中考数学压轴题专题四《几何图形动点运动问题》

1、专題四几何图形动点运动问題【考题研究】几何动点运动冋題，是叹几何知识和具体的几何團形为背景，渗透运彼化細点， 通过駄 纵形的运动，图形的平移.翻折、能转等把图形的有关性页和魄之问做埋 关系位羞关系看作是在变化的、相互依有的状杰之中，葵求对远加化过程瞬館螳关 系的国形的位羞关系等进行探究.对学生分析冋懸的能力对凰形的想象能比 帳再维能力的堵养和提高有看积极的促进作用.动态冋走，以运动中的几何 的综合题.它能靶几何、三角、函数、方程等知识隼”箒題型新気灵活性强、有区 分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命題者的青陽 號几何问圈 常常出现在 各地的中考数学试它中.【解题攻略】几何动点运动礦通常包

2、括动点冋題、动线冋題、面动冋觀，在考查阿形变换（含二形的 全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性匿，以三角形四助形为主，主要运用方程、 因数、数形结合、分类讨论等数超8L【解题类型及其思路】动念几何待点一冋題背景是特殊图初 考宜冋題也是待殊图形，矽要把翩般与特殊的关系7分析过程中，特别粪关注囲形的特性特殊角、特殊囲形的性庚、副纟的 特殊位墨。）动点问題一直是中考热点，近几年考鳏究运动中的特殊性：等腰三角形.宜角三角形.相似三角形、平行四边形.梯形.特珠角或其三角I利用动点（图形）悝贵进行分类，把运动冋题分割成几个静态冋圈 然后运瞬化的思想和方程隔，利用因数与方程的思想和方法将所解决图形的解

3、磁型:几何动点运动冋題常见有两种常见趨:利用国数 X 力程的思想和力法将所解决图形的性质宜接传化为I（刃根据运动圉形的位羞分类，把动态冋题分割成几个静态问題，再将几何问题转化为 因数和方程冋題幼贼体所和方法将几何冋題转化为I性质 （或质求图或力程。或力程;2【典例指引】类型【探究动点运动过程中纸段之间的数量犬系【典般弓I 11左AABC中，厶ACB=45，点D为射线BC上动点（与点5、C不垂合避AD,以AD为一&在AD右第作1E形ADEF =,或字,）,CFBD2）刃舉AB/ACz且池D在线段BC的址长趺上运动，请住图2屮面岀相应的示意图此时（1中的结论是否成立？请说瘫由,（3设正方形

4、ADEF他DE所在事与*CF斂于点P,若AC=4血，CD=2,求线段CP的长.1,JCAB,（点C祜E重合,朋以AC、3C为边在/1呂翊仃观韩寵:线段AE与BD的数鞏关系为_；“PC的度数为2数学思考：如團2,半点C在线段力夕陰L 1）中像论，是否歸竝2（3拓展应用二如图3,分别次AC.BC 为边在M冋侧作等肢宜角三角形川仞和等屐 直角三角形BCE,耳中ACD-BCE-9Pf CACD, CBCE.讎/LEFZ）交于点几PJ1，且点D昭段BC上运动，尹斷ZBADZC AF(填作等边二角形MCQ和等边二角形BCE.JAE50交丁点若成立，谙给予证晞论(1) AB=AC,【举一反三】3興朋与助的关

5、系为_4类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【曲侦脂引2】已知：如朗存平面直角坐标系中，长方形切C的J页点的坐标是(6,4)1直接写出/鈕标_的面积足SC面积的2信，求満足条件的点P的生标;( (3如虱 动点“从点C出拓 次每钞1个单位的速度沿线段皿运动，丽动点从 点久出发以向秒2个单位的連度沼线段FO运动，当M到达 O 点时，M9丽停止 运动，运动时创定彷在M , N，Q 为*中点连接皿，4 如果在第二象限内有一点PE*且四边形5运动过程巴当砸时，直接与岀旳间/的【車一反三】如图，QABCD的对角线AC. BD相交+点O, ABJAC，AB=3, BC=5,点P从点A出发，沿AD叹毎秒1个

6、单位的速度歐点D运动略PO幷延长交BC干 点Q.设点P的运动时间为t秒.（1求BQ的长，（用含t的代数式表不每桩lcm,融0毎秒走2cm 冋：Ai-DAi-D（1）蚂蚊出发后 2 陀 第一次是等肢二角形需要财丁几杪？P. 0两只妈蚊最快配行几秒后，直线也与力平行？【举一反三】如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、轴于A、B两点（AO求该拠物线的鮮析式；为底边的尊族三角形时，求点尸的坐标,（3当四边形MCPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值.【举一反三】已知：如風在 AABC 中4B-.4C5cm, B86cm& P由出发，沿方向匀速运动.速度 为1ES.丽，点Q从点A出发，沿A

