2019高考数学黄金100题系列第21题函数零点的性质问题文

1、2019高考数学 黄金100题系列 第21题 函数零点的性质问题 文；f (2)=ln2 +4 6<0, f (3) = ln3 +6-6>0,由零点1存在性定理知f (x声零点.又f'(X ) = +2 >0f (x) X在(0,y V是单调递增函数，二f (x )只有一个零点.II .考场精彩真题回放【例2】【2017高考山东卷】已知当 xW 0,1时，函数y=(mx-12的图象与y = Jx + m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A. (0,11U 23,+)B(0,1IJB,C. (0,72>2后 Z) D . (0,T2Ub,y)【答

2、案】B1 2【解析】当0<mW1时，一主1, y =(mx1)单调递减，m且 y=(mx1)2(m1)2,1, y= Jx+m单调递增，且y = Jx+m wm,1+m,此时有且仅有一个交点；当 m>1时，0<工<1, y=(mx1)2在a,1上单调递增，所以要 mm2 一有且仅有一个父点，需 (m1)之1+m= m>3,故选B.【例3】【2016高考天津卷】已知函数 f (x),2x (4a -3)x 3a, x :二 0,=«(a>0,且aw1)在 R上单倜递lOga(x 1) 1,x -0减，且关于x的方程| f (x) |=2 -x恰好有两

3、个不相等的实数I.题源探究黄金母题【例1】求函数f (x) =lnx+2x_6的零点的个数.【答案】1.【解析】f(X )的定义域为(0,48卜精彩解读【试题来源】 人教版A版必修1P88例1 .【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断.【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法.而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性.【命题意图】本题主要考查分段函数的零点 问题.本题能较好的考查考生分析问题、 解决问题的能力，以及数形结合、转化与化 归能力等.【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常 基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大.【难点中心】 已知

4、函数有零点求参数取值范 围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参 数的不等式，再通过解不等式确定参数范 围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求 函数值域问题加以解决； 数形结合法：先对解析式变形，在同一 平面直角坐标系中，画出函数的图象，然 后数形结合求解.解，则a的取值范围是C._3,3 u 4【解析】由f(x)在R上递减可知3-4a ,0,3a , 1,0 :二 a ：1,13， - <a < -，由方程| f (x) |=2 _x恰好有 34112两个不相等的实数解，可知 3a <2,-1 <2, 1 <a <2 , a33又=

5、 a=3时，抛物线y = x2+(4a3)x+3a与直线 4y =2 -x相切，也符合题意，实数 a的去范围是12七131，故选c.3 3 U 4【例4】【2016高考山东卷】已知函数f(x)Jx,x",x -2mx4m, x'm，其中m >0 ,若存在实数b,使得关于x的方程f (x) 二b有三个不同的根，则 m的取值范围是【答案】3, 二【解析】画出函数图象如下图所示:【命题意图】本题主要考查二次函数函数的 图象与性质、函数与方程、分段函数的概念， 考查学生分析问题与解决问题的能力.【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常 基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大，

6、往往是高中数学主要知识的交汇题.【难点中心】 解答这类问题的关键在于能利 用数形结合思想，通过对函数图象的分析， 转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运 算求解能力等.由图所示，要f (x)=b有三个不同的根，需要红色部分图象 在深蓝色图象的下方， 即m >m2 -2m2 +4m,，m2 -3m >0 , 解得m >3 .III .理论基础解题原理函数零点、方程的根、函数图象交点的相互转化: 有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点:(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调

7、性确定是否存在零点；(2)方程的根：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫；(3)函数图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.三者转化：函数 f (x )的零点二方程f (x )= 0的根二 方程g( x) = h(x)的根口函数g(x)与h(x )的交点.IV.题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性较强，难度较大.【技能方法】1 .已知函数有零点求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参

8、数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.2 .此类问题的处理步骤：(1)作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象；(2)确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围；(3)观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值.【易错指导】对函数零点存在的判断需要注意以下两点：(1)函数f(x )在a,b上连续；(2)满足f(a”f(b)<0.上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解.

