导数的实际应用

1、导数在导数在实际生活中的应用实际生活中的应用新课引入新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用, ,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法, ,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题. .1.1.几何方面的应用几何方面的应用2.2.物理方面的应用物理方面的应用. .3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用 ( (利润方面最值利润方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )(面积和体积等的最值面积和体积等的最值)例例1 1：在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁片的的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边四角切

2、去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起沿虚线折起( (如图如图) )，做成一个无盖的，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？底的容积最大？最大容积是多少？xx6060 xx由题意可知，当由题意可知，当x x过小（接近过小（接近0 0）或过大（接近）或过大（接近6060）时）时，箱子容积很小，因此，箱子容积很小，因此，1600016000是最大值。是最大值。答：当答：当x=40cmx=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16 16 000cm000cm3 323( )602xV xx 解：设箱底边长为

3、解：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cmcm， 得箱子容积得箱子容积602xh(060)x23260( )2xxV xx h令令 ，解得，解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40 x=40，23( )6002xV xx并求得并求得V(40)=16000V(40)=16000解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h h，底半径为，底半径为R R，则表面积则表面积例例2 2：圆柱形金属饮料罐的容积一定圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？能使所用的材料最省？2VhRS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=R

4、V=R2 2h h，得，得 ，则，则2222( )222VVS RRRRRR22( )40VS RRR 令令32VR解得，解得， ，从而，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省3322342()2VVVVhRV即即h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值变式变式1：当圆柱形金属饮料罐的表面积为当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值定值S时，它的高与底面半径应怎样选时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？取，才能使所用材料最省？例例3 3 在如图所示的电路中，已在如图所示的电路中，已知电源

5、的内阻为知电源的内阻为r r，电动势为，电动势为，外电阻外电阻R R为多大时，才能使电功为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？率最大？最大电功率是多少？Rr 例例4.4.强度分别为强度分别为a,ba,b的两个光源的两个光源A,B,A,B,他们间他们间的距离为的距离为d d，试问：在连接这两个光源的线，试问：在连接这两个光源的线段段ABAB上，何处照度最小？试就上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）与光源距离的平方成反比）变式变式2埃及金字塔气势宏伟号称世界七大

6、奇迹之埃及金字塔气势宏伟号称世界七大奇迹之一一, ,修金字塔时需大量的方石，在运方石时修金字塔时需大量的方石，在运方石时遇到一个问题，若一块方石其重为遇到一个问题，若一块方石其重为P P牛顿，牛顿，设此方石与地面之间摩擦系数为设此方石与地面之间摩擦系数为，用外力，用外力F F拉方石使之移动，问此力与水平方向的夹拉方石使之移动，问此力与水平方向的夹角角为多少时，最省力为多少时，最省力, , 你能做到吗你能做到吗? ?试一试一试试. .FFPNfFPNf( )(0)12sincosPF 解：2)cos1(sin)sin1(cosPF:tan答时最省力。 。例例5、在经济学中，生产、在经济学中，生产

7、x单位产品的成本称单位产品的成本称为成本函数同，记为为成本函数同，记为C(x)，出售，出售x单位产品单位产品的收益称为收益函数，记为的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为称为利润函数，记为P(x)。（1）、如果）、如果C(x)，那么生产多少，那么生产多少单位产品时，边际最低？单位产品时，边际最低？(边际成本：边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、如果）、如果C(x)=50 x10000，产品的单，产品的单价价P1000.01x，那么怎样定价，可使利，那么怎样定价，可使利润最大？润最大？(0100)q变式变式3 3：已知某商品生产成本已知某商品生产成本C C与产量与产量q q的函的函数关系式为数关系式为C C=100+4=100+4q q，价格，价格p p与产量与产量q q的函的函数关系式为数关系式为 求产量求产量q q为何值时，为何值时，利润利润L L最大？最大？1258pq分析：利润分析：利润L L等于收入等于收入R R减去成本减去成本C C，而收入，而收入R R等于产量等于产量乘价格由此可得出利润乘价格由此可得出利润L L与产量与产量q q的函数关系式，再的函数关系式，再用导数求最大利润用导数求最大利润211252588