7、C方向匀速运动.速度为16/$,过点P作PM丄BC交AB于点过点Q作QN丄BC,垂足为点N,连接MQ,若设运则间为7当何值时，点M足边AB中点？2）设四边彫PNQM的而积为.唯打），求岀，与f之问的用数关系式；3）是占存在某一Bt,使S四边形册Sf:SZBC=4:9?若存在，求岀此时/的值：若 不存在，说邂由,边形PNQM为正方形?若存在,求出此时t的值5若不存 任，请说明埋由.【新题训练】1.如图，ABC是等边三角形，点尸定3C上一动点（点P与点召、C不重合、过点P作PMI/AC交历干MPNll AB交月C干M. i车梓BN、CM.(1)求证：PWPN=E6（2）在点P的位羞变化过程中.BN

8、=CM是否成立？试证明你的结枪；（3）如劃，作 NDH3C 交 AB 于 D,则图成轴对称图形，类似地，情你在團中添加 一条或几条线段，使團成轴对称图形（画出一种青形即可；.2.如團，左矩形ABCD中，AB=18, AD=12,点M是边AB的中点，连结DM, DM与AC交于点G,点E, F分别定CD芍CG上飾点，连结EF，4）是否存在某Tl解答F列问题:8/)人M求证：CG=2AG.(2)若DE=O,当以E, F, D为顶点的三角形与UDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发,以每科2个单位的速虛向心C运动，AK从*G岀发，以毎秒1个单仗的速度向点D运动兰一个点到达，另一个協即停止运动.

9、在整个运动过程中，求四 边形CEFG的面积的最小危3.知识德多：将两个含30。宦的全等三角尺放在一起，让两个如。角合在一起成6讯，经过 曲揍、观察、思暫探咒出结论“直角三毎形眄30角所对的宜角边尊于斜边的一半”.如團，等边三角形ABC的边氏为4on,点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发 沿AB的延长线EF向右运动，已知点D、E那以每秒0.5池的速度同时开始运动，运动过 程屮DE与BC相交于点P,设运功时间为x秒请直接写出AD长.(用況的代数式表示当AADE为直角三角形吋，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为纸段DE的中点.4.如图所示，已抛物线与一；丸醐丘的图象相交于玫7

10、D,风2=)两点，点卩是抛物絃上不与厶$重合的一个动点9(2)当点P在直线M上万时，过点P作儿由的平行线交宜线初于，点 G 设点P的横坐标为腫，尸的长度 2,求岀关于师的解析式J(3)在(2)的基砒上，设人切面枳为 S ,求出S关于的解析式，并求出当洌取何 值时，S肛最大值，最大值是多少25.已知：如图,在矩形ABCD中，4C是对角线，AB=6cm, BC=Zcn.点P从点 Q 出发, 沿 QU 方向匀速运动，速皮为ctns,同时，点、。从点 O 出发，沿 6 方旬匀速运动，速 朗h2c 亦 s过点Q作QMll朋交 2 于点M.倉挎PM,询运动时间为t(y) ( C/冋题再探：（2如囹2,在点

11、E. F的运动过程中，小彗发现两个有趣的结论：（Da始终竽于；弦与挣的和妬终不变；请你选择眞中一个结论加以证明. 成果运月：（3）若边长人0二3,在点龙、尸的运动过程中，记四边刑USA?周长为 GL=DE+5A-AFFD,则周长上取最犬值和最小值旺E点的位羞？7.如團，在矩形ABCD中，AB=8cm, EC= 16cm,点P从点D出发向点A运动，运动 到点、A停止,同时，点Q从点B出发问，点C运动,运动到点C即停止，点P、Q的速浚 都1cm/s连捋PQ、AQ、CP.论点卩、Qi云动的时间tits.当t力何值吋，匹边形ABQP是矩形；当L为何值吋，匹边形AQCP罡蔓形,分别求出中菱形AOCP的周

12、长和面积.8.如虱0为菱形ABCD对角线的交気M是射线CA上的一个动点M与点C、0、A帮不重合，过点A、C分别问亘絃BM作垂线段，圭足分另处）E、F,连接0E,S1图2（1）依据題意补全图形;11猜担0E与DF的数臺关系为_ .（2小东通过观熱 实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立. 小承把这个发现与同学们逬行交浣，適过讨论，形成了证明（1）中猜想旳几不惟法： 想法1:由已知备件和叢形对角线互相平分，可I丿相诰与MAE全等的三角形，从而得到 相等的线匡，再依拐直角三角形斜边中线的性质，即可证囁想；，想法2：由己知条件和菱形对角线互栢垂直，视找到两组共卅边的直角三角形，例如其中

