高等数学第1章课后习题答案(科学出版社).

1、第一章 函数、极限、连续习题 1-11. 求下列函数的自然定义域： x3+ (1)y=21-xx-1arccos (3) y=解： (1)解不等式组 ?(2) y=arctan1x? 3x1?(4) y=? . ? 3 , x=1? x+30得函数定义域为 -3,-1) (- 1,1) (1,+?);12-x0? 3-x2 0(2解) 不等式组 ? 得函数定义域为 ; ?x0x-1? -1?1(3)解不等式组 ? 得函数定义域为 -4,-2) (3,6; 52? x-x-6>0(4)函数定义域为 (- ,1.2. 已知函数 f(x) 定义域为 0,1，求 ff(cosx),f(x+c)+

2、f(x-c) (c>0) 义域解：函数 f要有意义，必须 01，因此 f 的定义域为 0,1； 同理得函数 f(cosx)定义域为 2k -,2k +； 22? 0 x+c 函11数 f(x+c)+f(x-c) 要有意义，必须 ? ，因此，（ 1）若 c<，定义域为： 2? 0x-c1（2）若 c=c,1-c；的定 11，1定义域为： ；（ 3）若 c>，定义域为： ? 2221? x-a? 3设 f(x)=2 1-? ,a>0,求函数值 f(2a),f(1) x? |x-a|?解：因为 f(x)=f(2a)=1? x-a? 1- ? ，所以 2x? |x-a|? 1?

3、 a? 1? 1-a1-=0，f(1)=1- ? 2 4a? a? 12 ? - a? 2 ,a>1, =?0 ,0<a<1?4. 证明下列不等式 :(1) 对任何 xr 有 |x-1|+|x-2| 1;(2) 对任何 n z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n(3) 对任何 n z+及实数 a>1有 a-1a-1. n1n证明：（ 1）由三角不等式得|x-1|+|x-2| x-|1-(x-2)|=1（2）要证 (1+1)n+1>(1+1)n，即要证 1+1>n+1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+

4、1n+1得证。（3）令 h=a-1，则 h>0。当 n2时由 bernouli 不等式，有a=(1+h)>1+nh=1+n(a-1) n1n1n所以a-1<1na-1， na-1 n又当 n=1 时，有 a-1=1 n故对任何 nz 及实数 a>1有 a-1a-1. +1nn5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程:22 (1)=4; (2- y) =x1; (3) x=8y2; (4). 425=22222 解： (1) x+y=16 ；(2)-7(5sin )=1；0(3) 8 s-incos =；0 (4) y=x (x 0) 6判

5、断下列各组函数中的 f(x) 与 g(x)是否为同一函数？说明理由！(1) f(x)=ln2x,g(x)=-ln)x ； )(2) f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x； (3) f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 ; 3x+x(4) f(x)=1+x,g(x)= ； x解： (1) 是； (2) 不是，因为定义域不同； (3) 不是，因为定义域不同； (4) 不是，因为定义域不同7试确定下列函数的单调区间：3-x(1) y=+ln(-x) ； (2) y=； (3) y=1-sinx. x1-x3 解： (1) 函数的定义域为 (- ,0，) x此时，函数 y1=单调递减， y

6、2=ln(-x) 也是单调递减，则 y=y1+y2 在(-,0)内也是递减的(2) 函数的定义域为 (- ,1) (1,+，而)y=1 在(- ,1)及(1,+ 上)单调递减，故 x-1y=-x1 是在其定义域单调递减 =1+1-xx-1(3) 函数的定义域为 (- ,+ ，)在(2k - 2,k2 +2 函)数是单调递减的，在(2k +2,k2 +3函数是单调递增的 . )2(2) y=tan1； x8. 判定下列函数的奇偶性： (1) y=x2+2cosx-1； ex+e-x(3) y=；(4) y=2解： (1)因为定义域为 r 关于原点对称，且 f(-x)=x2+2cosx-1=f(x

