变力做功的计算

1、变力做功的计算变力做功的计算 公式公式 适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法一般有以下几种方法cosFsW 一、微元法一、微元法 对于变力做功，不能直接用公式进行计算，但是我们可以对于变力做功，不能直接用公式进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F F是恒力，用公是恒力，用公式求出每一小段内力式求出每一小段内力F F所做的功，然后累加起来就得到整个过所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方程中变力所做的功。这种处理问题的方

2、法称为微元法，这种方法具有普遍的使用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变，法具有普遍的使用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变，方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题，方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题， 例例1 1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R R的水平圆轨道运动的水平圆轨道运动一周，如图一周，如图1 1所示，已知物体的质量为所示，已知物体的质量为m m，物体与轨道间的动摩，物体与轨道间的动摩擦因数为擦因数为。求此过程中的摩擦力所做的功。求此过程中的摩擦力所做的功。 分析解答分析解答：把圆轨道分成无穷多个微元段：把圆轨道分成无穷多个微元段S S1

3、1,S,S2 2,S,S3 3,S,Sn n . .摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段是摩擦力的功分别摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段是摩擦力的功分别nnmgsWmgsWmgsWmgsW,332211mgRssssmgWWWWWnN2)(321321摩擦力在一周内所做的功。摩擦力在一周内所做的功。 小结点评小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式，如力计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式，如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用公式计的大小不变而方向总与运动方向相同或

4、相反时，可用公式计算该力的功，但式子中的算该力的功，但式子中的s s不是物体运动的位移，而是物体运不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。动的路程。 发散演习发散演习：如图：如图3 3所示，某个力所示，某个力F=10NF=10N作用与半径作用与半径R=1mR=1m的转的转盘的边缘上，力盘的边缘上，力F F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点的的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F F做功多少？做功多少？答案：答案：31.4J31.4J 在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上

5、的力力F F，横坐标表示物体在力的方向上的位移，横坐标表示物体在力的方向上的位移s s，如果作，如果作用在物体上的力是恒力，则其用在物体上的力是恒力，则其F-sF-s图象如图图象如图4 4所示。经所示。经过一端时间物体发生的位移为过一端时间物体发生的位移为S S，则图线与坐标轴所围，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于对物体做的功成的面积（阴影面积）在数值上等于对物体做的功，s s轴上方的面积表示对物体做的正功，轴上方的面积表示对物体做的正功，S S轴下轴下方的面积表示力对物体做功（如图方的面积表示力对物体做功（如图4 4（b b）所示）。）所示）。二、图象法 如果如果F-sF-

6、s图象是一条曲线（如图图象是一条曲线（如图5 5所所示），表示力的大小随位移不断变化，示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下放在曲线下方作阶梯形折线，则折线下放每个小矩形面积分别表示相应恒力所做每个小矩形面积分别表示相应恒力所做的功。当阶梯折线越分越密时，这些小的功。当阶梯折线越分越密时，这些小矩形的总面积越趋进于曲线下方的总面矩形的总面积越趋进于曲线下方的总面积，可见曲线与坐标所围成的面积在数积，可见曲线与坐标所围成的面积在数值上等于变力所做的功。由于值上等于变力所做的功。由于F-sF-s图象图象可以计算功，因此可以计算功，因此F-sF-s图象又称为示功图象又称为

7、示功图。图。 例例2 2、子弹以速度、子弹以速度v v0 0射入墙壁，如射深度为射入墙壁，如射深度为h h，若子弹在墙，若子弹在墙壁中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为壁中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h2h，求子弹的速度应增大到多少？求子弹的速度应增大到多少？ 正确解答正确解答：解法一：设射入深度为：解法一：设射入深度为h h 时，子弹克服阻时，子弹克服阻力做功力做功w w1 1；射入深度为；射入深度为2h2h时，子弹克服阻力做功时，子弹克服阻力做功W W2 2 。由图。由图6 6可知可知W W2 2=4W=4W1 1 思路点拨思路点拨：阻力随深度的变化图象如图：阻

8、力随深度的变化图象如图6 6所示，由图象求所示，由图象求出子弹克服阻力所做的功，在由动量定理进行求解。出子弹克服阻力所做的功，在由动量定理进行求解。021201mvW02122mvW02Vv 根据动能定理，子弹减少的动根据动能定理，子弹减少的动能用于克服阻力做功，有能用于克服阻力做功，有联立求解得：联立求解得： 解法二：设阻力与深度间的比例系为解法二：设阻力与深度间的比例系为K K，F Ff f=ks=ks 由于由于F Ff f 随位移是线性变化的所以的平均值为随位移是线性变化的所以的平均值为ksFf02120210021mvhkh 122102021mvhk 202vv 小结点评小结点评：若

