初中数学《几何最值问题》典型例题

1、初中数学最值问题典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键，通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例图形原理特征两点之间线段最短A,B为定点，1为定直 线，P为直线1上的一个 动点，求AP+BP的最小 值两点之间线段最短A,B为定点，1为定直线， MN为直线1上的一条动线 段，求AM+BN的最小值先平移AM或BN使M ,

2、 N转化作其中一个定点关于定,直线1的对称点三角形三边关系一A,B为定点，1为定直线, P为直线1上的一个动 点，求IAP-BPI的最大值作其中一个定点关于定 直线1的对称点图形重合，然后作其中一个定点关于定直线4的对称点原理特征在 ABC中，M,N两点分别是边AB,BC上的动点，将 BMN沿MN翻折，B点的 对应点为连接,AB、求的最小假.转化成求一的最小俏二、典型题型1.如图：点P是ZAOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若Z AOB=45。，OP=32 ,则aPNIN 的周长的最小值为.【分析】作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交

3、点时，PMN的周长最短，最短的值是CD的长.根据对称的性质可以证得：COD是等腰直角三角形，据此即可求解.【解答】解：作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时，ZkPMN的周长最短，最短的值是CD的长.VPC关于OA对称，.ZCOP=2ZAOP,OC=OP同理,ZDOP=2ZBOP,OP=ODZCOD=ZCOP+ZDOP=2(ZAOP+ZBOP)=2ZAOB=900,OC=ODCOD是等腰直角三角形.则CD=A/2OC=”*3/二6.ILD【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解PMN周长最小的条件是解题的关键.2.如图，当四边形PAB

4、N的周长最小时,7-7,0), a 二44【分析】因为AB,PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了.问题就是PA+NB什么时候最短.把B点向左平移2个单位到点；作B，关于x轴的对称点AB”,交x轴于P,从而确定N点位置，此时PA+NB最短.设直线AB的解析式为y=kx+b,待定系数法求直线解析式.即可求得a的值.【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B<2,-1),作B关于x轴的对称点B”,根据作法知点B”(2,1),设直线AB”的解析式为产kx+b,12kb贝U，角牟得k=4,b=-7.3kby=4x-7.当y=0时，x=,即P【题后思考考查关于X

5、轴的对称点，两点之间线段最短等知识.3.如图，A、B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4,点B到直线的距离BN=1,且MN=4,P为直线上的动点,IPA-PBI的最大值为.【分析】作点B于直线1的对称点B；则PB二PB，因而IPA-PBHPA-PB工则当A,BP在一条直线上时，IPA-PBI的值最大.根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PA、PB，的值，进而求得IPA-PBI的最大值.【解答】解：作点B于直线1的对称点B;连AB，并延长交直线1于P.B'N=BN=1,过D点作B'D+AM,利用勾股定理求出AB'=5AIPA-PBI的最大值

6、=5.【题后思考】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.4 .动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ,当点A，在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点N在BC边上可移动的最大距离为.【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA,取最大或最小值时，点P或Q的位置.经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA，取最大值3和当点Q与D重合时，BA，的最小值1.所以可求点发在BC边上移动的最大距离为2.【解答】解：当点P与B重合时，BA，取最大

7、值是3,当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A，C=4,此时BA，取最小值为1.则点A，在BC边上移动的最大距离为3-1=2.故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误.5 .如图，直角梯形纸片ABCD,AD±AB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决.【解答】解：

8、如图,当点P落在梯形的内部时，ZP=ZA=90°,四边形PFAE是以EF为直径的内接四边形, 只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小,此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8,由勾股定理得：BD2=82+62=80, BD=48,PD=4人8.【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动.6.如图，ZMON=90。,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=

9、1,运动过程中，点D到点O的最大距离为.3/I【分析】取AB的中点E,连接OD、OE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OEjAB利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大.【解答】解：如图，取AB的中点E,连接OD、OE、DE,ZMON=90°,AB=21OE=AE二"AB=1,2 BC=1,四边形ABCD是矩形， AD=BC=1, DE=&根据三角形的三边关系，ODvOE+DE,-当OD过点E是最大，最大值为x/2+L故答案为：7/+1.【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

10、的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键.7.如图，线段AB的长为4,C为AB上一动点，分别以和等腰AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角ACD直角BCE,那么DE长的最小值是CD二2八X, CD '更(4 - x),根据勾股2 2【分析】设AC=x,BC=4-x,根据等腰直角三角形性质，得出定理然后用配方法即可求解.【解答】解:设AC=x,BC=4-x,ZABC,ABCDz均为等腰直角三角形, CD=E,CD'工4-x),22ZACD=45°,ZBCDz=45,0 ZDCE=90°,ADE2=CD2+CE2=-x24-

11、(4-x)2=x2-4x+8=(x-2)2+4,22根据二次函数的最值，当x取2时，DE取最小值，最小值为：4.故答案为：2.【题后思考本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.8.如图，菱形ABCD中，AB=2,NA=120。，点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点，则PK+QK【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P,连接P,Q与BD的交点即为所求的点K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P'QJ-CD时PK+QK的最小值，然后求解即可.【解答】解:如图，vAB=2f-ZA=120&#

12、176;,-3«，点P'到CD的距离为2X=3,«2PK+QK的最小值为3.8PO【题后思考本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定 最短路线的方法是解题的关键.9.如图所示，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的B C D;则BB，+CC +DD，的取值范围是垂线，垂足分别为bOr【分析】首先连接AC,DP .由正方形ABCD的边长为1,即可得：SaADP=S正方形abcd二L ABP+S AACP =S AABC= i 1 ABCD1SS1人？他2+8+口口

13、9;)=1,又由 1WAPW22答案.【解答】解:连接AC, DP.四边形ABCD是正方形，正方ABCD的边长为1,形 AB=CD, S 正方形ABCD=1 ,- 1 1T SA ADP =八一 S 正方形 ABCD 一，S ABP+S AACP =S ABG= S 正方形 ABC©-=2222/ Sa adp +Saabp+Sa acp=1 ,mi,-AP ?BB' +AP ?CC !+AP?DD * AAP? ( BB, +CC +DD 7)=1,22222则 BB'+CC+DD-,AP1 <AP2 , 当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值石. - 6wBB ' +CC +DD 1 W2.2即可求得故答案为：BB ' +CC，AC,【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题.此题难度较大，解题的关键是连接DP,根据题意得到Saadp+Saabp+Saacp=1,继而得到BB'+CC'+DD*AP10.如图，菱形ABCD中，ZA=60。，AB=3,©A。B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、OA和。B上的动点，则PE+PF的最小值是.【分析】利用菱形的性质以及相切两