7、) ，所以是偶函数1(2) 因为定义域为 r0 关于原点对称，且 f(-x)=-tan=-f(x) ，所以是奇函数 x-xxe+e(3) 因为定义域为 r 关于原点对称，且 f(-x)=f(x) ，所以是偶函数 2(4) 虽然定义域为 r 关于原点对称，但f(-x)=lg(x+-1=- lg(x f(x-)f,(x) ， 所以是非奇非偶函数9设 f(x) 是定义在 -l,l 上的任意函数，证明：(1) f(x)+f(-x) 是偶函数， f(x)-f(-x) 是奇函数；(2) f(x) 可表示成偶函数与奇函数之和的形式.证明：（ 1）令 g(x)=f(x)+f(-x),h(x)=f(x)-f(-

8、x)，则它们的定义域为 -l,l ，且g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)， 所以 f(x)+f(-x) 是偶函数， f(x)-f(-x) 是奇函数f(x)+f(-x)f(x)-f(-x)f(x)+f(-x)（2）任意函数 f(x)= ，由（ 1）可知是偶函数， +222 f(x)-f(-x) 是 奇 函 数 ， 所 以 命 题 得 证 2 10判断下列函数是否是周期函数？若是，指出其最小正周期：(1) y=|cosx|； (2) y=xcot2x(3) y=2-sin 2；x (4) y=sin2x.解： (1)周期函数，最小正周期为 ；(

9、2)不是周期函数；2(3)周期函数，最小正周期为； (4)周期函数，最小正周期为 11求下列函数的反函数： 2x(1) y=x ； (2)y=lnx+ 2-1yy 解： (1) 依题意， 2x=，则 x=log2，所以反函数为 y-1y-1xf-1(x)=log2,x (- ,1) (1,+x)-1ey1ex1-1(2) 依题意， x=-y，所以反函数为 f(x)=-x, x r 2e2e 12试判断下列函数由哪些基本初等函数复合而成：202(1) y=e(1+x)； (2) y=(arcsinx2)4； (3) y=3cosx；(4) y=ln(1 (解： (1) 由 y=eu,u=v20,

10、v=1+x 复合而成；(2) 由 y=u4,u=arcsinv,v=x2 复合而成；(3) 由 y=3u,u=v2,v=cosx 复合而成； (4)由 y=lnu,u=1v=1+x2 复合而成；? 1 , |x|<1 ,? 13设 f(x)= ? 0, |x|=1, g(x)=ex，求 f(g(x) 与 g(f(x) ，并作出函数图形? -1, |x|>1,? e, |x|<1 ,? 1 , x<0 ,? 解： f(g(x)= ? 0 , x=0, gf(x)= ? 1, |x|=1,图略。? -1, x>0,? -1? e, |x|>1,14. 在一圆柱形

11、容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为 r，高为 h当倒进溶液后液面的高度为 h时，溶液的体积为 v试把 h 表示为 v 的函数，并指出其定义区间v 解：依题意有 v= r2h，则 h=2,v 0, r2h r15. 收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过 100 台以上的，每多订购 1 台，售价就降低 1 元，但最低价为每台 75 元(1) 将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数；(2) 将厂方所获的利润 l 表示成订购量 x 的函数；(3) 某一商行订购了 1000 台，厂方可获利润多少？? 90, x 1?0解0 ：依题意有 (1

12、) p=? 190-x, 100<x；115? 75, x>115? 30x, x 1?0(02) l= ? (130-x)x, 100<x；115? 15x, x>115? (3) l=15000 元习题 1-21设 xn=2n-3(n=1,2,3, )， 3n+1222(1) 求|x1-|,|x20-|,|x1000-的|值； 3332-6(2) 求 n，使当 n>n 时，不等式 |xn-| 1成0 立； 32(3) 对实数 >，0 求 n，使当 n>n 时，不等式 |xn-| 成立 321211237211解： (1) |a1-|=|-|=, |

13、a10-|=|-|=, 34312361318321997211 |a1000-|=|-|=33001390031112<4，则只要 n>12222, 取 n 12222,故当(2) 要使 |an-|<10-4,即 3(3n+1)1032n>n 时，不等式 |an-|<10-4成立 32n-3211211-3-|=< ，即 n>(3)要使|an-|< 成立，只要 |, 取 39 3n+139n+32? 11-3? n>nn 1+? ，那么当时， |a-|< 成立. n? 93? ?2当 x1时， y=x2+2 3问 等于多少，使当 |

