中考数学几何压轴题及答案及答案

1、中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1. 观察猜想（1）如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC=3,点。与点A重合，点E在边BC上，连接庞，将线段庞绕点。顺时针旋转90°得到线段逐，连接BF,BE与的位置关系是,BE+BF=；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD=,其余条件不变，如图，判断昵与的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程：拓展延伸（3）如图，在/XABC中，AB=AC,ZBAC=a,点。在边BA的延长线上，BD=n,连接Of,将线段DE绕着点。顺时针旋转，旋转角ZEDF=a,连接BF,贝ijBE+B

2、F的值是多少？请用含有”，a的式子直接写出结论2. 在ZXABC的边BC±取、C两点，使匕AB'B=ZAC'C=ZBAC（1）如图1中匕BAC为直角,ZBAC=ZAB'B=ZAC'C=90°（点B与点C'重合），则MBCsMBAs/XCAC,舛=°,粉°,进而可得AB2+AC2=；B，BABCCAC（2）如图2中当ZBACJ锐角，图3中ZBAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则A+AC2等于什么（用含用8C和B'C的式子表示）?并说明理由（3）若在A8C中，曲=5,AC=6,BC=9,请你先判断出

3、ABC的类型，再求出8C的长如图1,在RtAABC和RtZCOE中，ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=45°,点D是线段AB上一动点，连接战填空：丝的值为；ADBE的度数为.AD(2) 类比探究如图2,在RtAABC和RtACDE中，ZACB=ZDCE=9Q°,ZCAB=ZCDE=6Q°,点D是线段AB±一动点，连接BE.请判断瓯的值及ZDBE的度数，并说明理由；AD(3) 拓展延伸如图3,在(2)的条件下，将点。改为直线AB±-动点，其余条件不变，取线段DE的中点连接BA/、CM,若AC=2,则当CBM是直角三角形时，

4、线段BE的长是多少？请直接写出答案.4. (1)问题发现：如图，在ZkABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D是8C的中点，以点D为顶点作正方形DFGE,使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF.则线段BE和AF数量关系.(2) 类比探究：如图，保持ZVIBC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转a(0°<aW360°),则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.(3) 解决问题：若BC=DF=2,在(2)的旋转过程中，连接AE,请直接写出AE的最大值.GG5. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与交于点0,以点。为顶点的/E

5、OF的两边分别与边A8、AD交于点、E、F,且ZE0F与ZBAD互补.（1）若四边形ABCD是正方形，则线段0E与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD=m：n,探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6. 如图（1）,己知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE±BC,垂足为点E,GFLCD,垂足为点F.（1）证明与推断： 求证：四边形CEGF是正方形； 推断：證的值为：（2）探究：与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°<

6、a<45°）,如图（2）所示，试探究线段AG与8E之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与使用：正方形CEGF在旋转过程中，当8,E,F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交于点H.若AG=6,GH=2血,则BC=.7.如图 1,在ABC 中，AB=AC=2, ZBAC=20°,点。、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.探索发现：若将绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中理的大小有无变化？请仅就图2BE的情形给出证明.（3）问题解决当CDE旋转至A,D,E三点共线时，直接

7、写出线段8E的长.8.己知ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线上，且OA=6,点。是射线OM上的动点，当点。不与点A重合时，将ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到BCE,连接DE,设OD=m.（1）问题发现如图1,CDE的形状是三角形.（2）探究证明如图2,当6<m<10时，的周长是否存在最小值？若存在，求出BZJE周长的最小值；若不存在，请说明理由.（3）解决问题是否存在”?的值，使ADEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值：若不存在，请说明理由.9. 等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,ZBAC=ZDAE=90°,AB=4,AE=2,其中

8、ABC固定，人DE绕点A作360°旋转，点、F、M、N分别为线段BE、BC、CD的中点，连接"V、NF.问题提出：（1）如图1,当AD在线段AC上时，则ZMNF的度数为,线段初V和线段NF的数量关系为深入讨论：（2）如图2,当AD不在线段AC上时，请求出/MNF的度数及线段粉和线段*的数量关系；拓展延伸：（3）如图3,AADE持续旋转过程中，若CE与BD交点、为P,则BCP面积的最小值为.10. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等.它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感.（1）如图2,在四

