北京中考数学一模题几何综合题

1、2017年北京中考数学一模28题“几何综合题”西城28在ABC中，AB=BC，BDAC于点D（1）如图1，当ABC=90时，若CE平分ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：BEF是等腰三角形；求证：；（2）点E在AB边上，连接CE. 若，在图2.中补全图形，判断ACE与ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE与ABC关系的思路 图1 图2 朝阳28.在ABC中，ACB=90，ACBC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE=AD，(1) 如图1，连接AE，DE，当AEB=110时，求DAE的度数；(2) 在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合

2、），且BE=AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90得到线段EF，连接BF,DE. 依题意补全图形；求证：BF=DE.图2图1东城28. 在等腰ABC中，（1） 如图1，若ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线 段为线段AE，连接DE，则BDE的度数为_；（2） 若ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将 线段AD绕点D逆时针旋转60得到线段DE，连接BE.根据题意在图2中补全图形；小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只

3、需要连接AE，并证明ADCAEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DFAB，交AC于F，证明ADFDEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明ADCDEG；请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）（3） 小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且ADE=C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是_.（直接给出结论无须证明）图1 图2图3房山28. 在ABC中，AB=BC，B=90，点D为直线BC上一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转9

4、0，使点A旋转到点E，连结EC.（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：依题意补全图1；求证：BAD=EDC通过观察、实验，小明得出结论：在点D运动的过程中，总有DCE=135.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证DCE =135，只需证ADFDEC.想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F. 要证DCE=135，只需证AFDECD.想法三：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证DCE=135，只需证EF=CF.请你参考上面的想法，证明DCE=135.（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，DCE的度数还是确定

5、的值吗？如果是，直接写出DCE的度数；如果不是，说明你的理由.顺义28在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；（2）如图2，连接AH，GH 小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AHGH小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证GAM是等腰直角三角形； 想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证AMHHNG. 请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AHGH（一种方法即可）平谷28在ABC中

6、，AB=AC，A=60，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120，与直线AC交于点F（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由BAC与EDF互补，可得AED与AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB

7、，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF.请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系备用图图1门头沟28. 已知ABC，, ,在BA的延长线上任取一点D,过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E.（1）当时，如图28-1，依题意补全图形，直接写出EC,BC,ED的数量关系；（2）当时，如图28-2，判断EC,BC,ED之间的数量关系，并加以证明；（3）当时（），请写出EC,BC,ED之间的数量关系并写出解题思路. 28-128-2海淀28在ABCD中，点B关于AD的对称点为，连接，交AD于F点.（1）如图1，

8、求证：F为的中点；（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为的中点小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点作CD交AD于G点，只需证三角形全等；想法2：连接交AD于H点，只需证H为的中点；想法3：连接，只需证请你参考上面的想法，证明F为的中点（一种方法即可）（3）如图3，当时，CD的延长线相交于点E，求的值 图2 图3 图1丰台28在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与 点B，C，D重合），且AEEF（1）如图1，当BE = 2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角

9、平分线CP于点P依题意将图2补全；小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证AGEECP想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH要证AE=PE， 需证EHP为等腰三角形想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90，得到线段BM，连接CM，EM， 要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE（一种方法即可）图1 图2石景山28在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接 （1）将射线绕

10、点顺时针旋转，交直线于点. 依题意补全图1； 小研通过观察、实验，发现线段，存在以下数量关系： 与的平方和等于的平方小研把这个猜想与同学们进行交流，通 过讨论，形成证明该猜想的几种想法： 想法1： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， 要证， ， 的关系，只需证，的关系. 想法：将沿翻折，得到，要证，的关系， 只需证，的关系. 请你参考上面的想法，用等式表示线段，的数量关系并证明； （一种方法即可） （2）如图2，若将直线绕点顺时针旋转，交直线于点.小研完成作 图后，发现直线上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平 方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.图1

11、图2通州28在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC.ED与直线BC交于点D，ED=EC.（1）如图1，AB=1，点E是AB的中点，求BD的长；（2）点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；（3）点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形. 图1 图2 图3 怀柔28（1）如图1，在ACB和ADB中，C=D =90，过A，B，C三点可以作一个圆，此时AB为圆的直径，AB的中点O为圆心.因为D=90，利用圆的定义可知点D也在此圆上，若连接DC，当CAB=31时，利用圆的知识可知CDB= 度.（2）如图2，在A