14、x-1|<时， |y-3|<0.01？135 解：令 |x-1|<，则<|x+1|<，要使 2225|y-3|=|x2+2-3|=|x2-1|=|x-1|x+1|<|x-1|<0.01， 2只要|x-1|<0.004，所以取 =0.00，4 使当 |x-1|< 时， |y-4|<0.01 成立2x2-13当 x时， y=22问 x 等于多少，使当 |x|>x 时， |y-2|<0.001？ x+222x-155 解：要使 |y-2|=|2-2|=2 2<0.001只, 要 x2>5000,即|x|>x+2

15、x+2x 了,所以取 x=4根据极限的定义证明： a=1； (3) lim(3x-1)=2 ； (1) lim=0 （a 为常数）； (2)n n nx 13x+5x-24 (4) lim=3. =-4 ； (5) limx-1xx-2x+20 解： (1) ? >，0 若 a=0，则任取正整数 n，当 n>n 时, 总有|-0|=0< ；若 a0，na|a|a|a|a要使|-0|=，取正整数 n=+1 ，当 n>n 时,总有|-0|< ，综<，只需 n>nnn a 上可得 lim=0 ； nn1(2) ? >0,要使,取 n=,当 n>n

16、-1|= 2<,即 n>n1|<,则=1； 时,总有 n (3)? >0要, 使|3x-1-2|=3|x-1|< ，只要 |x-1|<总有|3x-1-2|< ，所以 lim(3x-1)=2 ； x13，取 =，3则当 0<|x-1|< 时，x2-4(4) 对? >，0要使 |-(-4)|=|x-(-2)|<，取 =，当 0<|x-(-2)|< 时，总有 x+22x-4x2-4|-(-4)|< ，所以 lim=-4 ； x-2x+2x+23x+5883x+5-3=|(5) 对|x|>1，有|, ? >

17、0要, 使|-3|< 只,要 x-1|x-1|x|-|1x-18883x+53x+5< 即,|x|>+1,取 x=1+，则当 |x|>x 时,有|-3|< 故,有 lim=3 xx-1|x|- 1-1x5用 -x 或 -语言，写出下列各函数极限的定义：(1) limf(x)=a ； (2) limf(x)=a ； x- x ax +x af(x)=b (3) limf(x)=b ； (4) lim-+解: (1) ? >0?, x(2) ? >0?, x(3) ? >0?, (4) ? >0?, n >0,当 x<-x 时, 总

18、有|f(x)- a|< ; >0当,x>x, 总有|f(x)-a|< ; >0当,a<x<a+时,总有|f(x)- b|< ; >0当 a-<x<a时, 总有|f(x)- b|< n6若 limxn=a ，证明 lim|xn|=|a|并举例说明：如果数列 |xn| 收敛，但数列 xn 不一定收敛证明: 因为 limxn=a, 所以? >0?, n1,当 n>n1 时,有|xn-a|< 不.妨假设 a>0,由收敛n数列的保号性可知 :? n2,当 n>n2 时,有 xn>0,取 n=max

19、n1,n2,则对上述 当,n>n 时, 6有|xn|-|a|=|xn-a|< 故.lim|xn|=|a|.同理可证 a<0 时,lim|xn|=|a|成立. nn反之,如果数列 |xn| 有极限, 但数列|xn| 未必有极限 .如：数列 xn=(-1), |xn|=1， 显然 lim|xn|=1, 但 limxn 不存在n n n7. 对于数列 xn ，若 limx2k-1=a ，limx2k=a ，证明： limxn=a kkn证明: 由于 limx2k-1=a, 所以, ? >0?,kn1>0, 当 k>n1 时，有 |x2k-1-a|< 同,理,

20、 对上述 ?,n2>0, 当 k>n2 时, 有|x2k-a|<取 n=maxn1,n2,? >0当, a|< 成立, 故 limxn=a n8. 证明：若 limf(x)=a ，limf(x)=a ，则 limf(x)=a x+ x- x证明: 由于 limf(x=)a, 则对? >0?, x1>0,当 x>x1 时,有|f(x)-a|<又x+ x-n>n 时, |xn-,则? x2>0,当 x<-x2, 有|f(x)- a|< 取.x=maxx1,x2, 当|x|>x 时,总有 limf(x=)ax|f(x

