2=73,/ FBD=Z FDB,又/ DFB=90 .EC=AC=2设 BC=x,则 BD=BC=x / EDB=90 ； .EB=v ?x. EB+BC=ECx+x=2,解得 x=22-2, .BC=2、/2- 2.11. (1)问题背景如图，BC是。的直径，点 A在。O上，AB=AC, P为BmC上一动点(不与 B, C重合),求证： 2 PA=PB+PC小明同学观察到图中自点 A出发有三条线段 AB, AP, AC,且AB=AQ这就为旋转作了铺垫.于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将APAC绕着

27、点A顺时针旋转90至4QAB (如图)；第二步：证明Q, B, P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.(2)类比迁移如图，。的半径为3,点A, B在。上，C为。内一点，AB=AC, AB AC,垂足为 A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如图，。的半径为3,点A, B在。上，C为。内一点，AB=- AC, ABXAC,垂足为A,则OC的最小值为【答案】（1）证明见解析；（2） OC最小值是3g-3； （3）-【解析】试题分析：（1）将PAC绕着点A顺时针旋转90。至4QAB （如图），只要证明4APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图中，连接 OA,将4OA

28、C绕点O顺时针旋转90AQAB,连接OB, OQ,在 BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图构造相似三角形即可解决问题.作AQXOA,使得AQ=4OA,连接OQ,3BQ, OB.由QABsOAC,推出 BQ=4OC,当 BQ最小时，OC最小；3试题解析：（1）将APAC绕着点A顺时针旋转90至4QAB （如图）；能 BC是直径，/ BAC=90 ； AB=AC,/ ACB=/ ABC=45 ,由旋转可得 / QBA=Z PCA, / ACB=Z APB=45 , PC=QB . /PCA+/ PBA=180 , / QBA+/PBA=180 , . Q, B, P三点共线， / Q

29、AB+Z BAP=Z BAP+Z PAC=90QP2=AP2+AQ2=2AP2, .QP= , 2 AP=QB+BP=PC+PB 2 AP=PC+PB(2)如图中，连接 OA,将4OAC绕点A顺时针旋转90AQAB,连接OB, OQ,图 .ABIAC/. / BAC=90 , 由旋转可得QB=OC, AQ=OA, / QAB=Z OAC,/ QAB+Z BAO=Z BAO+Z OAC=90 ,在 RtOAQ 中，OQ=3T2, AO=3, .在 4OQB 中，BO OQ- OB=3& - 3 ,即OC最小彳t是372 -3；(3)如图中，作AQOA,使得AQ=4oA,连接OQ, BQ, OB.

30、3圄 / QAO=/ BAC=90 , / QAB=/ OAC, QA AB =4 ，OA AC 34 QABsOAC,BQ=-OC,3当 BQ最小时，OC最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BOOQ- OB, .,.002,.BQ的最小值为2,1- OC的最小值为- X 2=-,42.3故答案为3.2【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.12.如图，PA切。于点A,射线PC交。于C、B两点，半径 ODLBC于E,连接BHDC和OA, DA交BP于点F;(1)求证：/ ADC+-Z CBD= - / AOD-2(2)在不添加任何辅助线的

31、情况下，请直接写出图中相等的线段.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【解析】【分析】1根据垂径定理得到 bd cd ,根据等腰三角形的性质得到1 oo 1ODA 180 AOD 90 AOD ，即可得到结论；2 22根据垂径定理得到 BE CE , BD CD，根据等腰三角形的性质得到ADO OAD ,根据切线的性质得到PAO 900,求得 OAD DAP 900,推出 PAF PFA ,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论. 【详解】1 证明：QOD BC, n n BD CD， CBD DCB, Q DFE EDF 900, EDF 90o DFE ，QOD OA, 11ODA 18

32、0o AOD 90o AOD , 2200 190 DFE 90 AOD ,2 1-DEF AOD, 2Q DFE ADC DCB ADC CBD , _1 分ADCCBD AOD ；22 解：QOD BC,BE CE，BD CD，BD CD , QOA OD , ADO OAD, Q PA切e O于点A,PAO 900,OAD DAP 900, Q PFA DFE ,PFA ADO 900,PAF PFA, PA PF . 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别 图形是解题的关键.13.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1

33、,当AB为直径，求证： OBC ACD ;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.【答案】(1)见解析；(八 一 -142)成立.；(3(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；CG(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、

34、AK,在AD上取DG=BD,延长交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出a即可. 【详解】(1)证明：.AB为直径,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;1OBC - 18021BOC 1802 A 90 A ,2(2)成立，ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFEDFA ,BCDBAH , 根据圆周角定理得

35、：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形内角和定理得：CHE CFE,. CH CF, EH EF,同理DF DK ,DE 3, HK 2DE 6 ,6,在AD上取DG BD ,延长CG交AK于M,则AG AD BD 2DE BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90 ,延长KO交。O于N,连接CN、AN,则 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG , 四边形CGAN是平行四边形，AG CN 6,作OT CK于T, 则T为CK的中点， .O为KN的中点，1. OT CN 3, 2OTC 90 , OC 5, 由勾股定理得：CT

36、 4,CK 2CT 8,作直径HS,连接KS,HK 6, HS 10, 由勾股定理得：KS 8, tan HSK - tan HAK , 41，tan EAB tan BCD , 3设 BD a, CD 3a,1. AD BD 2ED a 6, DK -AD 3. CD DK CK ,八r9解得：a 9,DK135CF CK 2DKc 26148 本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识 点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.14.如图，AB是e O的直径，DF切e O于点D, BF DF于F ,过点A作AC /BF 交BD的延长线于点C.(1)求证：ABC C;(2)设CA的延长线交e O于E, BF交e O于G ,若DG的度数等于60,试简要说明 点D和点E关于直线AB对称的理由.【分析】(1)作辅助线，连接 OD,由DF为。的切线，可得 OD，DF,又BF DF, AC/