高中数学知识点总结大全(最新版复习资料)

1、WORD格式高中数学知识点总结专业资料整理WORD格式引言1. 课程内容：必修课程 由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与根本初等函数指、对、幂函数必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：根本初等函数三角函数 、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学根底知识和根本技能的主要局部，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、 平面解析几何初步等。 不同的是在保证打好根底的同时，进一步强调了这些知识的发生、开展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过

2、高的要求。此外，根底内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程 有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩大与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩大与复数选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息平安与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 3

3、6：三等分角与数域扩大。系列 4：由 10 个专题组成。选修 41：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。专业资料整理WORD格式第-2-页共102页专业资料整理WORD格式选修 44：坐标系与参数方程。选修 45：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410 ：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点： 函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑 :集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与

4、定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用直线、平面、简单几何体：空间直

5、线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、导数的应用复数：复数的概念与运算专业资料整理WORD格式第-3-页共102页专业资料整理WORD格式高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念 1.1 集合【 1.1.1 】集合的含义与表示 1集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. 2常用数集及其记法N 表示自然数集， N或 N 表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集. 3集合与元素间的关系对象 a 与集合M的关系是 aM

6、，或者 aM ，两者必居其一.（ 4集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： x | x具有的性质 ，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集().【 1.1.2 】集合间的根本关系专业资料整理WORD格式 6子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图专业资料整理WORD格式AB或子集BA)AB真子集或BA 集合AB相等A 中的任一元素都属于 BA B，且B中至少有一元素不属于AA 中的任

7、一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)A A(2)AA(B)BA(3)假设AB 且 BC，那么 AC或(4)假设AB 且 BA，那么 AB 1A A为非空子集(2)假设AB 且 BC，那么ACBA(1)ABA(B)(2)BA专业资料整理WORD格式 7集合A 有 n(n1) 个元素， 那么它有 2n个子集， 它有 2n1个真子集， 它有 2n1 个非空子集， 它有 2n2非空真子集 .【 1.1.3 】集合的根本运算专业资料整理WORD格式 8交集、并集、补集名称记号意义 x | x 1AA,且交集B 2 3xB性质示意图AAAAABABAABB专业资料整理WORD格式第-4-页共

8、102页专业资料整理WORD格式 x | x1AAAA,或AA B2A并集3ABAxBBBAAB专业资料整理WORD格式 x | x U , 且x A痧U(A B) (U A) ("U B)1A(eU A)补集 e AU痧U(A B) (UUA) (" B)2AUU(e A)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 1含绝对值的不等式的解法不等式解集| x |a( a0) x |axa| x |a( a0)x | xa 或 xa把 axb 看 成一 个 整 体 ， 化 成| x |a ，| axb |c,| axb |c(c0)| x |a(a0) 型不等式来求解

9、（ 2一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象O一元二次方程bb24acax2bxc0(a0)x1,22ax1 x2b无实根2a其中 x1 x2 )的根ax2bxc0(a0) x | xx1或xx2 x | xb R的解集2aax2bxc0(a0) x | x1xx2的解集 1.2 函数及其表示【 1.2.1 】函数的概念 1函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数f ( x) 和它对应， 那么这样的对应 包括集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法那么f 叫做集合

10、A 到专业资料整理WORD格式第-5-页共102页专业资料整理WORD格式B 的一个函数，记作f : AB 函数的三要素: 定义域、值域和对应法那么只有定义域一样，且对应法那么也一样的两个函数才是同一函数 2区间的概念及表示法设 a,b 是两个实数，且ab ，满足 a xb 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 a,b ；满足a x b的实数 x 的集合叫做开区间，记做(a, b) ；满足a x b ，或 a xb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做，(a, b； 满 足x的 实b数x的集合分别记做a b, )a, x , a x , b x a ,) a, (,) b, (,b注意：

11、 对于集合 x | axb与区间 ( a,b) ，前者a可以大于或等于b ，而后者必须ab ，前者可以不成立，为空集；而后者必须成立（ 3求函数的定义域时，一般遵循以下原那么： f ( x) 是整式时，定义域是全体实数 f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 ytan x 中， xk(kZ ) 2零负指数幂的底数不能为零假设 f ( x) 是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域

12、的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：假设f ( x) 的定义域为 a, b ，其复合函数f g( x) 的定义域应由不等式 ag(x)b 解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进展分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（ 4求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是一样的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小大数，这个数就是函数的最小大值因此求函数的最值与值域，其实质是一样的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法： 将函

13、数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和， 然后根据变量的取值X围确定函数的值域或最值判别式法： 假设函数y f ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于x的二次方程 a( y) x2b( y) x c( y)0 ，那么在 a( y) 0 时，由于x, y 为实数，故必须有b2 ( y) 4a( y) c( y) 0 ，从而确定函数的值域或最值专业资料整理WORD格式第-6-页共102页专业资料整理WORD格式不等式法：利用根本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域