9、边形ABCD中,AB=A。,CB=CD,则AC与BD的位置关系是,请说明理由.（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC,AO之间的数量关系，请写出证明过程.（3）问题解决：如图3,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.11. 问题发现：如图（1）在RtAABC和中，ZA=ZDEB=°,BC=BE=6,RtABDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，与AE的位置关系为，位7与AE的数量关系为：问题证明：在RtABDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论

10、是否仍然成立？若成立，清就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在RtABDE绕点B旋转的过程中，当DE/BC时，请直接写出BH?的长.12. 如图1,菱形ABC。与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且ZBCD=(1) 问题发现迪的值为：BE(2) 探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转a角(0°<a<60°),如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3) 拓展与使用：菱形GECF在旋转过程中，当点A,G,P三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AO于点H,若CE=2,GH=福，则AH的长为.1

11、3. 如图，在RtAABC中，NAC8=90°,匹=旦，CDLAB于点D,点E是直线AC上ACn-动点，连接DE,过点。作FQ丄ED,交直线8C于点F.(1) 探究发现：如图1,若m=n,点E在线段AC上，则座=；DF(2) 数学思考： 如图2,若点£在线段AC上，则器=(用含”?，”的代数式表示)； 当点E在直线AC上运动时,中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明;(3) 拓展应用：若AC=5,BC=2DF=4血,请直接写出Cf的长.14. 如图，已知点E是射线BC±.的-点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG,连接AF,取AF的中点连接。

12、M、MG(1) 如图1,判断线段和GM的数量关系是，位置关系是：(2) 如图2,在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？说明理由；(3) 已知BC=10,CE=2,正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出DMG的面积.NMd吊互湃旱黒*3=av，铀魏早冃MH*以V草形3QV駐'痢喪劉财英）.甲通函菓（乙）EWz孤混干前显書*/网倾d祠i'轴致回早向州旅混V草蓊夂77"）国斯*BbWS（3）（跋矛関纽勢三摇秒醇）音N&中（I）®*WWW（I）NWWdMd&Q澎凝，草中関D9，Q

13、9勺&耆哈好/WTV草338湃罪V=GV*T3V用U愈丑哈好8'草'+Dgy定勢三終短期*（1）1-91黒皐姓土駐：進團W啓风。用，孙缰東间吊亲丑牡辛啓丑姓是耆困叩风a应佑/県团翌蝶崑同丁騎四再関.3D'*。丑陥好。a草県由既尽书埶五（£）羽関Q/瓦舫*'莉草中関4伝物实草还历。&勻占/浪'乙图耶（Z）：联鉗仞.VJV7'州号車*旨”宗*1®0?J（I）刁d草土以潟草还暗0，矽'WD够商"，&'V实咯好草如快関gV草）。用/傾哥钻致耳期浙。草5SD8V蛛DV”w舫覃刘g草：K*

14、Z=JV，e=gv*o06=«VZ，市3ffVV»HB'SI17.已知ABC,AB=AC,。为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AO=Af,设ZBAD=a,ZCDE=p,(1) 如图1,若点D在线段BC上，点E在线段AC上.ZABC=60°,ZADE=10°,则。= ° "= (2) 如图2,若点。在线段BC上，点E在线段AC上，则a,0之间有什么关系式？说明理由.(3) 是否存在不同于(2)中的a,B之间的关系式？若存在，请写出这个关系式(写出-种即可)，说明理由；若不存在，清说明理由.图2(1) 如图1,在四边形ABCD

15、中，连接AC、BD,AB=AD,ZBAD=ZBCD=90Q,将ABC绕点A逆时针旋转90°,得到ADE,点B的对应点落在点。，点C的对应点为三角形,BC、CD、AC的数点E,可知点C、D、E在一条直线上，则/XACE为.量关系为探究发现：如图2,在。中,AB为直径，点C为AB的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD.AC、BC、BD,且ADV8D,请求出CD、AD、间的数量关系.拓展延伸：(3)如图3,在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC=13,平面内存在点E,且AE=10,CE=13,当点Q为AE中点时，PQ=图1图2图319.已知/XABC中，CA=CB,0