13、 的一组AOAB和4EAB,再依I居直角三角形斜边中线的性庆，菱形四边相等，可以构造一 对以0E相OF为对应边的全李三角形，即可证明猎想.请你蔘考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可.mZADC=12呼寸，请言接与出緋殳CF, AE, EF之间訥数重关系是9. 1）（问题情墳小明邁到这祥一个冋題：如图，已知3C是等边三角形，点 Q 为边上中点，Z遊=6L, QE交等边三角形外角平分经侨在的直线于，点E ,试探究与的数蚩关系.小明发现；过。乍側交刖于松造全尊三角形，经推煙论订冋题得到解 决.诸育捞百出 Q 与谨关系，坪说日解由.（2）（类比探究）如图，当。是线段上（除场外任意一点

14、时（其也条件不变）试猜想与DE的数重关系并证明你的结论.（3）（拓展应用）当是找段砒上延长线上，且满足CDRC（其他条件不变吋，请米蜥的形 状，并说明理由.1221010 如图，直线尸-3沪4 = X细交于点C,与y轴文于点B,挖物线y=ax-+3沁经过B、C两点.（1）求抛吻线的解析式；（2）如图，点已是宜结BC上方抛物线上的一动点，当BEU面积最人则，请农比，电E的 坐标；（3在（2的结论下，过点E作y牠的平行线交直线EC于点M,连接AM,点Q是挖 物线对称栢上的动点，在葩物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点、的囚边形是 平行四边形？如果衣存，请育捋吕出点卩的坐标；和果不有在.谙

15、说明玮中.11.如图，边长为4的正方形AECD中，点卫罡边CD上一胡点，作宜结剪，过4、C、13（1）如图（a）2)如團所示，当ZdC=3Q。旺，四边形曲曲的面知(3如图(J所示，0、P在CD上运动的过程中，四边形肚CG的面稅S是否存在最大 值？如貝存在，请求出乙芳C为多少皮时，S有最大值，最丸值定多少？如果不存在，请 说明理由12.已知：如團，在四边形脑中，ARUCDfZA 伽=柯,JB = 10ran , BCzScm, QD垂直平分4C.点从点出发，沿加方向匀速运动，速度为Ts,同时，点纟从点。比友，沿 QQ 方问匀速运功，速度为Ts；当一个点停止运幻，异一 个点也停止运动过点P作皿丄曲

16、，交方于点E,过点作妙吹,分别交 Q,OD干点F, G连接，EG设运询时间为f(“(0vf0).(1)请用含a的代数式表示点P, E的坐标(2)连接0E,并把 6绫点逆腐针万冋旋转90。 得酬如图乙若点F恰好落在右日 的正半轴上，求a旦而7的值.3)如图1,当点必为 3：的屮电仏求 G 的值.15返在的前提F,并且当a时，0P的延长线上存在点Q使得西十2 PQ有最小值,14.如图，边长为6的正方形曲 8 中，分别是上的点，必丄恥，P为垂足.(1)如图，AF=B 口曲=2笛，点T是射线PF上的一个动点，见当肋T为亘角三角如戛，AEAFAEAF , ,连接CP,求证：CPCP 丄 FPFP . .

17、15边长相等的两个正方M ABCO. ADEF如園喫放，正方形ABCO的边OA、0C在坐标轴上ED交线段OC于点Cb ED的延长线交线绫3C3C于点P,:塞AG,已知OA长为曲(1)求证：bAOG=hADGbAOG=hADG若N1 = Z2, AG=2；求点G的生标;(3)在C2)争件下，在直线PE上找巨使1；丿、仏As G为丽点笊三吊形是等膘三角形，求匕点M的坐标.请直接写出承乃2 PQ笊最小值.1616.罡义：有一织邻角相笫的凸四边形叫俶“梦想匹边形”。妇矩形、第腰梯形罰是噂想四边形” （1如图1,在四边形為CD中，左圣CQ边上的一点ADHBEfBC = CE ,厶=13咒ZC =105%

18、请判断囚边形如CD是否为“梦想四边形”，幷说明理由；y = 214-6如勇2,育线3与工轴、F轴分别交干4丘两点。点尸、0分另I是线段OA府上的动点，点、卩从点。出岌咲每秒朽个单位*度的連度向点4运动，点。从点4 出发咲每秒2个单位长度的速度向点运动，P、仑两点司时出发，设运动时间为秒。 当四边形妙0为“梦想四边形“时，求*的值；如U3,抛物线尸=皿加址与工轴交于人两点，与F轴交于点C,直线= JC与抛物线交于点 64C、妙的延长线相交于点孔 四边形如X；为“梦想四边 形”，0）OC =2 . （?ZACD = ZBDCiOD，=OBQC ； BD = 2DE。17厂航J263点P（%，%）是