21、)- a|< 故,有 limf(x)=a. 习 题 1-3 1求下列极限：3+n-3； (1) lim2nn 6n3-2n+3 132n-1(3) lim(+2+ +n) ；n 222(5) lim(x3-3x+5) ；x2? 1? 11+ + (2) lim ? ? ； n1? 33? 5(2n-1)(2n+1)? ? 3n+2n(4) limn+1 ； n+1n3-23x+1 (6)lim2 ；x 2x-5x+3 x2-1(7)lim2 ； x 1x+4x-5 (x+h)2-x2(9) lim ； h 0h(11) x1x3-x2-9x+9(8) lim ； x-3x3+27 1?

22、12-(10)lim? ； x 28-x32-x? 3x2-1(12) lim2 ；x x+7x-3 x3+3x(13) lim3 ；x 2x-7x+8x2+3x-8(14) lim ； x 7x4+5x3(15)lim(2x3-3x+6) ；(16)limx x + 132+2-33=1； 解 ： (1)lim2n+n-3=lim n 6n3-2n+3n6-2+33nn? 1? 11+ +(2) lim ? ? n 1? 33? 5(2n-1)(2n+1)? ?1? 11111? 1? 1? 1=lim ? 1-+-+ +-=lim1- ? n2? 2n+1? =2； n 23352-n12

23、n+1? ? ? ?-112n-1(3) lim(1+32+ +2nn)=lim(3-n-2-n)=3 ； n 2n 222221+()nnn13+23(4) limn+1=； lim=n 3-2n+1n3-2? ()n33(5) lim(x3-3x+5)=(limx)3-3limx+5=7； x 2x 2x2(limx)3+1x3+1x 2=-=3； (6)lim22x 2-5xx+3(limx)- 5limx+3 x 2x2 x2-1(x-1)(x+1)x+11=lim=lim= ； (7)lim2x 1x+4-x5x 1(x-1)(x+5)x 1x+53 x3-x2-9x+9(x-1)(

24、x-3)8=lim= ； (8) lim32x-3x-3x+27x-3x+99(x+h)2-x2(x2+2xh+h2)-x2(9) lim=lim=lim(2x+h)=2x ； h 0h 0h023x-1(12)lim2=lim=3; x x x+7x-373 1+-2xx3-1x3+3x1(13) lim3=lim=; x-7x2+x8x2-2+32xx 138+3-322x+3x-8=0; (14) lim=lim43x 7x+5xx 7+x(15)lim(2x3-3x+6)=limx3(2- x x 1+32 (16)lim x+=limx36+3)= ; 2xx 8=lim22-x=l

25、im1x=1 ? ex, x>02设函数 f(x)= ? f(x) 是否存在？ ? 0, x=0,试讨论 limx 0? 1-3x2,x<0?解：因为 limlimf(x)=limf(x)，所以 f(x)=limex=1,limf(x)=lim(1-3x2=)，即 1-+-+x 0x 0x 0x 0x 0x0limf(x) 存在 x0? 2x+1, x<0,3设 f(x)= ? 若极限 limf(x) 存在，则 a 等于什么 ? x 02x+a, x ? 0.解：因为 lim 所以，当 limf(x)=limf(x) ，f(x)=lim2x+1=2,limf(x)=lim(2

26、x+a)=a， -+-+x 0x 0x 0x 0x 0x0即 a=2时， limf(x) 存在 x0 4已知 lim(5x=1 ，其中 a,b,c 为常数，求 a 和 b 的值x+解：因为 lim(5x= limx+2xc? 25-a=0? a=25=1，所以 ? = lim=lim ，则 ? xx=1b=10?(25-a)x+b-习 题 1-4 1计算下列极限：x1xx112xx-2xx(1)(1-) ； (2) lim(1-) ； (3) lim()-3 ； (4)lim() x x 3x 33xx+2 1解1 x x 0x-x11-x1x-3： (1) lim(1-)2x=lim(1+)