9、另外需要注意的是：(1)若函数f (x )的图象在x =x0与x轴相切，则零点*0通常称为不变号零点；(2)函数的零点不是点，它是函 y= f(x )数与x轴的交点的横坐标，是方程 f (x)=0的根.V.举一反三触类旁通考向1函数零点所在区间的判断2【例1】【2018豫西南部分小范局中局二第一学期联考】函数 f (x)=lnx-方 的零点所在的区间为()xa. (0,1) B . (1,2) C . (2,3)D . (3,4)【答案】B【解析】由题干知道原函数是增函数，故可以根据零点存在定理得到：1f (1 )<0, f (2 ) = ln2 2 = ln2 -lnTe >0

10、,故两点存在于(1,2 )上，故选 B.【例2】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知函数f (x ) = x >/X(x A0),g (x) = x+ex,h(x )=x+lnx 的零点分别为 x1,x2,x3，则1. x1<x2<x3B . x2<x1<x3C .x2< x3< x1D .x3< x1<x2【答案】C【解析】根据函数 y = x分别与y = Jx, y = -ex, y = -lnx图像交点，可知选 C.【跟踪练习】1.12018河南省天一大联考】函数 六吗=十仇汇-？的零点位于区间()A.

11、 (0,1) B . (iz C . (43) D .4)【答案】C【解析】<0,八3)=旧3>°,所以由零点存在定理得零点位于区间建3 ,选C.2.12018湖北部分重点中学上学期第一次联考】函数f (x )=ex+4x-3的零点所在的区间为(111 11 3A.-L,0 I B .0I C . I D . I,4，,，44,22,4【答案】C【解析】函数十4x3是单调递增困数，根据零点存在定理，得到/点存在于之间，故选C.14 2J考向2由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围是函数【例3】【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】已知1是函数八>)=*十1一切十

12、团的零点，目二炉.皿十仇十4的零点，且满足|巧一叼|工1,则实数的最小值是()A. -1 B .-2 C .2 - 2XD d .1-2黑【答案】A【解析】因为ro)= i击=岩，所以函数在r2D上单调递减，在(L+8)单调递增，故/12= % 枷=T为方程的根，故事=T,故IT F < 1解得-2%啊M 口，所以gQO 二/一2依+ 4比+4 二 口在一工0上有解，即/=瞥在-2上有解，令M乃=黄=2+三+ 4,可求得夙x)ee=-2j所以2&三-2,解得比之一1,故选A,【名师点睛】解题的关键是得到二一 L后，得到- 2 £ / £ 0 ,然后将问题转化成

13、方程g二2G： + 4口 + 4 =。在-2,0上有解的问题处理. 在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.【例4】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数 人切是定义在R上的偶函数，且fd + 2初,当#E-2,0时，3,若在区间(-2向内关于汇的方程/一胸式工+如二口产下口且”】)有且只有4个不同的根，则实数 门的取值范围是()A. J,) b . (L4) c . (L8) d .出+co)【答案】D【解析】由题意可得函数 f(x)的对称轴为x=2,周期为T=4,原方程变形为 八琦=3呢(工+如，E(

14、-2,6), 所以只需画出叫J” ,两个函数在区间(-2 , 6)的图像，根据图像求 a的范围，图像如下， "="加式"+如一定过(-I , 0)点，当0<口<时，显然只有一个交点，所以口 >1,只需要对数从点B,点【名师点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x),然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数.如本题把方程吟"，咽式工+ 2) = °变形为,再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数 a的范围.y = f (*)沙=历%" +

15、2)|fjc + 1)* - 2 E 工 W 0- f =V0.【例5】【2018河南省天一大联考】 已知函数X+1若关于万的方程六切-旗区+2)=。有3个实数根，则实数 上的取值范围是()A.【赞 B . I 切 C .(凡1) D .【答案】D【解析】作图如下：门(0l ) =0<因此要使方程f-心+ 2) = 0有3个，实数k的取值范围是0-(-2) I。选D.【名师点睛】对于方程解的个数 (或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数