19、抛物线yuat3*虹+r上的一点，匸 yr,若一“ 丽恒戍立，求m的最小值。门.塚合与买践探宪几何元素之间的关系18问题情境：四边形ABCD中，点 O 是对庠线AC的中点，点E是宜线AC上的一个动点（点E与点C, 6 A都不重合,过点A, C分別作直线EE的垂线，垂足分别为F, G,连按OF, OG.（1）初步探究：如图1,已玮四达形AE；CD是正方形，且想E在线段0C上：求证AF=BGAF=BG （2）深入思者:请从下面A, B两题中任选一題作答，我迭择_题.A.探究團1中OF与0G的数蚩关系并说明理由；B如區2,已知四边形ABCD为菱形，且点E在AC的延 V 线上，其余条件不变，探究OF与

20、OG的数量关系并说明理庄,（3）_拓爲祗佃:请从下面AF两題中任诜一题作答，我诜轻_弱如图3,已知四边形AECD为矩形，且血=4,4,A.点E在直线AC上运动的过程中，若酗G,G,则FG的长为_B.点E在宜线AC上运动的过程中，若OFBC,BC,则FG的长为_18.如图，在必砂屮，ZC = 90,BCBC = = 2,2,C = 4,点P是线段Cfl上任意一点， 过点P作肋交/C于点E,过旦E作册交于点过点用作 阳&交BCBC干点G .设线段CPCP的长为x（0r2）_1用含工的代数式表示线貝M的长.（2当四询形血5为菱形E寸，求工的佰.19（3）设ACEP2走形妙G重蠡棉分團彫的面积

21、乜y,y,求丿与工之间的函数关系式.20（4）连结朋、EGEG PFEGPFEG垂直或平行旳，直接写出T的值.【典例指引】类型一 【探究动点运动过程中线段之间的数量关糸1【戟雕弓I 1】在AABC中，/ACB=45%点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合）,竝AD，以AD为在AD右侧作抄形ADEF “=或学），并迥月：CF丄BD2）應ABjtAU,且点D在线段的延长结上运动，请在图2中画岀相应的示意图, 此时（D中的结论是否成立？请说明理由，设正方形ADEF她DE号衣直线与直线CF相于点P ,若AC=4、丘,CDF,射锻CP的长.【答案】（1）=，见輕析；（2）AB抉C时，CF1BD的结论成

22、立，见樓析；（3）结段CP的长为1或3【嘶】【分析】（1）证出ZBAC二ZDAF=9O。，得出ZBAD二乙CAF;可证厶DAAFAC （SAS）,得zACF=zABD=45,得出乙ECF=zACB-zACF=90。.即CF1BD.2）过点A作AG1AC交DC于点G,可得出AC=AG,易证AGADACAF （SAS）,律出ADF=ZAGD=45,ZECF=ZACBACF=90.即CFBD3）分两种情况去解苔.点D在线段3C上运动，求出AQ=CQ=4 即DQ=4 - 2=2,易证AQ4DCP，得出对应边成:匕他 即可得出CP二：；点D右线段3C延长线1）瀬ABAC/1, ELD在线段BC上运朝MZ

23、BAD_ ZCAF（填上运动时,同理得出CP=3 .【详解】 Z.BAC=90.ZBAD*ZDAC=ZCAF+ZDAC=9OAZBAD=ZCAF故答亲为；=AB = AC4ZBAD - ZCAF在HAD和MAF中，= AFMBADSCAF (SAS)ACF=BDAZB=ZACFzB*厶BCA=90。.BCA-ZACF=90.Z.BCF=90ACF丄BD如20r示：AB 丰 AC时，CF1BD的结论成立.理由如下:过点A作GA丄AC交BC于点G则乙GAD =CAF= 90+乙CADTZACB=45ZAGD=45。AAC=AG22AG = ACZGAD = ZCAFAD = AFGAD3CAF (

24、SAS)，ZACF二zAGD二45。，./BCF=ACB+rASF=90CF丄BDED. zAPC=60j (2成立，見详解；(3AEBD【溺】【分析】(1观察脣憩 :正明ACEADCB (SAS,可得AE=ED zCAE=zBDC;过点C冋AE, DD作垂线，由三角形全等可得高相等，丙根据角分线判定定理，推出PC平分ZAPB,即可求岀必 8 的度数； 数学思考:结论成立，证明万法类似;BD. ZA?C=6O.柱由：.AADC，AECE是等边三角移CA二CD, ZACE=ECB=6O, CE=CB, rACEDCB,.AACEADCB BD;( (JL) )观祭瓮:与EQ的数塑关系为；厶4PC