27、-x-2=e-2 ；xx3(2) lim(1-)=lim(1-)=e3 ； x x 03311? xx1x-3x3-3-33)=e3； (3) lim()=lim(1+x 33x 232? (-4)x-2x4-x+4-24)=lim(1-) ? (1-) (4) lim(x x+2x x+2x+22? (-4)4-x+4-2=lim(1-)4 ? lim(1-)=e- 4 x x x+2x+22. 计算下列极限sin3x3tanx-sinx； (2) limxsin ； (3)lim ； 3x 0sin5xx x 0xx x(4) lim-1cos2x； (5)lim3nsinn（ x 为不等

28、于零的常数） 5n 3x 0 x2sin3xsin3x5x33 解： (1)lim=lim ? ? =； x 0sin5xx 03xins5x55 3sin3=3； (2) limxsin=3limx x 3xxxsintanx-sinxsinx(1-cosx)1sinx1(3) lim=lim=lim ? ()2=；33x 0x 0xxxcosx2x 0x2 221-cos2x2sin2xsinx? (4) lim=lim=lim ? = 55x 0+x 0+x 0+?x x2x2 xsinnx=x (5) lim3nsinn=xlimn n x33n3. 利用极限存在准则证明： (1) l

29、im+(1)的极限存在；(2)lin （1a>0 为常数）； ? (3)lim+ =1 ； n 14( ) limx=1 x 0+x(1) 证明：x2x1>0，假设 xn>xn-1>0 成立，则xn+1=xn，由数学归纳法只数列 xn 单调递增又因为 x1<1，假设 xn<1xn+1=10<xn<1，即数列 xn 有界；根据单调有界准则知 limxn 存在 n(2) 证明：因为1a? a? 1+，又 lim1=lim 1+ ? =1，所以 =1 n n n?nn?+ + (3)， 10又 n=n=1，所以? lim+ =1 n1? 1? 1(4)

30、 证明：对任一 xr，有 x-1 x有-1? ? x? x? x，则x当 x0时，11? 1? ? 1? +x 因为 x0，所以 x>0，此时， x(- 1) ?x? x? ，由夹逼准则得 lim? x? =1x0+xx ? x? ? ? 习 题 1-5 1用极限定义证明：x2-42+5x(1) y=为当 x-2 时的无穷小； (2) y=为当 x0时的无穷大 xx-2x2-4| 时, 总有证明 : (1) ? >0因, 为|,取-0=|x|+2|则=当,0<|x+2<x-2x2-4x2-1x2-4 为当 x-2 时的无穷小； |-0<| 故,lim=0 ，从而

31、y=x 1x+1x-2x-22-5x222|=|-5|>-5>m,所以 (2) ? m>0, ? =当,0<|x|< 时,总有|xx|x|m+52+5x2+5x 为当 x0时的无穷大 . lim=，即 y=x 0xx2. 计算下列极限： 1cosx(1) limsinx； (2) lim2 ； x xxx arctanx(3) lim； (4) limxarccot(lgx) x 0x lnx11 解： (1) 因为 sinx 在(- ,+ 上)有界， lim=0 ，由定理 3 知 limsinx=0 ；x xxx1cosx(2) 因为 cosx在(- ,+ 上)

32、有界， lim2=0 ，由定理 3 知 lim2=0 ； x xxx 1arctanx(3) 因为 arctanx 在(- ,+ 上)有界， lim=0 ，由定理 3 知 lim=0 ；x lnxx lnx(4) 因为 arccot(lgx)在(- ,+ 上)有界， limx=0 ，由定理 3 知 limxarccot(lgx)=0 x 0x03. 函数 y=x2cosx 在(0,+ 内)是否有界？该函数是否为 x+时的无穷大？ 解答:因为? m>0, 取 n0=m+1, ? x0=2n0(0,+ ，)使得 yn0=(2n0 )cos(2n0 )=(2n0 ，)>m所以 y=x2c