12、CB中，ACB=90，AC=BC=3，CEAB于E，点F是CE中点，连接AF并延长交BC于点D.CGAD于点G，连接EG. 求证:BD=2DC; 借助（1）中求角的方法，写出求EG长的思路.（可以不写出计算的结果）图2图1 西城28证明：在ABC中，AB=BC，BDAC于点D. ABD=CBD，AD=BD(1) ABC=90， ACB=45. CE平分ACB ECB=ACE=22.5.BEF=CFD=BFE=67.5. BE=BF.BEF是等腰三角形.2分 延长AB至M，使得BM=AB，连接CM. BDCM，BD=CMBCM=DBC=ABD=BMC=45，BFE=MCE.BC=BM.由可得，B

13、EF=BFE，BE=BF.BFE =MCE=BEF.EM=MC5分 (2)ACE=ABC a.与（1）同理可证BDPC，BD=PC，BP=BC； b.由可知PEC和BEF分别是等腰三角形； c.由BEF+BFE+EBF=180，FCD+DFC=90，可知ACE=ABC7分东城28.解：（1）30； 1分（2）思路1：如图，连接AE. 5分思路2：过点D作DFAB，交AC于F.5分思路3：延长CB至G，使BG=CD. 5分（3）k(BE+BD)=AC. 7分朝阳28（1）解：. （2）补全图形，如图所示. 证明：由题意可知AEF=90，EF=AE.ACB=90，AEC+BEF=AEC+DAE=9

14、0. BEF=DAE. BE=AD，EBFADE DE=BF 房山28.（1）补全图形 -1分（2）证明：B=90 BAD+BDA=90 ADE=90，点D在线段BC上 BAD+EDC=90 BAD=EDC -2分证法1：在AB上取点F，使得BF=BD，连结DF -3分 BF=BD，B=90 BFD=45 AFD=135 BA=BC AF=CD -4分 在ADF和DEC中 ADFDEC -5分 DCE=AFD=135 -6分 证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连结DF -3分 DC=DF DFC=DCF AB=BC B=90 ACB=45 DFC=45 FDC=90 AFD=13

15、5 ADE=FDC=90 ADF=EDC -4分 又AD=DE DF=DC ADFCDE -5分 AFD=DCE=135 -6分证法3：过点E作EFBC交BC延长线于点F -3分 EFD=90 B=90， EFD=B BAD=CDE，AD=DE ABDDEF -4分 AB=DF BD=EF AB=BC BC=DF，BC-DC=DF-DC 即BD=CF -5分 EF=CF EFC=90 ECF=45，DCE=135 -6分（2） DCE=45 -7分顺义28（1）解： 正方形中ABCD和正方形DEFG， ABD，GDF为等腰直角三角形 AB=1，DG=2， 由勾股定理求得BD=，DF= 2分 B

16、、D、F共线， BF= H是BF的中点， BH=BF= 3分5（2）证法一：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，ABEFABH=MFH又BH=FH,AHB=MHF，ABHMFH 4分AH=MH，AB=MFAB=AD，AD=MFDG=FG，ADG=MFG=90，ADGMFG 5分AGD=MGF，AG=MG又DGM+MGF=90，AGD+DGM=90AGM为等腰直角三角形 6分AH=MH，AH=GH，AHGH 7分证法二：连接AC，GE分别交BF于点M，N，正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，ACBF，GEBF，DM=BD，DN=D

17、FAMD=GNH=90，MN=BF 4分H是BF的中点，BH=BFBH=MNBH-MH=MN-MHBM=HNAM=BM=DM，AM=HN=DMMD+DH=NH+DHMH=DNDN = GN，MH = GNAMHHNG 5分AH=GH，AHM=HGN 6分HGN+GHN=90，AHM+GHN=90AHG=90AHGH 7分平谷28解：（1）如图1，1图1（2）图2图3图4想法1证明：如图2，过D作DGAB，交AC于G，2点D是BC边的中点，DG=ABCDG是等边三角形EDB+EDG=120FDG+EDG=120，EDB =FDG3BD=DG，B=FGD=60，BDEGDF4DE=DF5想法2证明