16、6;<ZACB90°,点、M、N分别在边CA,CB±（不与端点重合），BN=AM,射线AG/BC交延长线于点。，点E在直线AN上，EA=ED.（1）【观察猜想】如图1,点E在射线N4上，当ZACB=45°时，线段BM与AN的数量关系是：（2）ZBDE的度数是：（2）探究证明】如图2点E在射线AN上，当NACB=30°时，判断并证明线段与AN的数量关系，求ZBDE的度数：（3）拓展延伸】如图3,点E在直线AN上,当ZACB=60°时，AB=3,点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线交于点F,请直接写出线段CF的长.20.如图，在正方形AB

17、CD和正方形AB'CD'中，AB=2,AB，=桓，连接CC'（2）拓展探究：将正方形ABCD'绕点A逆时针旋转，记旋转角为。，连接8B，试判断：当0°W0V360。时，竺一的值有无变化？请仅就图中的情形给出你的证明；BB（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C,C，”三点共线时88'的长.21. 如图1,在正方形ABCD中，点O是对角线的中点.（1）观察猜想将图1中的8CQ绕点O逆时针旋转至图2中ECF的位置，连接AC,DE,则线段AC与OE的数量关系是,直线AC与。E的位置关系是.（2）类比探究将图2中的绕点。逆时针旋转至图3的位置，（1

18、）中的结论是否成立？并说明理由.（3）拓展延伸将图2中的在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M,若AB=4,请直接写出的最大值与最小值.22. 如图1,点B在直线/上，过点B构建等腰直角三角形ABC,使/8AC=90°,且AB=AC,过点C作CD丄直线/于点。，连接A。.（1）小亮在研究这个图形时发现，ZBAC=ZBDC=90°,点A,。应该在以BC为直径的圆上，则ZADB的度数为°,将射线AD顺时针旋转90°交直线/于点可求出线段AO,BD,CD的数量关系为：（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AO,BD,CD

19、的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CZ）长为1,当A8D面积取得最大值时，清直接写A。的长.点A重合，三角板的边交CD于点、F.另边交C8的延长线于点G.（2）探究证明：如图2,移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，靖给予证明：若不成立.请说明理由：（3）拓展延伸：如图3,将（2）中的“正方形ABCD''改为“矩形ABCD且使三角板的一边经过点其他条件不变，若AB=a.BC=b,求哥的值.24,如图1,在RtAABC中，ZB=90°,AB=2,BC=1,点D,E分别是边8C,AC的

20、中点，连接。E.将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.（1）问题发现 当a=0°时，瓯=BD 当a=180°时，业=BD（2）拓展探究试判断：当。Wa<36。时，蒂的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当EQC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段的长.25.在中，AD为BC边上的中线，E为AO上一动点，设DE=nEA,连接CE并延长,交AB于点F.（1）尝试探究如图（1）,当ZBAC=90°,ZB=30°,DE=EA时，之间的数量关系是.（2）类比延伸如图（2）,当左ABC为锐角三角形，DE=EAt,（1）中的结论是否仍然成

21、立？若成立,请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3）,当/MM为锐角三角形，DE=nEA请直接写出BF,酗之间的数量关系.26. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为："-切平面图形中最美的是圆请研究如下美丽的圆.如图，线段AB是的直径，延长A8至点C,使BC=OB,点E是线段08的中点，DE丄交。于点。，点P是00上一动点（不与点A,B重合），连接CD,PE,PC.（1）求证：CD是。的切线；（2）小明在研究的过程中发现黑是一个确定的值.回答这个确定的值是多少？并对小PC明发现的结论加以证明.27. 定义：三角形一个内角的平分线和与另-个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称

22、为该三角形第三个内角的遥望角.（1）如图1,ZE是中ZA的遥望角，若ZA=a,请用含a的代数式表示NE.（2）如图2,四边形ABCD内接于。0,金=窃，四边形ABCD的外角平分线DF交。于点F,连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：/BEC是ABC中ABAC的遥望角.（3）如图3,在（2）的条件下，连结AE,AF,若AC是。的直径. 求ZAED的度数； 若AB=8,CD=5,求的面积.EE图2图1图328. 【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC,8。相交于点0,AE平分ABAC,交BC于点E.作DFA.AE于点H,分别交A8,AC于点F,G.（1）判断AFG的形状并说明理由.(2

23、) 求证：BF=2OG.【迁移应用】记MG。的面积为S，的面积为饥当菖亏时，求當勺值.【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变，连结EF,当BEF的面积为矩形ABCD面积的丄时，请直接写出tanZBA£的值.29. 如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A,B重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接AE,BP,CE.(1)求证：APEsABC；当线段时与CE相交时，设交点为師求黑的值以及的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3,AP=1,当点P,C,E在同一直线上时，求线段8P的长.30.