25、的朗直角二形BCE,其中:妬ED交十点八则卿M与砂的关26(2)由得厶EACNBDC,vzAOC=zDOP,.APB=ZAOC+ZE/.C=180-60= 120。 过过点C向AE, RD作垂线交于点F与G由DAACEZiDCBCF二CGCP为zAPE旳角平分线: :ZAPBZAPB = =ZAPC=260O5(2)数学思考：结论仍然成立.1AADC, AECB都是等边三角形，CA=CD, zACD=rECB=60, CECB,.ZACF/DCBAAACEADCB -BD$2由得ZAEC=ZEBC,AZCEA*ZPEB=ZCBD+PEB=60, ZAPBNCBDZCE乙PEB=120。 过过点

26、P向AC, BC作垂线交于点H与I由DAACEADCBPH=PICP 为 zAPB 的角平分线ZAPB =APC=260;27(3)VAADC, AECB部是等腰直角三角形,CA二CD,ZLACD二乙ECB二90。，CEX3B,.ACB*zBCEzACB+zACDZACEzDCBAACEADCB (SAS，AEBD.【点晴】本题尿亍四边形综合题，考查了竽边三庠形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题 的关淀是正确寻找全等三角形解决i可题，属于中考压轴题.类型二确定功点运动过程中的运动时间】【狀例指引21已知：如图，在平面宜角坐标系中，长方形如C的呗点必的坐标足(6,4)71CBOA孑直接写出

27、/鈕标(_ _,e鈕(_ ,_),( (2) )如图，Q 为*屮点连接加，4 如果在第二象眼内自一点(kJ),且四边形OQP的面积足SC面积的2侥 求満足条件的点卩的坐标28oAx（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段 6 运动，嗣动点“从 点彳出发以毎秒2个单位的連度沿线段远动，当”到达O点时，訂，比丽停止 运动，运可时51足#秒）,在M ,“运动过程中.当AW = 5时，直按写出时间/的y*T畑），W巩-咛）（3丽rtmi【分析（1）根据拒形的性羡和直角坐标系中点的确走，即可求出/点坐标和c点坐标；（2）相糖旧功形皿1的面枳畏3C面积的2倍.列出壬干m的方稈.解方稈即可求

28、 出点P的坐标；3）由题意表示出DN=6-2t, MC=t,过点M惟ON得垂线ME交OA于点匸 根据勺股走理歹怡关于的方程，求解即可.ON A专29【详解】=-CM OD+-PE OD=222q 为30ix6x2+ix2x（ -m）=24可列方程为22；m=-18；F（-18,l）（3）如图，过点M作ON隹垂线ME交OA于点E，亡题竜得ON=6-2t,:AMB=4 , EbJ=6 - 3t又vAfW = 5 ,.根抿丈股宝理可列方程为带+（6-3t=5：解方程?昌=域=3.当t=l或t=3时，MN=5【名师点睛】本题考萱了矩形的性庾和直角坐标系中点的确定，勾股是理等，利用方程思想解决问题是 解

29、题的关键【举一反三】如图，QABCD的对角线AC、BD相交于点O, AB1AC, AB=3, BC=5,点P从点A出发，沼AD以每秒1个单位的速度濮点D运动.矽PO并延长交BC于 点Q -设点P的运湘恫为t ft.仃）求BQ的长，（用含t的代数貳表不25 2秒；（3）t= 5【分析】利用平行四边形的性质可证AAPOACQO.则AP=CQ,再利庠陀=必一02即可得出答案；2）由平行四功形性履可知APIBQ,当AP=BO时，四毎BQP杲平行四为形，津立一个关于t的万程，解方程即可求出t的值；（3）在RUABC中，由勾股定理求出AC的长劇 进而求tAO的长度.然后用WCWC的面积求出EF的长度，进而

30、朮出OE的长度，而AE可決用含t的代黔式裘示出来，最后在RNAOERNAOE中利用勾股定:理刃可求值.【详解】M：（1）-四边形ABCD是平行四边开久.-.OA=OC, ADIIBC,.Z.PAO=ZQCO,7AOP=Z.COQ,AAAPOACQO （ASA）,.AP=CQ=t,.BC=5,BQ=ECCQ=5-t;Q J =尹:血 g4C=BC 尊.3X4 = 5XEF,册=5A5 , OE AP的垂直平分线，1 1AAE=2AP= 2“ ZAEO二9。，2B宙勾股定理箒AEOr=AO.（沖（$七,1616：=t=5或号（金去）f=16.当一5秒时，点0在线段AP的垂直平分线上.【点晴】木题土