18、：如图3，连接AD，点D是BC边的中点，AD是ABC的对称轴作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，2ADEADPDE=DP，AED=APDBAC+EDF=180，AED+AFD=180APD+DPF=180，AFD=DPF3DP=DF4DE=DF5想法3证明：如图4，连接AD，过D作DMAB于M，DNAB于N，2点D是BC边的中点，AD平分BACDMAB于M，DNAB于N，DM=DN3A=60，MDE+EDN=120FDN+EDN=120，MDE=FDNRtMDERtNDF4DE=DF5（3）当点F在AC边上时，；6当点F在AC延长线上时，7门头沟28.（1）补全图形正确 . 1分 数

19、量关系：EC=BC + ED. 2分 （2）数量关系：.过D作DFAC交BC延长线于F点DFAC，EDBC，四边形ADCF为平行四边形.ED=CF , EC=DF.AB=AC，ABC=ACB.EDBC，DEC=ECB, EDB=DBC.CED=BDE.AE=AD.EC=BD . 3分BD=DF.DFAC，BDF=BAC=90. BDF为等腰直角三角形.4分在RtBDF中BF2=BD2+DF2，(BC+ED)2=2EC2. . 5分（3）数量关系：.6分 由（2）可知四边形ACFD为平行四边形，BDF为等腰三角形 过D点作DNBC于N点可得BN=BF，BDN=.在RtBDN中SinBDN=sin

20、 . 可得.7分海淀28（1）证明： 四边形ABCD为平行四边形，ABC=90， ABCD为矩形，AB=CD. D =BAD = 90. B，关于AD对称， AD=BAD=90，AB=A- 1分 AD=D AF=CFD， AF CFD（AAS）. F=FC F是C的中点 - 2分 （2）证明：方法1：过点作CD交AD于点G B，关于AD对称， 1=2，AB=A GCD， ABCD， GAB 2=3 1=3 A=G AB=CD，AB=A， G=CD - 3分 GCD， 4=D- 4分 FG=CFD， FG CFD（AAS）. F=FC F是C的中点 - 5分方法2：连接交直线AD于H点， B，关

21、于AD对称， AD是线段B的垂直平分线 H=HB- 3分 ADBC， - 4分 F=FC F是C的中点 - 5分 方法3：连接， B，关于AD对称， AD是线段B的垂直平分线 F=FB- 3分 1=2 ADBC， BBC BC=90 1+3=90，2+4=90 3=4 FB=FC- 4分 F=FB=FC F是C的中点 - 5分（3）解：取E的中点G，连结GF. 由（2）得，F为C的中点， FGCE， ABC=135，ABCD中，ADBC， BAD=180-ABC=45 由对称性，EAD=BAD=45. FGCE，ABCD， FGAB GFA=FAB=45. - 6分 FGA=90，GA=GF

22、由，可得 - 7分丰台28. 解：（1）正方形ABCD的边长为5， BE=2， EC=3. FADCBE132 四边形ABCD是正方形， B=C= 90， 1+3=90，AEEF， 2+3=90， 1=2. ABEECF，即FC=. 2分（2）依题意补全图形. 3分BCEDAFPG12法1： 证明：在AB上截取AG=EC，连接EG. AB= BC，GB=EB. B=90，BGE=45，AGE=135. DCB=90，CP是正方形ABCD外角平分线， ECP=135. AGE=ECP. 又1=2，AGEECP. AE=PE. 7分12BCEDAFPH456 法2： 证明：作点A关于BC的对称点H

23、，连接BH，CH，EH. AB=BH=BC，1=4，ABE=HBE=90. BHC=BCH =45，4+5=45. 1=2， 2+5=45. ECP=135，HCP=180，点H，C，P在同一条直线上. 6=2+P=45， 5 =P.AE=PE. 7分 法3： 证明：将线段BE绕点B顺时针旋转90，得到线段BM，连接CM，EM. MB=EB，MEB=45，MEC=135.BCEDAFPM1 由法1ECP=135，MEC=ECP. MEPC. 又AB=BC，ABC=MBC=90. ABECBF.1=BCM，MC=AE. MCEP.四边形MCPE为平行四边形. MC=PE.AE=PE. 7分石景山28（1）依题意补全图形，如图1 1分 线段，的数量关系为： 2分 图2图1 证法一： 过点作于点且， 连接，如图2 四边形是正方形， ， 又， 3分 ， 又， 4分 ，