24、 如图1和图2,在AEC中，AB=AC,BC=8,tanC=旦.点K在AC边上，点M,N4分别在AB,BC上，且AM=CN=2.点P从点M岀发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持ZAPQ=ZB.（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将AABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x,当0WX3及3VE9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式表示）;（4）在点P处设计并安装-扫描器，按定角ZAPQ扫描APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK=g,请直接写出点

25、K被扫描到的总时长.4图1图2参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1.【解答】解：（1）如图中,图VZEAF=ZBAC=90°,.ZBAF=/CAE,'：AF=AE,AB=AC,.ZXBA性CAE,AZABF=ZC,BF=CE,.AB=AC,4AC=90°,/.ZABC=ZC=45°,/.FBE=ZABF+ZABC=9G°,BC=BE+EC=BE+BF,故答案为：BF丄BE,BC.（2）如图中，作DH”AC交BC于H.'.'DH/AC,.NBOH=NA=90°,OBH是等腰直角三角形,由（1）可知，BF丄BE,BF

26、+BE=BH,'：AB=AC=3,AD=,：.BD=DH=2,BH=2血,.,.BF+BE=BH=2j；(3)如图中，作DH/AC交BC的延长线于H,作DMLBC于M.'.'AC/DH,：.ZACB=2H,ZBDH=ZBAC=a,'：AB=AC,.ZABC=ZACB.ZDBH=Z/7,：DB=DH,：ZEDF=ZBDH=a,：.ZBDF=ZHDE,：DF=DE,DB=DH,/./XBDF24HDE,：BF=EH,.BF+BE=EH+BE=BH,：DB=DH,DM丄BH,：.BM=MH,ZBDM=ZHDM,2.BF+BE=BH=2nsin.22.【解答】解：（1）

27、如图1中，XBC,AC2=CCXBC,：.AB2+AC=BC(BB'+CC')=BCXBC=Bd,故答案为BC2.（2）不成立.理由：如图2中当ZBAC为锐角时，BB'+CC'-B'C=BC,ACAC,ABBCACBC'3BABC，CAC，：.ab2=bb'xbc,ac?=cc'xbc,.'.ab2+ac2=bc(bb+cc')=bEbcb，C'.图3中ZBAC为钝角时，BB'+CC'+B'C=BC.(3)当AB=5,AC=6,8C=9H寸，则AB2+AC2<BC2,可知ABC

28、为钝角三角形,由图3可知：AB2+AC2=BC2-BC*B'C',.52+62=92-98C,.BC'=翌93.【解答】解：(1)ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=45°,ZABC=ZCAB=45°=ZCDE=ZCED,：.AC=BC,CD=CE,V ZACB=ZDCf=90°,./ACD=ZBCE,在ACD和/XBCE中，'AC=BC«ZACD=ZBCE*CD=CE：.AACD/BCE(SAS),：.BE=AD,ZCAB=/CBE=45°,：.ZDBE=ZABC+ZCBE=90°

29、;,瓯=1,AD故答案为：1,90°(2) ZDBE=90°ADW理由如下：VZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=60°,.ZACD=ZBCE,ZCED=ZABC=30°.tan£48C=tan30°=也=匹BC3V ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=(°,ARtAACBRtADCE.AC二CD,.bcCE.AC=BC,且/aCD=ZBCECDCE.ACDs/BCEABE_=BC=ZCfi£=ZCAD=60°ADAC.ZDBE=ZABC+ZCBE=90

30、6;(3) 若点D在线段AB±,如图，'BA,ZABE=90°由（2）知：座n区AD AC：.BE=yfDVAC=2,ZACB=90°,ZCAB=90°AB=4,BC=2y/3.NECD=ZABE=90。,且点M是。E中点,.,.cm=bm=Xde,2CBM是直角三角形：.CM2+BM2=BC2=（23）2,：.BM=CM=yDE=2損：d4+bB=dB,.（4-AD）2+（V3AD）2=24：.AD=y/3+：,BE=D=3+凤若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE=2岳,BE=0D.：B心BB=DB,.(4+AO)2+(VjAD)2=2