31、要考查了平行四边形的判定:及性底以及动点问题，拿握平行四边形的判运及性廣,以及勾股定理是解題的关键卿二【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系1【典般弓13】己磁形中， =10cm, BC = 20cm,现有两只蚂蚊p和0 同时分别从处同时分别从处 27 出发，出发，沿沿=阳一阳一 6-皿方向前进，阳护每秒未皿方向前进，阳护每秒未 1cm,好蚊好蚊0每秒走2cm 问：1）怙較岀为后 2RQ第一次杲等腰二角形需要It行几矜？ 0两只蚂載最快紀行儿秒后，直线 他与边45半行？10【隼】（1）蚂蚁出发后們。第一友是等腰三毎形需要爬行亍秒；（2）P、Q两只蚂 蚊最快吧行20秒后，直线PQWAB【

32、嘶】【分析】（1）首先设妈奴出发后BQ第一次是等腰三角形需要爬行t札 可寻方程：10-t=2t, M此方程用可求得答幸；（2）首先设P、Q两只蚂蚁最快爬行x秒后,直线PQIAB,可得方程：x-10=50-2x,解此 方程即可床得笞秦.D2?KW1设蚂蚁出发后LPBQ第一次是尊腰三角形需雯爬行i秒，四边形是长方形，z9Ch,:A P=tr)rfBQ=2trmfJPB=AF-4 P= 10-t(cm),】0十2上，解得：t=T,10吗蚁出发后第一次是尊股三角形需栗爬行T秒；设尸、Q两只蚂蚊最快吧行x秒后，直线PQAB,-ADIBC,.四功形ABPQ平芍回功形，: A&BF才1 =50-2小

33、解得:庐20,；P、Q A只鉗蚊最快爬厅20渺后，宜线PQWABi【名师点睛】此题考童了矩形的性质以及等膳三角形笊性质.此题难度适中，注意拿握数形结合思想与 方程思想的应用.【举一反三】如图，平面直角坐标系中，直线！分别轴、y轴于A、B两点AO5-i(0/2)3)存在，点Q的坐2x/3标为(-1, 0), (1 , 2), (, -2)； (1,3)【瞒】【分析】1)根据方程求出AO、AB的长，再由AB：AC=1:2求出OC的长，即可得到答案；(2 )分点M在CB上时，点M在CB运长线上时，两种情况讨论S与t的函数关系式；(3)分AQ=AB,BQ=B.4,BQ=AQ三种情况讨论可求点Q肘呂标【

34、详解】AOT, ABP,0),谢=J如j2j3S=l_2i23)冇在，1当AB杲菱形的边时，如固所示，38此题考查一次函数的综合运用、解一元二次方程，解题过程中汉意分类讨论.类型四【探究动点运动过程中图形的最值冋題】3【典蚀弓I 41如團，觀密尸曲-4x+e与丄轴桂汙点川(0) )%B( (4, 0) )j*1物线和GW分别交干点m E,点p 在 BC下方的欄物煖卜运动.(丄求该抛物钱的解析式；2) )当 2QE 是以DE为宜边的等腰三角开细L求点P的坐标；( (3当四边形4CPB的向积最大时，求点P的坐标并求出置犬值.331311尸* 社-3; (2) P (3, - 8) )；点p Q,-

35、 ,最大值为12【嘶】【分析】(1)用交点式设岀馳物线的表达式，化为一般形式，根府笔数之间的对边关系即可求辭;与7轴相交于点C,BC9以线段QC为直径作QW,过点C作直线CEIAB,与39(2)根据(1)中笊表达式求出点C (0, -3),函数对称铀为：x=l,则点D (2?-3),40点E4, -3),当DE是以DE为底边的割更三角形时， 点P在线屋CE的中垂线上, 据此即可求解；3)求出宜线BC的表达式，设出P、H点的坐标，根据匹边形ACP3的面积二S-ABC+SiBKP+SACHP行计算，化汽顶,式即可求解【详解1)抛物线的表达式为：y=a x+2) (x-4) =a ,-2* 4函数对

36、称轴为：x= 2=1,CEIIAB.点.D(2,-，点E(4, -3),2+4则DE的中垂线为；x= 2=3,3313兰*=3时，y= 8X2-4X-3=-S,13故点P 3, - ) j3)设亶线BC旳鮮祈式为y=kz+b,J4A +& = 0艳E (4,0)C(0,解得：413宜结BC的表达式为:y= *x-i故点P作y柚的平行线交BC于点H,33设点P 8疋-4&-3)，则点H 53-0,故四边形ACPB笊面股有最人直为12,此时，点P-D 【名师点睛】本题考查的罡二快因数综合运用，涉及到一次因魏的性质、圆的基本知识、面积的计算等, 综合性强，拿握中点坐标公式及作辅助线的

