2018年高考数学黄金100题系列第17题幂函数文

1、1第 17 题幕函数I 题源探究黄金母题【例】已知幕函数y = f (x)的图象过点(2, 比)，试2求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性.J2m1【解析】设f(x)=xm，则=2，解得m=-丄，2 21所以f(x)=x，定义域为(0,二)，是非奇非偶函数，1：0 , f (x)在(0,=)是减函数，图像如下：2II .考场精彩真题回放【例 1】【2014 高考浙江卷】在同一坐标系中，函数af(x)=x (x 0),g(X)=logaX的图象可能是()精彩解读【试题来源】 人教版 A 版必修 1 第 82 页复习 参考题 A 组第 10 题【母题评析】本题考查幕函数的解析式、图象

2、、奇偶性、单调性，是基础题是高考重要考点 之一.【思路方法】求幕函数的解析式常用待定系数 法，研究幕函数的定义域、值域、奇偶性、单 调性常用图像法，在研究函数性质时， 一定要 先求定义域，注意幕函数与指数函数的区别， 注意不同的幕函数定义域、图像、性质可能不同.【命题意图】 本类题通常主要考查幕函数的图 像与性质的应用.【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基 本以选择题或填空题的形式出现，难度较小， 往往与不等式、函数性质等数学知识相结合， 考查幕函数的定义、图像与性质.【答案】D【解析】对 A,没有幕函数的图象，不符合题目要求；对【难点中心】幕函数因幕指数不同其定义域、值域、图像、奇偶性

3、、单调性也不同，故解决 幕函数问题，要根据解析式，首项求函数的定B ,f(x) =xa(x 0)中a 1,g(x)=logax中0 a：1,不符合题意；对 C,f (x) = xa(x 0)中0 a 1,g(x) =logax中a 1,不符合题意；对D,f(x)=xa(x 0)中0：a：1,g(x)=logax中0 ”：a 1，符合题意；故选D.义域，根据幕指数确定其图像与性质， ，熟记 不同范围幕指数所对函数的图像与性质， 是解 题要熟练处理与幕函数有关的问题的关键.232 1【例 2】【2014 上海卷】若f(x)=xX。，则满足f (x) 0的x取值范围是.【答案】(0,1)1 2【解析

4、】根据幕函数的性质，由于12,所以当232 1 2 10 c Xc1时x3 X2，当XA1时，x3A x2，因此f (x) (R)的函数称为幕孙函数，其中x是自变量，:-是常数.考点二幕函数的图像与性质1 -1 幕函数y二x, y=x2,y=x3,y,y=x2的图象x2 幕函数性质y =x2y = x3y = x1y = x21 y=-x定义RRR0上)(_oo,0)U(0,邑)4域值域R0,址）R0,切（A,0）U（0H）奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数（o,0）减函数，（0,址）增函数增函数增函数（o,0）减函数，（0,丘）增函数定点(0,0)，(1,1)(1,1)I

5、V .题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、不等式等数 学知识结合考查幕函数的图像与性质.【技能方法】1.幕函数y=X（：R），其中:为常数，其本质特征是以幕的底X为自变量，指数:为常数，这是判断一个函数是否是幕函数的重要依据和唯一标准.2 .在0,1上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴（简记为“指大图低”），在（1 ,+ ）上，幕函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.3幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三 象限内，要看函数的奇偶性；幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限

6、内；如果幕函数的图象与坐标 轴相交，则交点一定是原点.【易错指导】（1） 在掌握幕函数时，注意幕函数系数为1,底数为自变量，指数为常数这一特征；（2）注意幕函数的指数定义域、值域、单调性、对称性与幕函数的幕指数有关；（3）注意幕函数与指数函数区别.V.举一反三触类旁通考向 1 幕函数的概念与表示【例 1】【2018 河南三门峡模拟】已知幕函数f x二n22n- 2 xnnZ的图象关于y轴对称， 且在0，:-上是减函数，则n的值为（）A.-3B. 1 C . 2D . 1 或 2【答案】B5【解析】由于/(力为墓函数J所 + 2n-2 = f解得1或 =-3,经检验只有】适合题青.【例 2】【2