31、4,：.AD=2-：,BE=0D=3厄综上所述：8E的长为3+如或3-顼耳4. 【解答】解：(1)VAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,：.AD=BD=DC,ZBDA=90°,.四边形OFG”是正方形，：DE=DF,ZEDF=90°,：ZBDE=ZADF=9S,rBD=AD在BDfi和ZVIDF中，.ZBDE=ADF*DE=DF.4BDE#4ADF(SAS),.BE=AF故答案为：BE=AF-,(2)成立；理由如下：当正方形OFGE在BC的上方时，如图所示，连接AD,.在RtZXABC中，AB=AC,。为斜边BC的中点，AD=BD,AO丄B

32、C,AZADE+ZEDB=90°,.四边形DFGE为正方形，：,DE=DF,且Z£DF=90°,AZADE+ZADF=90°,.ZBDE=ZADF,BD=AD在和ZXADF中，ZBDE=ZADF，DE=DF.BDE£AADF(SAS'),：.BE=AFx当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD,如图所示：VZBDE=ZBDF+900,ZADF=ZBDF+900,.ZBDE=ZADF,BD=AD在位比和左ADF中ZBDE=ZADF-DE=DF./XBDEAADF(SAS),：.BE=AF；综上所述，（1）中的结论BE=AF成立;(3)在A

33、DE中，'：AE<AD+DE,.当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+OE.如图所示：则A。=丄BC=1,DE=DF=2,2：.AE=AD+DE=3,D图G即AE的最大值为3.G5. 【解答】解：(1)如图1,过点。作OMLAB于"ON丄AD于N,OME=ZONF=90°,：.ZBAD+ZMON=SO°,V ZBAD+ZEOF=180°,/MON=AEOF,.IZEOM=/FON,O是正方形ABCD的对角线的交点，.ZBAO=/DAO,V OMLAB,ON±AD,.OM=ON,：40MEq函NF(AAS)：.OE=O

34、F；(2)(1)的结论成立：理由：如图2,过点。作OM±AB于M,ON丄AD于N,：.ZOME=ZONF=90°,AZBAD+ZMON=180°,V ZBAD+ZEOF=180°,./MON=/EOF,.ZEOM=ZFON,：O是菱形ABCD的对角线的交点，.ZBAO=ZDAO,V OMA.AB,ON丄AD,OM=ON,：4OME#&)NF(A4S)：OE=OF；（3）如图3,过点O作OG±AB于G,OHLAD于H,ZOGE=ZOHF=90°,ZBAD+ZGOH=SQ°,：ZBAD+ZEOF=SO°,ZGO

35、H=/EOF,.EOGs/FOH,.OE一OG,0F_0H，.O是伺ABC。的对角线的交点， s人0B=SzAOD，'Saob=AB'OG,Saod=-AD'OH,22AB*OG=AD'OH, OG_AD=n*0H"ABm'.OE_nOFmAHBD图3AFND图16.【解答】解：（1）.四边形ABCD是正方形，./BCD=90°,ZBCA=45°,：GEGBC、GFYCD,：ZCEG=ZCFG=ZECF=9S,.四边形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,：.EG=EC,.四边形CEGF是正方形：由知四边形C

36、EGF是正方形，/.ZCEG=ZB=90°,ZECG=45°,.箜=也，GE/AB,CE"故答案为：V2：（2）连接CG,由旋转性质知ZBCE=ZACG=a,在RtACEG和RtZXCBA中，堡=*45。=业、保=*45。=旺，CG2CA2.箜=堡=亜，CECB.ACGs/XBCE,：.业=业=匝,BECB.线段AG与BE之间的数量关系为AG=0E：（3）VZCEF=45°，点8、E、F三点共线，：.ZBEC=135°,ACGsBCE,：.ZAGC=ZBEC=35°,./AGH=/CAH=45°,ZCHA=ZAHG,：.MH

37、GslCHA,.AG=GH=AHACAHCH设BC=CD=AD=a,则AC=y/2fl,则由瓯=丝得2=瓯，ACAHV2aAH.ah=2q,3则DH=AD-AH=l-a,CH=栃画證332_AG=AH#n6=3，*AC而气7嘉力i，a解得：。=3栃，即BC=M，故答案为：3扼.7.【解答】解：（1）如图1,连接AE,'：AB=AC=2,点E分别是8C的中点，.LAE丄BC,be=3ZCDE=60° ,AZBEC=90°,.AB=AC=2,ZBAC=120°,AZfi=ZC=30°,在RtAABE中，AE=1-AB=1,根据勾股定理得,2.点E是8