14、与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【 1.2.2 】函数的表示法（ 5函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 6映射的概念设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法那么f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应包括集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法那么f 叫做集合A 到 B 的映射，记作 f : AB 给定

15、一个集合A 到集合 B 的映射，且 aA,bB 如果元素a 和元素 b 对应，那么我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 1.3 函数的根本性质【 1.3.1 】单调性与最大小值（ 1函数的单调性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质专业资料整理WORD格式如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 、x, 当 x<121x2时，都有 f(x 1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数 函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x 1)>f(x2

16、)，那么就说f(x)在这个区间上是 减函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，减函数减去一个增函数为减函数1利用定义yy=f(X)f(x2 )2利用函数的单调性f(x1 )3利用函数图象在某个区间图o1x2x象上升为增x4利用复合函数1利用定义yy=f(X)2利用函数f(x 1)的单调性3利用函数图象f(x )2在某个区间图ox1x 2x象下降为减4利用复合函数两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，专业资料整理WORD格式对于复合函数 yf g (x) ，令 ug ( x) ，假设 yf (u) 为增， u g( x)为增，那么 yf g ( x) 为增；假设y f (u

17、) 为减， ug( x) 为减，那么 yf g ( x) 为增；假设 yf (u) 为增， ug (x) 为减， 那么 yf g (x) 为专业资料整理WORD格式第-7-页共102页专业资料整理WORD格式减；假设 yf (u) 为减，u g( x) 为增，那么 yf g (x) 为减 2打“函数f ( x)xa (a0)的图象与性质xf ( x) 分别在(,a 、 a ,) 上为增函数，分别在 a,0) 、(0,a 上为减函数 3最大小值定义一般地，设函数 yf ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M满足： 1对于任意的x I ，都有f ( x) M；yox专业资料整理WORD格式

18、2存在x0I ，使得f (x0)M 那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作fmax ( x)M 一般地，设函数 yf ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数m 满足：1对于任意的 xI ，都有f ( x)m ； 2存在x0I，使得f ( x0)m 那么，我们称m是函数 f (x) 的最小值，记作 fmax ( x) m 【 1.3.2 】奇偶性（ 4函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法如果对于函数f(x)定义1利用定义要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( x)= f(x),那么函数关于原点对称2利用图象图f(x) 叫做奇函数象关于原点对称函数的奇偶性如果

19、对于函数f(x)定义1利用定义要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( x)= f(x) ,那 么 函 数关于原点对称2利用图象图f(x) 叫做偶函数象关于 y 轴对称假设函数 f (x) 为奇函数，且在x 0处有定义，那么 f (0)0 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性一样，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数或奇函数的和或差仍是偶函数或奇函数，两个偶函数或奇函数的积或商是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积或商是奇函数补充知识函数的图象 1作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；专业资料整理WORD格式第-8-页共102页专业资料整理WO

20、RD格式讨论函数的性质奇偶性、单调性；画出函数的图象利用根本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象专业资料整理WORD格式平移变换yf ( x)伸缩变换h 0,左移 h个单位y f ( x h) y f ( x)k 0,上移k个单位y f (x) kh 0,右移 | h|个单位k 0,下移 | k|个单位专业资料整理WORD格式yf ( x)01,伸1,缩yf ( x)0A 1,缩A 1,伸对称变换y f ( x) y Af ( x)专业资料整理WORD格式yf ( x)y f ( x) y f ( x)y f

21、 ( x)（ 2识图x轴f (x)yf (x)y轴f (x)yy原点f ( x)yf (x)直线 y xyf1( x)y去掉 y轴左边图象yf (| x |)保存y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保存x轴上方图象y| f (x) |将x轴下方图象翻折上去专业资料整理WORD格式对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别X围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（ 3用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章根本初等函数( )

22、2.1 指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算 1根式的概念如果 xna,a R, xR, n 1，且nN，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时，a 的 n 次方根用符号n a 表示；当 n 是偶数时，正数a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负的 n 次方根用符号n a 表示；0的 n 次方根是0；负数a没有n次方根式子 na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a叫做被开方数当n 为奇数时， a 为任意实数；当n 为偶数时， a 0 根式的性质： ( na )na ；当 n 为奇数时，n ana ；当 n 为偶数时，n an| a |aa(a0)(a0) 2分数指数幂

23、的概念mnm正数的正分数指数幂的意义是：n(0, , 且 n 1) 的正分数指数幂等于aaaN0m n0专业资料整理WORD格式第-9-页共102页专业资料整理WORD格式m1m1)m (a 0, m, n N , 且n正数的负分数指数幂的意义是： a n()nn (1) 0的负分数指数幂aa没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数 3分数指数幂的运算性质 ara sar s (a0, r , s R) ( ar )sars (a 0, r , s R) (ab)rrbr(a0,b0,r)aR【 2.1.2 】指数函数及其性质 4指数函数函数名称指数函数定义函数 yax (a 0 且 a1