16、的单调性、周期性等.【例6】【2018山西45校高三第一次联考】函数l在区间(一川和区间(I?上分别存在一个零点，则实数。的取值范围是()3 t ,33,(父口<|一3<"<一为 口一a. -3<n<l b , 4 c .4 d .或 4【答案】B【解析】根据图数零点存在性定理，结合二次函数图象可知，函数/(幻二G：'-2X十1在区间(-1,1)和区间(L2)上分别存在一个零点时，(乍?，解得:<口<1,故选R. 川)/(2) <04【例7112017江西上饶一模】已知 f(X谣定义域为(0,收)的单调函数，若对任意的 XW (

17、0,y ),都有f | f (x )+logix1=4,且方程f (x )-3 = x36x2+9x-4+a在区间(0,3】上有两解，则实数a的取值-31范围是()A. 0<a<5 B , a<5 C , 0<a<5 D . a 5【答案】A【解析】由题意知必存在唯一的正实数a,满足f (x )+log1 x = a , f(a)=4，f(a)+log1a = aa _4l,解得 a=3.故 f(x)=3 logx,由方程，由得：log 1a =a_4 ,a = I - l'33f (x )-3 =x3 -6x2 +9x -4 +a 在区间(0,3上有两解

18、, 即有log1x = x36x2十9x4十a在区间(0,3上有两解，由g( x )= x36x2+9x 4+a ,可得32g (x )=3x 12x +9,当 1 <x <3 时，g (x)<0, g (x )递减；当 0 < x < 1 时，g (x)>0 , g(x)递增.g(x痴x=1处取得最大值a , g(0)=a4, g(3) = a-4 ,分别作出y= 10glx ,和33232y =x -6x +9x-4的图象，可得两图象只有一个交点(1,0),将y = x -6x +9x-4的图象向上平移，至经过点(3,1),有两个交点，由g(3) = 1

19、,即a4=1,解得a = 5,当0<aW5时，两图象有两个交点， 即方程两解.故选 A.【例8M2018河南郑州一中模拟】已知函数f(x )满足f (x)+f (2 x)=2,当xw (0时，f(x)=x2 ,当xw(1,0 时，f(x)+2=|,若定义在(1,3 )上的函数g(x)= f (x)t(x+1)有三个不同的 f <x 1零点，则实数t的取值范围是 .【答案】0,6 -2、7/if3【解析】当LO=Oc JTTiwiE寸，则/(<m)= jc+L 故/=0|一2,当 女(1国=。42，<1 时测2-力二(2-力一故/(力二 2-(2-力、当女(2,，=-1

20、<2-jc<022盹j则/(，)=27(2工)=2 一 厂不一2 二47、j又因为岳GTI) J/ (后可2 2xw 2,3户 0<3x<1,所以 f ,3-x =3-x ,则 f (x) = 4 =+ 4.所以3 - x x-32，T2 ,x-i,dx2.x 三 10.1 1 f(x)=x ，,回出函数y = f(x)在区间(1,3)上的图像与函数 y=t(x + 1)的图像，2 -(,x 1,212 4，x 2,3x -32由于直线y=t(x+1)是过定点(1,0 )斜率是t的动直线，数形结合可知：当y =t(x + 1 )与y=2(x 2)相切时，即方程t(x+1

21、 ) = 2 (x2 )2= x2 +(t -4 )x+t +2=0有唯一解，可求得t = 6 2万，故结合图像可知：当0<t<62"时，函数y = f(x )在区间(1,3 )上的图像与直线 y=t(x + 1)的图像有且只有三个不同的交点，即定义在(-1,3)上的函数g(x)= f (x)-t(x + 1)有三个不同的零点，应填答案(0,6 -277 ).【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数y = f (x)在区间(-1,3)上的解析表达式求出2 - o来，再回出其图像数形结合，从而将问题转化为万程t(x+1 )=2 (x 2 ) = x2+(t-4

