热力学与统计物理试题及答案

1、中国海洋大学试题答案学年第 2 学期试题名称 ：热力学与统计物理（A）共 2 页第 1 页专业年级 :学号姓名授课教师名杨爱玲分数填空题（共 40 分）1 .N 个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为 的一 r, 系统的自由度为（ Nr ）。系统的状态可以用（ 2Nr ）维 r 空间中个代表点表示。2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数Q,则每一微观状态出现的概率为（1/? ），系统的熵为为kin ?玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 <玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件 （或

2、 e a <<1 ）或 e a>>1 ）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。dU - 7 a d * _ 二 da ll1给出内能变化的两个原因，其中（、；|dai ）项描述传热， （ a aid ；i ）项描述做功。l|6 . 对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高） ; 如果温度足够低，则会发生（玻色一一爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量 U0=（ 0）, 压强 p0=（ 0）, 熵 S0=（ 0）。1 2( Px2 2 2ax bx2m-P Pyz )已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为，粒子的平均能量为 ( 2kT b2/4a当温度（很低）或粒子数

3、密度（很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。如果系统的分布函数为P s，系统在量子态s 的能量为Es, 用 p s 和 Es 表示：系统的平均能量为（能量涨落为(d(E s -E) 2 )( 如写成E2 -(E) 2 也得分 ) 。10 . 与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数归一P s 具有特点（ d P s / dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分），同时 P s 也满足化条件。二. 计算证明题（每题10 分，共 60 分）1 ?假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0,3,23,3Q OOO而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问:, ,（1）与总能

4、量3 3 相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么?（2）根据公式 0 aj = -n 蛍引计算每种分布的微观态数!''ai1|（3）确定各种分布的概率。解：能级：2,2,4,能量值：0,3,23, 33,简并度：1,1,1,1,分布数：a1,a2 ,a3,a4.分布 $ J 要满足的条件为：一 ai = N = 6i' a i = E = 3 'i满足上述条件的分布有：A： aj _ 5,0, 0,1,0, ？B：佝J = I4,1,1, 0, 0,. /C： C - 3,3, 0,0,0 ，？6!1 A1 =6；5!汇 1!各分布对应的微观态数为

5、 :6 !1二 30;4! 1! 1!6!1二 203!3!R R1C =23456- 30?20 = 56所有分布总的微观态数为 :PA - 门 A/'J= 6/56 = 0.107;各分布对应的概率为：p B= 30 /56 = 0.536;P C=20 / 56 =0.357;2 ?表面活性物质的分子在液面( 面积为A) 上做二维自由运动,可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m, 总粒子数为N。(1)求单粒子的配分函数Z1；(2)在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x 到 x+ dx,y 到 y+ dy 内，动量在px 到px+ dp x,py 到 py+ dp y 内的分子数

6、dN ;(3) 写出分子按速度的分布；(4) 写出分子按速率的分布。解: (1) 单粒子的配分函数乙勺 =亠 “対弘入 ) dxdydp xdp y =$ (2 兀 mkT )h、h/ 、s&dxdydp xdPy N 鸟 dxdydp x dP y( 2) dN- 2 = - 2 LhZ1h(3) 将(1) 代入( 2),并对 dxdy 积分，得分子按速度的分布为m 事 2 2dN v = N( - )e(vx - V y )dvx dV y(4) 有 ( 3) 可得分子按速率的分布为 : (1) 温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在2irkT2mv/ m

7、、 "2kT .()e vdv kT3 ?定域系含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级 1 = 一 0 ,e 2= 0 ，其中 e 0 大于零且为外参量y 的函数。求 :极端高温和极端低温时粒子数比的特点;(2 ) 系统的内能和热容量;(3) 极端高温和极端低温时系统的熵。解： ( 1) 单粒子的配分函数为 :八 e" 乂 -"e"二 e " e"lN - 1 e -0e处于基态的粒子数为 :N eN1N打-'-0;Ze e2m vm 詬2 二 N ( - ) e vdv2irkT处于激发态的粒子数为:N2 = N -

8、Z!e温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为N2 e'0 e_kT:e极端高温时 :_ N 20 kT, _,.1, 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同;N 1极端低温时 :0kT ,上痒 0 ,即粒子几乎全部处于基态。N 1(2) 系统的内能 :： InZ-N ln(e cPcPdU )VN ；热容量： CV。 2 3kT 2(3) 极端高温时系统的熵 :极端低温时系统的熵:S=04 ?对弱简并的非相对论费米气体，求 :(1 ) 粒子数分布的零级近似fo 与一级修正项 f i；(2) 证明：与零级近似相比, 粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于 e

9、 一。解：费米气体分布函数为:：(1) f =e-l 一1 +e12 .( 2) D ( ；)d ; = CV ；2d ;e 2 C V ;2d ;coc1f0D( ； ) d ；e = CV h ；U 耳； D( ； )doc ef0 ； D ( ;)d :5 ?金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n,(1) 简述： T = 0K 时电子气体分布的特点，并说明此时化学势p 0 的意义 ;-3；00(2) 证明： T = 0K 时电子的平均能量5 ，简并压强Po(3) 近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。T=0K( 1) p 表示 T = 0K 时电子的最能量。电子

10、从=0 的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原1理。f = 1 ( < po) ； f = 0( >4Id ；041) ； fD ( ；)0；CV；=0d ；2d4；1=? 010f s2 d z5fD0CV ；( ；)d ；2d ；P。1050 T>OK 时：f( 呂 ; f =L ( 戸小； f <1(2 2 2kTT>0K 时，只有在卩附近 kT 量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV 有贡献，设这部分电子的数目为N eff , 则 Neff = N 。每一电子对“" 人 =亠亠亠,“ e 33kkT3Nk kT3Nk kT3N

11、k TCV 的贡献为 3kT/2, 则金属中自由电子对Cv 的贡献为 CVe kxN N-()()()22#2#2kTf2TfC e1 T晶格的热容量为Cv = 3Nk ,_ _ $ 0(T f :10 _10 )CV2Tfhr iU =Uo+ 一處十6. 固体的热运动可以视为3N 个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率3i，内能的表达式为：i e1 ，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。( 1 ) 写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；( 2) 用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；( 3 ) 用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。N 个分子的振动简化为 3N 同频率 ( 3 的简谐振动，每个振子的能级为1解： ( 1) 爱因斯坦模型：前=5 十丄辰；22德拜模型： N 个分子的振动简化为 3N 个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限COD , D(C0)d =Ba.Dng)e 2(2) 爱因斯坦模型 ：Z1=无 00(=e2 - - 爭畐 ;ln1 e社3 N 衣灼 3 N /j?U=dNl nZ =+ 胃郁 12e 阿 7(U加 2e kT5 =( )V =3Nk( )-tf-TT rcTkT(e创-1)高温时：e*"kT一1止耘i / kT ,e 励kTt 1, C V t3N k/c、