37、方法定关键.【举一用二】已知：如图在A/1EC中BC=6cm P由出发，沿方问匀速运动速度 为lcM.同也 点Q从点A出发，沿/4C方向匀速运动.速度为cE过点P忙PX4丄BC交AB于点M.过点Q作QN丄BC,垂JE为点N连接MQ,若设运动时间为 血）（）（0/=3），解答卜列I1橇：1）当上为何值时，点M是边AB中点？四边形ACPB2 3x6+2 HPXOB=94 “4*( r 一3M+422设四边形加01的面积为血亦”求By与2之间的函数关系式；（3）是否存存某 TTOc 使$PQ边形JW0M:SA4C=4Q?若存衣，求岀此时f的值；若 不存在，说赠由；43边形PNQM为正方形?若冇在，求

38、岀此时的值,若不有3【答（1）当十为2$时，点M杲肋中点、；（2y吕十的函数关奚式杲82 x5+6二y巧）（3/的值为（4?不存在，理由见解护.【蹄】【分析】BM BP（1求出3D=3,银掳莎一丽，即可求出间t,（2）光劣蜥出小仍沁，进而得出MP,冋理表示出QN和UN,広后利用橈形面积 公式进行计貞即可得出结i仑；（3根据（2）中所求，结合面枳之间的关系建立方程即可得出结论；4）假设存在，先利用PM=Q N求出t,进而求出PM, PN,判断出PM杆N印可得出结 论.【详解】解；（1过点A作ADXEC于点D,PM丄EC,PMNAD,BM BP.-.AB 一 BD ,点M是AD中点BM1:丑=耳,

39、 Q一2，4）是否存在某 Th在，请说瘀由.35VAB = AC，BD = CD = EC= 3. 2BP=t,3即当t为时，点、M定AB中点;2）过点A作AD丄BC于点D, vPMUD,AAMBP-AABD,MP BP7AD = J 宁-3, =4 ,MP t.为，MP 丄 $ ,同理，AQCN-AACD.CQCNAC=AD=CDfC2=5T.4433QN-（5_*）-4_-t CN-；（；（5_心_；*土（MP亠纠）皿=y =S I I PNQN产即y与t的的数关系式是y（3若S闪边形PXQM：SQC=4: 9,则y= AABC,-5C D=-x6x4=12SABC=2287545f,+6

40、=-xl2A759 = &三-解得2 .2 2（不合題意，舍去）,5l的值Z) = s；（3）若四边形PNQM为正方形，贝I需満足PM = QN, PM = PN,4 . 4一PM = QN时，35、154 4 15 5. 2一2 1,乡t = /=x二一3r x=当8日寸，PM= 3 3 8 2,PN二55 8 4,不存在.【点晴】此题定囚边形综合题， 主要考查了相似三角形的判定禾性质、 等般三角形的性质、 勾股定 玮、糅影和三角彩的面枳公式、解一元一次方稈以乃卩方形的件话等钏识点.解本懸的并 键是用万程的忍想隼决冋题.【新题训练】1.姻，A4BC罡等边三角形，点P是上一动点（点P与

41、点歩、C不重合,过点PPMlLiC交/IB于AfpPUAB交于2VP槪册、CM 1）求证：PMPN=BCi（2在点P的位赏变化过程中，是否成立2试证明你像论，加一条或几条线段，使團成轴对称團形（画出一訛即可.【答案】（1）见解析；（2）结论成立，浬由见解析；（3）见解析【蹄】【分析】 PNlAB:.ZACB=6QG, ZCPN= AABC=6d,BMP, A（W?等边三角形，： OP乙 CPN 二时,PN=PC, FN二PC,I：0PH 隘 HP6APM=FB. PN二PGmc=Ba:.PMFN=BC9=52.【腼】【分析】利用矩形的性贡及平行线的性质，可证ZDCG=ZMAG, ,ZCDG=Z

42、AMG,AGMSAGGD,再利用相似三角形的对应边相尊，可得比例线段，然后证明DC=AB=2AM,門可证得CG与AG的劭量关系利用4股运理， 分别柬出AC、DC的长， 冉分惜况讨论： 当ZDEF=ZDCG时，DEFsADCG;当ZDEFZDGC Dl. ADEFADGC,分别利用相似三角形的性质， 得出对应边成比例，即可求出EF的长.(3)作GH丄DC, FN丄DC,易证厶DNFsAMAD,可证对应边成比例，求出NF的长，再 根据S|，l3；CEKr$dDCG-%EF，可得到$弓t的团数解祈式， 再利用二;殛数的性质， 可求 岀四边形CEFG的匝积的最小值.IW1证明：(I)右矩形ABMD中，