24、) 叫做指数函数a10 a1yya xy a xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)专业资料整理WORD格式OxOx专业资料整理WORD格式定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当x0 时，y1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数ax1( x 0)a x1(x 0)函数值的ax1( x 0)a x1(x 0)变化情况axa x1( x 0)1(x 0)a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低 2.2 对数函数【 2.2.1 】对数与对数运算 1对数的定义假设 axN (a0, 且a1) ，那么x叫做以a为底N的对

25、数，记作 xlog a N ，其中a叫做底数，N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xloga Na xN (a0, a1, N0) 专业资料整理WORD格式第-10-页共102页专业资料整理WORD格式 2几个重要的对数恒等式log a 1 0 ， log a a1， log abb a 3常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log10 N ；自然对数：ln N，即logeN其中e 2.71828 4对数的运算性质如果 a0, a1, M0,N 0，那么加法： log a Mloga Nlog a (MN )减法： log a Mlog a Nlog aMN数乘： nlo

26、g a Mlog a M n (nR)alog a NN log ab M nn log a M (b0, nR)换底公式： log a Nlog b N (b0, 且 b 1)blog b a【 2.2.2 】对数函数及其性质（ 5对数函数函数对数函数名称定义函数 ylog a x(a0 且 a1) 叫做对数函数专业资料整理WORD格式图象定义域值域过定点奇偶性单调性函数值的变化情况a 变化对 图象的影响(6) 反函数的概念a10a 1x1y loga xx1yyy loga x(1,0)O(1,0)xOx(0,)R图象过定点(1,0) ，即当x时， y0 1非奇非偶在 (0,) 上是增函数

27、在 (0,) 上是减函数log a x0(x1)log a x0(x1)log a x0(x1)log a x0(x1)log a x0(0x 1)log a x0(0x 1)在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高专业资料整理WORD格式第-11-页共102页专业资料整理WORD格式设函数 yf (x) 的定义域为 A ，值域为C，从式子 yf ( x) 中解出x，得式子 x( y) 如果对于 y 在C 中的任何一个值， 通过式子x( y) ，x在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x( y) 表示x是 y的函数，函数x( y) 叫做函数 yf (x) 的反

28、函数，记作 xf 1 ( y) ，习惯上改写成yf 1( x) 7反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式yf (x) 中反解出 xf 1( y) ；将 xf 1( y) 改写成 yf 1 (x) ，并注明反函数的定义域 8反函数的性质原函数 yf (x) 与反函数 yf1( x) 的图象关于直线yx 对称函数 yf ( x) 的定义域、值域分别是其反函数yf1 (x) 的值域、定义域假设P(a,b) 在原函数 yf ( x) 的图象上，那么 P'(b,a) 在反函数 yf 1 ( x) 的图象上一般地，函数yf (x) 要有反函数那么它必须为单调函数 2.3 幂函数

29、 1幂函数的定义一般地，函数yx 叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数 2幂函数的图象专业资料整理WORD格式第-12-页共102页专业资料整理WORD格式 3幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于y轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0 ，那么幂函数的图象过原点，并且在0,) 上为增函数如果0 ，那么幂函数的图象在(0,) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接

30、近x 轴与y轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当q其中 p, q 互质， ppqq和 qZ ，假设 p 为奇数 q 为奇数时， 那么 y x p是奇函数， 假设 p 为奇数 q 为偶数时， 那么 yx p是偶函数， 假设 p 为q偶数 q 为奇数时，那么yx p是非奇非偶函数图象特征：幂函数yx , x(0,) ，当1时，假设 0x1，其图象在直线yx 下方，假设x1，其图象在直线 yx 上方，当10x1yx 上方，假设x 1，其图象在直线 yx 下方时，假设，其图象在直线补充知识二次函数 1二次函数解析式的三种形式一般式：f ( x)ax2bxc(a0) 顶点式

31、：f ( x)a( xh) 2k(a0) 两根式：f ( x)a(xx1)( xx2 )(a0) 2求二次函数解析式的方法三个点坐标时，宜用一般式抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大小值有关时，常使用顶点式假设抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求f (x) 更方便 3二次函数图象的性质二次函数f ( x)ax2bxc(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb , 顶点坐标是2a专业资料整理WORD格式第-13-页共102页专业资料整理WORD格式b4ac b2(,) 2a4a当 a0 时，抛物线开口向上，函数在(,b 上递减，在 b ,) 上递增，当 xb 时，2a2a2

32、afmin ( x)4ac b2；当 a0 时，抛物线开口向下， 函数在(,b 上递增，在 b ,) 上递减，当 xb4a2a2a2a4acb2时， fmax (x)4a二次函数 f ( x)ax2bx c(a 0) 当b24ac 0时，图象与x 轴有两个交点M1 (x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1x2 |a| 4一元二次方程ax2bxc0(a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理韦达定理的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程 ax 2bxc 0( a0) 的两实根为x1,