7、018 宁夏银川模拟】已知幕函数y二f (x)的图象过点(2,-)，则()2A.f.f(2)B. f(1)：f (2)C. f(1)=f(2)D. f(1)与f(2)大小无法判定【答案】A选A.【跟踪练习】故切线方程为y-16=32 x-2，即y=32x-48，故选 A.【解析】设f (x) =xa，则2a一1，即f(X)二2，在0 )上是减函数，所以f(1) f (2)故1 .【2018 黑龙江哈尔滨模拟】若幕函数2y = (m _3m 3)m2_m_2x的图象不过原点，则m的取值是()A.-1Emd2B.m=1或m=2C.【答案】D【解析】由黑函数的定义，可得j = (/n2-3m+3)m

8、23m + 3=1= m =m m21B.x R,且 x 工1【答案】D【解析】x T式0, x式1，选D.考向 2 幕函数的图像【例 3】 【2018 湖北鄂东南省级示范高中高三上学期期中联考】若幕函数y =x=y二Xm与y二xn在第6象限的图象如图所示，贝y m与n的取值情况为()7尸1-OixA. 1：m：0 : n：1B.一1：n：0：mC. 1：m 0：nD. 1： ：n：0：m 1【解析】在第一象卩艮作出幕函数尹=才，y=, y=x,卩=1的图象，在1）内取同一值/乍直线葢二兀卩 与各厨象有交点，则由嘴大厨高3可知如图，0,（X丄，再判断函数的走向，结合團形，选出正确8 2的答案*

9、 丁圈数團象上的特殊点故排除釦 3 由特殊点（8, 2X 1 ; y = x*单调递减，贝IJZXOJA：护0不一走成立，如a = 3上=1 j B: d十占 A0不定成立 如a二2上=3 C：ab 1不成立：db cO的英D：1亦2 Qb成立-3 .【2017 河南周口市上学期期末调研】已知指数函数-（且-1）的图像恒过定点 ，若定点 在幕函数的图像上，则幕函数* 的图像是（）【答案】A【解析】令ir,_l：1，l 卩时，二;；-E，即指数函数；1门一十？（ 且 ）的图象恒过定点，又因为定点在幕函数的图象上，所以，即，解得 ，则3在定义域（也十“）上单调递增，故选 A.考向 3 幕函数性质【

10、例 6】【2017 江西赣州模拟】幕函数的图象经过点：,则 是（）A.偶函数，且在上是增函数 B 偶函数，且在上是 减函数C.奇函数， 且在上是增函数 D 非奇非偶函数，且在上是增函数A BCD11【答案】C412_ 1 1【解析】设幕函数为，代入点，解得 ，所以，可知函数是奇函数，且在+尺)上是增函数，故选C.【例 7】【2017 河南新乡二模】设a=60.4,b=log0.40.5,c = log50.4，则a,b,c的大小关系是()A. a : b : c B . c b：a C . c : a：b D . b：c：a【答案】B【解析】由于 =6M6=l1O = logO4QlogO4O

11、.4 = K;=1cg5O.4bc应选答案B.11【例 8】【2018 内蒙古集宁一中模拟】设G乏 J13 ,，则使得函数y =X。的定义域为 R 且为奇函数I2 J的所有:-的值为()A. -1 , 3 B . -1 , 1 C . 1, 3 D . -1 , 1, 3【答案】C【解析】由题意】-1,3，当：二-1时尽管也是奇函数，但定义域是x = 0，应选答案 C .【跟踪练习】1设a0 且a丰1，则“函数f(x)=aX在 R 上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a)x3在 R 上是增函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A.x3【解析】