33、osx 在(0,+ 内)是无界的 . 22但，若取 xn=2n+,则 yn=0,故当 n时, yn 0(xn +，)当 x+时，函数 2 y=x2cosx 不是无穷大量 4. 证明：函数 y=11sin 在其定义域上无界，但它不是 x0时的无穷大 xx12n0+证明：因为 ? m>0, 取 n0=m+1, ? x0=2 (0,+ ，)使得 yn0=(2n0+)sin(2n0 +)=2n0 +，>m222所以 y= 11在sin(0,+ 内)是无界的 . xx1,则 yn=0,故当 n时, yn 0(xn +，)当 x+时，函数 2n但，若取 xn= y=11sin 不是无穷大量 x

34、x5. 利用等价无穷小的性质，求下列极限：3xsin(kx)(1)lim ； (2) lim （ k,t 是不为零常数）； x 0sin5xx 0tantx ln(1+3x-2x2)3x+5x2-x3(3) lim ； (4)lim3； x 0x 0tan3x 2arctanx(5) limsinx2； (6)x 0x 0 e3-1x2+tanx-sin5xlim(7) lim ； (8) 3+x 0x 0tan3-x? a+b? (9) lim ? ,其中 a>0,b>0,均为常数 . x 0?2? 3x3x3 解 ： (1)lim=lim= ； x 0sin5xx 05x5 s

35、in(kx)kxk(2) lim=lim= ； x 0tantxx 0txt ln(1+3x-2x2)3x-2x2(3) lim=lim=1 ； x 0x 0tan3x3x3x+5x2-x33x+5x2-x33(4)lim3=lim= ； x 0x+2arctanxx 02x2 222arcsinxxx=lim=3lim=3 ； (5)limtanx2x 0x 0tanx2x 0tanx2 e3-13xx3x12x(6) =lim ? 2x 0x x 0(3x)x 12=1= 18x2+tanx-sin5x-4x4(7) lim ；=lim=- x 0x 03xtan3x-x3312x1(8)

36、lim ； =lim=lim ? lim=x 0+x 0x 0+1x 0+2x? x2 a3limln(ax+bx3(9)lim()x=ex0x 02x1+bxx)ln(2=e3limx 0ax+-b2x+1)2x=e1xx(a+b-2)3limx 0x=e3(a-x1)+(bx- 1)lim2x 0x=e3(lna+lnb)2=(ab) 3 26证明：当 x0时， ln(1+x)x 11ln(1+x)x=limln(1+x)=lnlim(1+x)x=lne=1，ln(1+x)x 证明：因为 lim 当 x0 时， x0x0x0x17. 证明：当 x01 x.n1+x-1 证明：因为 =lim

37、x 0x 0n-1n-2xx+1nn1=lim=1 ， x 0n-1+n-2+ +1n 1 所以，当 x01 x. n8当 x0时，若 (1-asinx)-1 与 xarctanx 是等价无穷小，试求 a 解：依题意有lim 124124(1-asinx)-1=1， 因为当 x0时， x 0xarctanx141242(1-asinx)-1=? ? 1+(-asinx)? ? -112411? (-asinx2) ? (-ax2)，arctanx x， 441? (-ax2)(1-asinx)-1a=lim=-=1 ，故 a=-4. 所以 limx 0x 0xarctanxx24 习 题 1-

38、6 1研究下列函数的连续性：? x, x 是有理数 (1) f(x)=|x| (2) f(x)= ? 0, x 是无理数解：（ 1）在(-,+ 内)连续；（2）f(x) 在 r 上 处 处 不 连 续 。2讨论下列函数的间断点的类型如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续(1) f(x)=sgnx ； (2) f(x)=sinx 1x 1+ex4-1(3) f(x)=x ； (4)f(x)=2 ； x-1 2x-11(5)f(x)=2 ； (6) f(x)=xsinxx-3x+2 解： (1) x=0为跳跃间断点；sinx(2) 因为 lim=0 ，所以 x=0 为可去间断点，补充定义