38、C的中点，：.BC=2BE=2旧,.AB=2=近*BC2a/33'.点D是AC的中点，ad=cd=Xac=i,2.AD_1_V3.丽7T项故答案为：匝，匝；3 3（2）无变化，理由：由（1）知，CD=1,CE=BE=y/3,业=遮,AC二梔"CEVBCCD二心立,布族项，由（1）知，ZACB=ZDCE=3Q°,.ZACD=ZBCE,.ACZ>s/bcE,AD二AC一扼,菰茂亏，（3）当点D在线段AE上时,如图2,过点C作CFA.AE于F,NCDF=180°/.ZDCF=30°,。尸=丄彼=丄，22CF=V§DF=g,2在RtZX&

39、quot;C中，AC=2,根据勾股定理得，AF=ac2_cf2AD=AF+DF=+1,2由（2）知，鲤_=2匠，BE3.盹=囱=匝匝2当点D在线段AE的延长线上时，如图3,过点C作CGA.AD交AD的延长线于G,VZCDG=60a,/.ZDCG=30°,在Rt心中，根据勾股定理得，S写,：.AD=AG-腿=依_,_2由（2）知，鲍=23,BE3即：线段BE的长为岳危或廁*图3EA图18. 【解答】解：（1）证明：.将人。/）绕点C逆时针方向旋转60°得到AZDCE=60°,DC=EC,AACDE是等边三角形：故答案为：等边；（2）存在，当6</<10时

40、，由旋转的性质得，BE=AD,C/sbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，（?£）£是等边三角形，：.DE=CD,CmnE=CD+4,由垂线段最短可知，当CD±AB时，8OE的周长最小，此时，CD=2梔，：./BDE的最小周长=CD+4=2岳4：（3）存在，.当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，.当点D与点8重合时，不符合题意， 当0W”?<6时，由旋转可知，NABE=60°,ZBDE<60°,ZBED=90°,由（1）可知，CDE是等边三角形，：.ZDEB=60°,./CE8=30

41、°,：ZCEB=ZCDA,AZCDA=30°,VZCAB=60°,AZACD=ZADC=3G°,：.DA=CA=4,：.OD=OA-DA=6-4=2,/m=2； 当6<w<10时，由ZDBE=20°>90°,.此时不存在； 当川>10时，由旋转的性质可知，ZDBE=60Q,又由（1）知ZCDE=60°,AZBDE=ZCDE+ZBDC=6Q°+ZBDC,而ZBDC>0°,：.ZBDE>60°,.只能ZBDE=90°,从而ZBCD=30°,：.

42、BD=BC=4,.OD=14,ni=14,综上所述：当m=2或14时，以。、E、B为顶点的三角形是直角三角形.9. 【解答】解：（1）如图1中，连接D&MF,CE,延长BD交EC于H.'：AC=AB,AE=AD,ZBAD=ZCAE=9Q°,.BAO&CAf(SAS),BD=EC,ZACE=ZABD,VZABD+ZADB=90°,/ADB=/CDH,：.ZADH+ZDCH=9Q°,A90°,：.ECLBH,：.MF/EC,MF=EC,2：CM=MB,CN=ND,：MN”BD,MN=、BD,2：MN=MF,MN丄MF,/.ZWF=90

43、°,：.ZMNF=45°,NF=y!N.故答案为：45°(2)：如图2中，连接MF,EC,BD.设EC交AB于O,BD交EC于H.'：AC=AB,AE=AD,ZBAD=ZCAE=9Q°,：.ZBAD=ZCAE,.BAO竺CAE(SAS),：.BD=EC,ZACE=ZABD,VZAOC+ZACO=90°,ZAOC=ZBOH,ZOBH+ZBOH=9Q°,.ZBHO=90°,：EC丄BD,：BM=MC,BF=FE,：.MF/EC,MF=，EC,2：MN”BD,MN=BD,2：.MN=MF,MNA.MF,：ZNMF=90&#