43、AB/DC,ZDCi3=ZMAG,ZCDG=ZAMG,.AAGMsMGPCG DC. AG _ AM 点M是边AB的中点.：.DC=AB=2AM,CG. AG =2, CG即CG=2AG(2)在RtAADC中，由勺股定理得-極71065,2庄得CG=2AG, CG=WAC=4佰，同理得DG=10当ZDEF=ZDCG时qDEFs/kDCG49EFDE.-即455，解得EF二丁50当ZDEF=ZDGC时,ADEFS厶DGCEF _ DE HF = 12L3CG=DG10得护 作GH丄DC?FN丄DC.设运动时间为t,则DF=DG-F3=lU-tT ZDNF=ZDAM,ZNDF=ZAMD,.DNFS

44、MADDF FN 10-t FN40-4t 5A片卩LT12,解得NF二5 S I* hi If CEFCSgCGS乙DEF当=5时,S Fiia形cEFG/h=52【点睛】本题考登了矩形的性质，相似三角形的动点冋題,以及二燔数的实际应用，熟练拿渥矩 形的性质判走相似三角形,然后利用相似三角形的性质求出边长并建立二;逊数模型罡解 題的并键.3.知识链接： 将两个含32角的全等三角尺放在一,让两个32角合tt-6(F,经过 拼凑.观察.思考，探究出结论直角三角形中，3( (r角硕对的直角边等于斜边餡一半.如區L等边三角形AM的边长为如n,点D从点E岀发沿CA向A运动，点E从E岀 发S AB的延长

45、红BF向右运动，已頑D E都以每秒0.5cm的速虔同时卄始运动，运动过程中DE与BC龈于点P ,设运动时砸x秒.(1)谙育樓写出AD长.(用*的代数式表示)(2)当AADE为直角三角形时，运动时间为丿代？厶5论12丄Qx性4t J403 2 25+5245求证在运动过程中，点P始终为线段DE的中民【答秦】（1加片40九,=90o, CD=0.5x, BE=0.5x；AD=4-0 5x, AE=4+0.5x,厶EX30。/.AE=2AD,S.4+0,5x=2 （40.5x.x=3.8答：运幻孕秒后，AADE为直角三角形；（3）作DG/ABXBC于点G,.-.ZGD?=/BEP, ZCDG=ZA=

46、60% ZCGD=ZABC=60,52.-.ZC=ZCDG=ZCGD.CD?是等边三角形CG=D6DC=EE DG=BE在ADEF不口AEBP中，ZGDP=BEP, ZDPG=ZEPB, DG二EB，；.ADGP22AEBP/ DPPE在运动过程中，点P始终九线段DE酣口点.(2-4)两点，点P杲槌物线卜不与么，5重合的一点a当点P在薛AR上方时，过点P杵y柚的平行线交言线M于点C ,谡点P的横坐标为 r 止的KJZ,求HZ关于 E 的解析式,CO存( (2的阜础卜，谤A彌而积为S,求HS关干皿的解析式，并求出当矽取何 値时，S取最大值，最大值定多少？1 (1) * = -1,&=一2

47、,a=-lj( (2) ) = -ma+m+2(-lm2).当w1Z7空时，S取最大信，最大值为8【嘶】【分析】(1)把A、B坐掠分别代入挖物线和一友函数解析式可求出a、b、k的值；(2)根抿a b、k的值可律抛物线和直线AB的解析式，根振P点権坐标为m可用m表示F、C两 点坐标，根据两点间距离公珅卩可得匚与m的关系式,3)如图， 作AD丄PC于D,陇丄PC于E,根据弘=仏可用小表示出脇配方求出_次阳的最值即 可得答案.45【详解】1点A 在圧（2）图象丄, （1）%=1 解得：解得： 一一 1,点A（11、B（2,/）在一次因数WZWZ的图象上，（2）/*=-! , 6=-2尸1,/.育线A

48、B的解析式为尸一工一2.期物线的解析式次y = -,点P在拢物线上，点c任直线AB上，点P横坐豕为叫PC 旳轴, P（啊-別）C（w,w2）.关于的解折式：=*n（-i5v2）（3）女口團， 作AD丄PC于D, BE丄PC于E, AD=m+l, BE=2m1 1：S=2PC AIX 2pcBE=壬伸41）（）（ +十2）（2-解）（-討* = 一1，b=-J=空(JR，配方得:54_ 1Z7.I当“二办寸，S取最大值，最大值为丈本题考查徒定系数法求二快因数解析式及二次因魏的最值，熟练运用配方法求二次函数的最值是解題关進5 已知二如iL3&ABCD中，乙C是朋线， 4Z?BCScm-勺lcmsf同寸，点。从点C出发，沿CB方向匀速运动，速皮为2切如 过点0作 QMHAB 交于点Af，连接皿b设运动血间为八$）（U z4）-解答下列趣：请说明理由,（3当为何值时，点P在ZCAD的角平分线上.8发，