22、)x + t+2=0有唯一解，可求得t =62万，通过数形结合，求得当 0 <t <62，7时，函数y= f (x)在区间(1,3)上的图像与直线y =t (x +1)的图像有且只有三个不同的交点，即定义在(-1,3 )上的函数g(x尸f (x )-t(x +1 )有三个不同的零点.【例9】【2017江苏南师大附中模拟】函数 f (x )=6个不同的零点，则实数 t的取值范围是 【答案】(3,4 )二-二苦 /0|x具中t >0 ,若函数g(x)= f f(x)1|启7(x>t)-/, -> F*1'riAjL【解析】由题设问题转化为g(K)=/(X)-1

23、/二o有六个不等实数根，由于函数/(» = 0的零点是X=Ok=a昵.f(#) = 1 或f(期二岁+1 .时，f(x) = xB-2t+t2xf 贝|/,() = 3x1 -4oc+r2 =(3x-r)(x-r)，则兀二口工=>是两个极值点，且极大值为二,极小值为Q,画27x(x x<t出函数f (x )= x的图像，和直线 y =t+1,y =1的图像，结合函数的图像可知：当一 x t4tq27：二13 <t <4时，两直线y=t+i,y=i与函数y= f (x)共有六个不同交点，应填答案(3,4).【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点

24、问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数 形结合思想建立不等式组.求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值.灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数 学问题中四两拨千斤的功能.【跟踪练习】1.12018届山西45校高三第一次联考】函数f (x )=ax2 2x+1在区间(-1 , 1)和区间(1, 2)上分别存在一个零点，则实数 a的取值范围是()33.3A-3 <a<1 B 一 < a < 1 C . 3 < a < D . a < 3或 a > 444【答案】B【解析】根据零点存在性定理

25、，结合二次函数图象可知，函数 f (x )=ax2 -2x+1在区间(-1 , 1)和区间f -1 f 1 ：0-3(1,2)上分别存在一个零点时， '' ' ',解得-<a <1 ,故选B.f 1 f 2 ：042.【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】 函数/(功满足+且当-1%工生1时，(工)=|刈.若函数y =/(幻的图象与函数=3sM ( * > 口，且* H)的图象有且仅有 4个交点，则。的取值集合为()A. 4 b (4,6) C . D .【答案】C【解析】因为函数满足门=+ 2)所以函数的周期为2又在一个周期一1三又三1内，

26、函数解析式为八力二所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数目以)=1。M工的图象，要使两个函数图象有目 仅有四个交点，只需仪5)=加g J = 1,所以口 = 5,故选C.29cx - x 一 一 x 03.12018贵州黔东南州上学期第一次联考】已知函数 f(x) = 4,，若方程f(x)=a有两x -2, x 0个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.I ,-2,0c ) B .( -2,)C.-2,0c ) D . I, (-2, 0c )IL 2 42 4 .' IL 2 4【答案】C29 xx - - . x s 0 【解析】作出函数 f(x)=4的图象如下:x -2,

27、x 0方程f (x )=a有两个不相等的实数根等价于函数y= f (x )与y = a的图象有两个不同的交点，有图可知,59a w I -, 一一 ikj (-2, +=c > 故选 C. 24【名师点睛】方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.4.12018四川达州模拟】已知JI Jf x =2sin2x- - m 在 x6!0,- 上有两个零点,一 2m

28、的取值范围为()A. ( 1, 2) B .1,2 C .1,2) D .(1,2【答案】C【解析】由题意/(/) = 2蛀0(2/-!)一周在彳曰上有两个零点可转化为丁 =人也。彳- j与上有两个不同交点，作出如图的图象，由于右端点的坐标是(色J)由图知， 2揄e1,2),故选C.【名师点睛】本题考查正弦函数的图象，解答本题关键是将函数有两个零点的问题转化为两个函数有两个 交点的问题，作出两函数的图象，判断出参数的取值范围，本题以形助数，是解此类题常用的方法，熟练 作出相应函数的图象对解答本题很重要5 .12018江西横峰中学第一次月考】 设f(x成足f (-X尸-f(X),且在-1,1上是