44、176;,.ZMNF=45°,NF=yJ2MN.(3)：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作OA.当直线所与。A相切时，此时ZCBP的值最小，点P到BC的距离最小，即BCP的面积最小，'：AD=AE,AB=AC,ZBAC=ZDAE=9G°,.ZBAD=ZCAE,：.ABADCAE(SAS),/.ZACE=ZABD,BD=EC,'：ZABD+ZAOB=90°,ZAOB=ZCPO,：ZCPB=9甘,.P8是OA的切线，./ADP=90°,VZDPE=ZADP=ZDAE=90°,.四边形ADPE是矩形，'：AE=AD,.四边形

45、ADPE是正方形，AD=AE=PD=PE=2,BD=EC=yJ-22=：PC=2旧fPB=2+2西SCP的最小憤=*XPCXPB=g(23-2)(2岳2)=4.10. 【解答】(1)解：ACLBD,理由如下：连接AC、BD,如图2所示：'AB=AD,.点A在线段BD的垂直平分线上，.：CB=CD,.点C在线段BD的垂直平分线上，.直线AC是线段BD的垂直平分线，：.ACLBD,故答案为：AC丄B。；(2) 解：AD2+BC2=AB2+CD2；理由如下：如图1,已知四边形A8C。中，AC丄位)，设B。、AC相交于E,AC丄BD,：ZAED=ZAEB=£BEC=ZCED=90&#

46、176;,由勾股定理得，Afi2+CD2=AE2+fi£2+CE2+D£2,：.AD2+BC2=AB2+CD2；(3) 解：如图3,连接CG、BE,.四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，：.AC=AG,AB=AE,ZCAG=ZBAE=9Q°,.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,<AG=AC在ZiGAB和ZkCAE中，ZGAB=ZCAE，AB=AE：./XGAB/XCAE(SAS),.ZABG=ZAEC,又ZAEC+ZAME=90°,/.ZABG+ZAME=90°,即CE丄BG,由（2）得，CG2+BE2=C

47、B2+GE2,在RlZSABC中，AC=4,AB=5,根据勾股定理得，BC2=52-42=9,CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，ACG2=42+42=32,82=52+52=50,：.GE1=CG2+BE1-CB2=32+50-9=73,11. 【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE=20H,AE丄BH.A图1理由：在RtAABC中，,：BC=6,ZA=30°：.AE=2BC=2,在RtACDB中，VZDCS=30°,：CD=嗚=用cos30CH=DH,BH=XcD=2必,2：AE=2yBH.故答案为AE丄BH,AE=2妗H.E理由：延长BH到F使

48、得HF=BH,连接CF.设AE交BF于O.VCH=DH,BH=HF,ZCHF=ZBHD,(SAS),：BD=CF,ZF=DBH,：CF”BD,：AB=0C,BE=0D,：,BE=0F,.里=亜=艳，BCCFV,：CF”BD,AZBCF+ZCBD=SO°,ZABC+ZDBE=ZABD+ZCBD+ZCBD+ZCBE=ZCBD+ZABE=180°.ZBCF=/ABE,.專BEs/BCF,：ZCBF=ZBAE,壁_=坐=/,BFBCv：.AE=/3BF=2yfBH,：ZCBF+ZABF=90°,/.ZABF+ZBAE=90°,.NAOB=90°,：.B

49、HLAE.拓展应用：如图31中，当DE在的下方时，延长AB交DE于F.ADF图3-1'：DE/BCAZABC=ZBFD=90°,由题意BC=BE=6,AB=63,BD=2旧,DE=4如,丄BDBE=丄DEBF,22：.EF=0F=3旧,AF=6a/"§+3,：.AE2=AF2+EF2=(63+3)2+(33)2=144+3戒.：AE=2BH,.准2=12揷，：饵呼=2+3匝如图32中，当OE在BC的上方时，同法可得AF=6旧-3,EF=3旧,A12. 【解答】解：(1)如图1中，作EH丄CG于H.图1.四边形ECFG是菱形，NECF=60°,5页