12、p: “函数f(x)=a在 R 上是减函数”等价于0：a：1； q： “函数g(x)=(2-a)x在 R 上是增函数”等价于2 -a 0，即0：a：2,且a工 1，故 p 是 q 成立的充分不必要条件故选A.2.【2018 东北师大附中模拟】已知幕函数f(x)二xn,门仁2,-1,1,3?的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是()A.f( -2) f (1)B .f(2)：fC .f(2) = f(1)D .f(2) f(1)【答案】B【解析】 由于幕函数f (x) = xn的图象关于y轴对称，可知f (x)二xn为偶函数，所以n= -2,即13-21f(x)=x.则有f(-2) = f(2)

13、,f (-1) = f(1)=1，所以f (-2)：f(1)，故选B.3.【2017 浙江省余姚中学二模】已知幕函数f(x)过点(2八2)，则满足f(2-a) f(a1)的实数a的取值范围是.【答案】1,3)2【解析】可得黑函数畑=臭且函数在其定冥域6十00)上单调递増.因所臥f 2-a0白ino，解得所实数日的取值范围是!.-) 匕-口Ad-1 考向 4 幕函数的综合应用【例 9】【2018 山东滕州三中模拟】已知幕函数 f (x) =xa的图象经过点(2, 4),则下列判断中不正确的是( )A. 函数图象经过点(-1, 1)B. 当 x - 1, 2时，函数 f(x)的值域是0 , 4C.

14、 函数满足 f(x) +f (- x) =0D.函数 f(x)的单调减区间为(-a,0【答案】C【解析】由题意可知2a=4 ,a = 2，所以f x =X2，所以f -1 =1, A 对，x - 1, 2时，函数 f(x)的值域是0,4,B 对.在(-a,0上单调递减，D 对，偶函数，C 错，选 C.【例 10】【2018 山东济宁微山县二中高三上学期第一次月考】下列命题正确的是()A.的图像是一条直线B.幕函数的图像都经过点-:C.若幕函数是奇函数，则是增函数D. 幕函数的图像不可能出现在第四象限【答案】D【解析】对于，函数的图象是一条直线除去点，故 错误；对于，幕函数的图象都经过点，当指数

15、大于 时，都经过点，当指数小于 时，不经过点，故 错误；对于，若幕函数是奇函数，且 时，是定义域上的增函数，时，在及 +宀)上均为减函数，故 错误；由幕函数的性质，幕函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，正确，故选D.14【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查幕函数的单调性、幕函数的奇偶性、幕函数的图象与性质，属于难题这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处 知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条 件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.【例 11】【20

16、17 河南濮阳模拟】当：时，下列函数中图象全在直线下方的增函数是()1A. 丁一； B .C . .： 一 D .【答案】A【解析】因对任意龙EQ, +都有1 1 1x Ta 1) 0 x工 1) Dj x x3=x(l x) x x3= x(l 4-x)(l x) 0A. -4 或-2 B . -4 或 2 C . -2 或 4 D . -2 或 2【答案】BI0:0【解析】f()=4或2，解得：-=4 或=2,故选 B .-4:=42I-x22.已知函数f(x)二/，若关于x的方程f(x)二k有两个不同的实根，则实数k的取值范(xT)3,x2围是_ .15【答案】(0, 1)16【解析】/

17、(x) = -(x2)单调递减且值域为(0, 1,=单调递増且值域为(7儿X/W = A;有两个不同的实根，则实数氏的驭值范围杲0 1)，1 13若(a+1)一3(32a)3，则实数a的取值范围是 _.【答案】-23d-(32_ 1 _ 1【解析】不等式(a+ 1) 了3_2a0 或 3 2aa+ 10 或a+ 103_2a.4 .已知幕函数f (x) = (m 1 f在(0,址)上单调递增，函数g(x)=2xk.(1) 求m的值；(2) 当1,2耐，记f x ,g x的值域分别为集合A, B，若AU B = A，求实数k的取值范围.【答案】(1)m =0(2)10,12【解析】(1)由幕函数的定义可得(m -1 ) =1,解出m的