39、 f(0)=0，则函数 f(x) 在1x 01+ex(- ,+ 内)连续；(3) x=n,n=0, 1,±2, 为跳跃间断点；x4-1(4) 因为 lim2 所以 x=±1 为可去间断点，补充定义f(1)=2,f(-1)=2 ，则函数f(x)=2 ，x± 1-x1在(-,+ 内)连续；(5) x=1 为可去向断点，若令 f(1)=-2,则 f(x) 在 x=1 连续； x=2 为第二类向断点 1(6) 因为 limx=0 ，所以 x=0 为可去间断点，补充定义f(0)=0 ，则函数 f(x) 在x 0x(- ,+ 内)连续；? sinx, x<0,3当 a取

40、何值时，函数 f(x)= ? 在 x=0 处连续 a+x, x? 0解：因为 limf(x)=limsinx=0,limf(x)=lim(a+x)=a,f(0)=a,所以，依题意有 a=0. -+x 0x 0x 0x0? 2cosx, x设c4数 2ax+b, x>c?f(x)= ? 其中 b,c 是已知常数试选择 a，使 f(x) 为连续函22 解：因为 limf(x)=lim2cosx=2cosc,limf(x)=lim(ax+b)=ac+b,f(c)=2cosc, 所-+xcxcx 0xc以，若 c=0,则 f(x) 为连续函数必要求 b=2,此时 a 可取任意实数；若 c0则,

41、取2cosc-b，就可以使得 f(x) 为连续函数 a=c25. 证明 : 若函数 f(x) 在区间 i 上最大值与最小值相等，则 f(x) 是区间 i 上的常值函数 14证明：设 maxf(x)=minf(x)=m ，则对? xi,m f(x) ，m即 f(x)=m( x ? i) xixi，所以 f(x) 是区间 i 上的常值函数6. 证明 : 方程 x-2+3sinx=0 在区间 (0,)内至少存在一个实根 2证明：令 f(x)=x-2+3sinx ，则 f(x) 在0, 上连续，又 f(0)=-2<0 ， f()=+1>0,222根据零点定理， f(x)=x-2+3sinx

42、 在开区间 (0,)内至少有一点 使 f( )=，0 即方程 2 x-2+3sinx=0 在区间 (0,)内至少存在一个实根 27. 证明方程 x=asinx+b 至少存在一个正根，并且它的根不超过a+b，其中a>0,b>0 证明：令 f(x)=x-asinx-b ，并取正整数 k，使得 2k + 2>a+b，则 f(x) 在0,2k 上+连续，又 f(0)=-b<0 ， f(2k +)=2k -a-+b>0,根据零点定理， 222 f(x)=x-asinx-b 在开区间 (0,2k +2 即方程 x=asinx+b 至)内至少有一点 使 f( )=，0少存在一个

43、正根又因为 x=asinx+b +ab，所以它的根不超过 a+b8. 设函数 f(x) 在闭区间 a,b上满足 lipshtz 条件,即存在正常数 l, 使得对任意的x,ya,b，恒有 f(x)- f(y) l-yx;又 f(a)? f(b)<0证明：至少存在一点 (a,b)，使得 f( )=0证明：任取 x (a,b)，取?x，使 x+?x (a,b)，依题意有 0f(x+?x)-f(x) l?，x 则limf(x+?x) -f(x)=0 ，即 limf(x+?x)=f(x) ，由 x 的任意性，可知 f(x) 在(a,b)内连?x 0?x0续，同理可证 f(x) 在点 a 右连续，点

44、 b 左连续，那么， f(x) 在a,b上连续。而且f(a)? f(b)<0，根据零点定理，至少有一点 (a,b)，使得 f( )=0 9证明：若函数 f(x) 在区间a,b)上连续，且 limf(x) 存在，则 f(x) 在区间a,b)上有- xb界f(x) 存在，则必有 >，0使得 b- >，a并且 f(x) 在区间 (b- ,b上)证明：因为 lim- xb有界，即存在 m1>0，使得 f(x) m1?(x(b-,b)；) 又 f(x) 在a,b-上连续，由有界性定理知，存在 m2>0，使得 f(x) m2 (? xa,b-，)当 xa,b)时，总有 f(x