50、=¥吋=3。，EC=EG,'：EH±CG,：.GH=CG,匝2二S30CHCE co2* = -CH-CECG-CE,：EG”CD,AB/CD,：.GE/AB,.善=丝=归BECE故答案为据.(2)结论：AG=0E.理由：如图2中，连接CG.D四边形ABCD,四边形/CFG都是菱形，ZECF=ZDCB=60°,ZECG=ZEGC=ZBCA=ZBAC=3N,ECGsbcE,BC=ACECCGZECB=ZGCA,ECBs/GCA,AG=GC=fZBEECAG=0E.（3）如图3中,VZAG/7=ZCGF=3O°.ZAGH=ZGAC+ZGCA,又VZD

51、AC=ZHAG+ZGAC=30°,.ZHAG=ZACH,ZAHG=/AHC,./MGsMCA,：-HA：HC=GH：HA,：Atf=HGHC,FC=2,CG=/3CF,GC=2归,：hg=N：,A#=HG,HC=43旧=9,：.AH=3.故答案为3.13. 【解答】解：(1)当”=“时，即：BC=AC,.NACB=90°,.NA+NABC=90°,CD丄AB,：.ZDCB+ZABC=90°,.ZA=ZDCB,'：AFDE=ZADC=90°,.ZFDE-ZCDE=ZADC-ZCDE,即/ADE=ZCDF,./ADEs/CDF,.DEAD.

52、=，DFDCVZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90°,.AADCACDB, ADAC_. =,DCBC.爬=1DF(2).NACB=90°,AZA+ZABC=90°,.CD丄AB,：.ZDCB+ZABC=9Q°,.ZA=ZDCB,'：AFDE=ZADC=90°,：.ZFDE-ZCDE=/ADC-ZCDE,即ZADE=ZCDF,.AADEACDF,DEAD.=，DFDCVZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=9GO.ADCsCDB, ADACn.二=：,DCBCmDEn =DFm成立.如图，EV ZACB=90°,AZA+ZA

53、BC=90°,又.CD丄AB,：.ZDCB+ZABC=90°,.ZA=ZDCB,V ZFDE=ZADC=90°,.ZFDE+ZCDE=ZADC+ZCDE,即/ADE=ZCDF,.MDEsCDF, DEAD.=，DFDCVZA=ZDCB,ZADC=ZBDC=90°.AADCACDB, ADACn.=,DCBCinDEn.=.DFm(3)由(2)有，4ADEs4CDF,.DEAC_1 =，DFBC2.AD_AE_DE_1*CDCFDF2*：.CF=2AE,在RtADEF中，DE=2知DF=4y,EF=2血，当E在线段AC上时，在RtACEF中，CF=2AE=

54、2（AC-CE）=2（妪-CE）,EF=2血,根据勾股定理得，CECFEF2,.*+2（V5-CE）2=40CE=2据，或。£=-丝低（舍）5而AC=g<CE,.此种情况不存在， 当E在AC延长线上时，在RtACEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（诉+CE）,EF=2,根据勾股定理得，ce'cSef2,：.CE2+2（梔+CE）2=40,.0=/1,或竟=-2据（舍），5 如图1,当点E在CA延长线上时，CF=2AE=2CCE-AC）=2（CE-诉）,EF=2yj,根据勾股定理得，CE1+CF1=EF2,.*+2（CE-V5>2=40,.C£=2

55、据，或CE=-（舍）5即：CE=2yfCE=奨旦.514.【解答】解：（1）如图1,延长GM交A。于H,.：AD”GF,：ZGFM=ZHAM,在FMG和AMH中，ZGFM=ZHAN-FM=AM，ZFMG=ZAHH(ASA),：.HM=GM,AH=FG,'：AD=CD,AH=FG=CG,：,DH=DG,VZHDG=90°,HM=GM,：.DM=MG,DMLMG,故答案为DM=MG,DMVMG.(2)结论成立：DM=MG,DM丄MG,理由：如图2中，延长GM使得MH=GM,连接AH、DH、DG,延长AD交GF的延长线于N,交CD于。.图2'：AM=MF,ZAMH=ZFMG,MH=MG,.AMH竺FA/G(SAS),：.AH=GF=CG,ZAHM=ZFGM,：.AH/GN,.ZHAD=/N,ZODN=Z0GC=9D°,ZDON=ZGOC,./N=ZOCG,2HAD=2DCG,：AH=CG,AD=CD,/.A/MDAGCD(SAS),：.DH=DG,ZHDA=ZCDG,/.ZHDG=ZADC=90°,.AHDG是等腰直角三角形，：.DMLGH,DM=MH=MG