29、增函数，且f(1)=1,若函数f (x)Mt2 2at+1对所有的x 1-1,11,当aw I1,1】时都成立，则t的取值范围是()A. - <t < b . t 之 2或 t W-2或 t = 022一 11八一 一C. t 之一或 t< 或 t=0 D . -2<t <222【答案】B【解析】若函数f (x)Et2 2at+1对所有的xw11,1】都成立，由已知易得f(x)的最大值是1,1 S2 -2at +1匕 2at t2 <0 ,设 g(a)=2at t2 (-1 a1 ),欲使 2at -t2 W0恒成立, 则 g(1)=0nt >2或 t

30、 M -2 或 t =0,故选 B. g 1M0 一6.12018湖北七校联考】已知 f(x)是奇函数并且是 R上的单调函数，若函数 y= f(2x2+1)+f (九x)只有一个零点，则实数 九的值是()A. 1 B . 1C . -7D-34888【答案】C.【解析】令> = f(2*+D+/U-月=0,且/Q)是奇函数，S'J/(2X1 + 0 = -fa-x) = /(x-A),又因为是五上的单调函数，所以为？十1 =工4只有一个零点，即2炉H+14=0只有一个零点，口 7则4 = 18(1；1)=0,解得/二一故选c.7.已知函数f (x ) = |lg x ,若0 &l

31、t;a cb ,且f (a )= f (b ),则a + 2b的取值范围是 ()A.12亚 f B .二五收)C . (3,y ) D . 13,+ )【答案】C.【解析】先作出f(x )的图象，通过图象可知，如果f (a)= f (b),则0<a<1<b，设f (a)= f(b尸t ,Ilga =t, . -e一，lga = t la = e ,即(t >0 ),由a,b氾围可得：lg a < 0,lg b > 0 ,从而W ”; V ,所以ijlgb|=t(lgb=tb = et1 1-a + 2b = + 2e ,而 e >0 ,所以 2e +

32、(3,).ee【评注】(1)此类问题如果 f(x )图象易于作出，可先作图以便于观察函数特点;(2)本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t,从而用t表示出a,b,达到消元效果，但是要注意t是有范围的(通过数形结合 y =t需与y = f (x )有两交点)；一个是通过图象判断出 a,b的范围，从而去掉绝对值.1x +-一一28.已知函数f (x )=2xl,x ?2，x 0，一,若存在 x1, x2,当 0Mxic x2 < 2 时，f (x1 ) = f (x2 ),则x1 f(x2 ) f(x2 )的取值范围为A.c._ 1622 -3. 24【解析】如图可知；916( 1。玉/(丐

33、)-/= (T)/=(玉T)/(演) = (&T)(玉十彳 弓 <少；9.12018江西新余一中二模】已知函数y=f(x)的周期为2,当xw10,2时，f (x)=(x1 j ,如果g(x )= f (x )log5 x-1 ,则函数y = g(x )的所有零点之和为(【解析】g(x )= f (x )Tog5 x-1 ,A. 2 B.4 C.6 D.8由题意可得根据周期性画出函数 f (x )=(x1)2的图象，以及y = log5x1的图象，根据y = log5x1在(1, )上单调增函数，当 x=6时，y = log5x 1=1,，当x>6时, y =log5 x -1 >1,此时与函数y= f(x)无交点，再根据y=log5 x-1的图象和f(x)的图象都关于直线x=1对称，结合图象可知有 8个交点，则函数 g(x )= f (x)-logs x-1的零点个数为8 ,故选D.【方法点睛】 判断函数y = f (x )零点个数的常用方法：(1)直接法：令f (x ) = 0,则方程实根的个数就是