45、) m，即 f(x) 在a,b)内有界 习题 1-71. 研究下列函数的连续性：x3+27(1) f(x)=xe+sin(x+1) ； (2)f(x)= ；取 maxm1,m2=m ，则(3) f(x)=x+3 2x3解： (1) 因为 f(x)=x2ex+sin(x3+1) 在(-,+ 上)是初等函数，所以 f(x) 在(-,+ 上) 15连续x3+27x3+27（2）因为 lim 的可去间断点 =27，则 x=-3 是函数 f(x)= x-3x+3x+3（3）f(x) 在(-,+ 内)连续2. 求下列极限： x2+ln(2-x)ln(1+x2)(1) lim ； (2) lim ； (3)

46、limx) ；x+x 1x 0xtanxarctanx(4) lim(1+tanx)x0 3sinx； (5) lim(1-2x) x01-xsinx； (6)lim(1+xe) x012x1-cosx；(7)limnlnn-ln(n+2) n x2+ln(2-x)x2+ln(2-x)12+ln(2-1)4解： (1) 因为是在点 x=1 处连续，所以 lim = ；x 1arctanxarctan1 arctanx 1ln(1+x2)x2x2=lim ? ln(1+x)=1 ； (2) lim x 0x 0tanxxtanx(3)limx)=limx+x+=arctan(lim=arctan

47、1=； x41(4)lim(1+tanx) x03sinx=e tanx1lim3 ? ln(1+tanx)x 0cosx=e3；(5) lim(1-2x)x 0x0 1-x sinx=e2x(x-1)lim ? ln(1- 2x)x 0sinx-12x=e-2； 1(6)lim(1+xe) n12x1-cosx=lim(1+x2ex)xe x0? x2? ex1-cosx=e2;(7) limnlnn-ln(n+2)=limnln n n2=limnln(1- ) n+2n n+2-2n-2n-+22? n2n+2ln(1+)=lne-2=-2 =limln(1- )=limn n n+2n

48、+2? x+2?3. 证明：已知 lim ? =4，求常数 a的值 xx-a? x-a(a+2)x? x+2xa+2xa+2a)=lim(1+)=lim(1+)+2x-a=ea+2 ，则 ea+2=4，所以解：因为 lim( xx-ax x-xax-aa=-2+ln44. 假设函数 f(x) 在 g(x)在点 x0 连续，证明函数x?(x)=maxf(x),g(x) ， (x)=minf(x),g(x)也在点 x0 连续 证明：略复习题 a一、选择题1. 下列函数中不是复合函数的是（ ）ay=()； b. y=e1+x； cy=ln-x ； d y=sin(2x+1)2. 当 x0时，下列哪一

49、个无穷小是比 tanx2 高阶的无穷小（ ）ax2； b1-cosx； c1； dsinx-tanx1x3-2x-e2 为（ ） 3极限 lim- x 2x-2a1； b0； c； d不存在但不为 4若当 x0时， (x和)一定是无穷小（ ） (x都)是无穷小，则当 x0时，下列表达式中哪一个不 2(x)22a | (x-)(x)；|b (x)+ ；(x)c； dsin (?x) (x) (x)? x2+2x+b,x? 15, 设 f(x)= ? x-1 适合 limf(x)=a ，则以下结果正确的是（ ）x1? a,x=1?ab=-3,a=4,a 可取任意实数； ba=4,a=4,b 可取任

50、意实数； ca=4,b=-3,a=4； da,b,a 都可取任意实数解： 1.a; 2 d; 3 b; 4c; 5 a.二.填空： 13x2 1函数 y=lnx 的定义域是；2. y=lnsine 是由基本初等函数3 复合而成的；f(x)=x；-x? x+1? 4lim ? xx? =；ax2+bx+1=2，则 a=，b=. 5.已知 a,b 为常数， limx 2x+1-1x 解： 1(0,4；2 y=lnu,u=sinv,v=e； 3 (- ,+ ；)4e；5. a=0， b=4二、解答下列各题11已知 f(x)= ，g(x)=fg(x) 及其定义域 22-x解： fg(x)=x|x -1 且 x (2k + 2)2-1,k z ； 2求下列极限：(1) lim x2n+1；(2) lim(+ x0tanx+x2sin； xx1；(3) lim2nsin n arcsinx2cos(4) lim x01-cos(sinx)(5) lim ；