9、力随位移按一次方函数关系变化：若力随位移按一次方函数关系变化时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒力功的公式求功，也可用图象求功；若力随位移的力功的公式求功，也可用图象求功；若力随位移的变化不是一次函数关系，则可用变化不是一次函数关系，则可用 F-s 图象求功，图象求功， 而而不能用平均值求功。不能用平均值求功。根据动能定理，有根据动能定理，有 发散演习发散演习1 1：如图：如图7 7所示，有一劲度系数所示，有一劲度系数k =500N/mk =500N/m的轻弹的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量m=2

10、m=2的物块，物块的物块，物块与水平面间的动摩擦因数与水平面间的动摩擦因数0.4,0.4,弹簧处于自然状态。现缓慢推动弹簧处于自然状态。现缓慢推动物块使弹簧从物块使弹簧从B B到到A A 处压缩处压缩1010，然后由静止释放物块，然后由静止释放物块， 求求: :（1 1）弹簧恢复原长时，物块的动能多大？）弹簧恢复原长时，物块的动能多大？ （2 2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的大动能为多大？）在弹簧恢复原长的过程中，物块的大动能为多大？答答 案：（案：（1 1）1.7J1.7J：（：（2 2）1.764J.1.764J.摩弹WWWKB1mgxW摩其中提示：（提示：（1 1）从）从A A到到B

11、B的过程中，对物体的过程中，对物体应用动能定理得：应用动能定理得：JJJEkB7 . 11 . 01024 . 01 . 0500212（2 2）放开物体后，物体做的是加速度）放开物体后，物体做的是加速度越来越小的加速运动，当弹簧的弹力等越来越小的加速运动，当弹簧的弹力等于摩擦力时，物体有最大的动能，设此于摩擦力时，物体有最大的动能，设此时弹簧的压缩量为时弹簧的压缩量为x x2 2mgkx2mmkmgx016. 05001024 . 02 弹弹可利用示功图求出，画出弹簧力随位移变化的图（如可利用示功图求出，画出弹簧力随位移变化的图（如图图8 8所示），所示），F F1 1=kx=kx1 121

12、21xkxW弹弹簧做功的值等于弹簧做功的值等于OAB OAB 的面积的面积, ,即即 mmmxxS084. 0016. 01 . 0212221OCkxkxW弹222121mgssxxkWWEkm摩弹JJJ764. 1084. 01024 . 0084. 0016. 01 . 050021发散练习发散练习2 2： 用质量为用质量为5kg5kg的均匀铁索从的均匀铁索从10m10m深的深的井中吊起一质量为井中吊起一质量为20kg20kg的物体，在这个过程中至少要的物体，在这个过程中至少要做多少功？（做多少功？（g g取取10 10 S S2 2 ）物体的位移：物体的位移：在这一过程中弹力的功在数值

13、上等于图在这一过程中弹力的功在数值上等于图8 8中梯形中梯形OADC OADC 的面积，的面积，即即所以物体的最大动能为所以物体的最大动能为答案：答案：2250J2250J10052501010hhhmgMgF提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，但在拉起来的过程中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也力，但在拉起来的过程中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也逐渐减小，即拉力是一个随距离长度变化的变力，从物体在逐渐减小，即拉力是一个随距离长度变化的变力，从物体在井底开始算起，拉力随深度井底开始算起，拉力随深度h h的变化关系是的变化关系是

14、 JJW2250102200250作出作出 图线如图图线如图9 9所示，利用示功图求解拉力的功（可用图所示，利用示功图求解拉力的功（可用图中梯形面积），得出中梯形面积），得出发散练习：发散练习：一辆汽车质量为一辆汽车质量为1 1 10105 5kgkg，从静止开始运，从静止开始运动，其阻力为车重的动，其阻力为车重的0.050.05倍。其牵引力的大小与车前进的倍。其牵引力的大小与车前进的距离是线形关系，且距离是线形关系，且 F=10F=103 3 s s 5 510104 4N N，F Ff f 是车所受阻是车所受阻力，当该车前进力，当该车前进100m100m时，牵引力做了多少功？时，牵引力做了

15、多少功？J7101作出作出F-sF-s图象如图图象如图1010所示，图中梯形所示，图中梯形OABDOABD的的面积表示牵引力的功，所以面积表示牵引力的功，所以451051010105. 0NkmgFf4310510sFJJW74100 . 1210010155答案：答案：提示：阻力提示：阻力则牵引力为则牵引力为例汽车的质量为例汽车的质量为m m，输出功率恒为，输出功率恒为P P，沿平直公路前进，沿平直公路前进距离距离s s的过程中，其速度由的过程中，其速度由增至最大速增至最大速。假定汽车在。假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s s所用的时间为

16、所用的时间为_._.思路点拨：汽车以恒定的功率思路点拨：汽车以恒定的功率P P加速时，由加速时，由P=FvP=Fv可知，可知，牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当 时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大的速度做匀速直线运动。的速度做匀速直线运动。三、利用三、利用W=PtW=Pt求变力做功求变力做功这是一种等效代换的观点，用这是一种等效代换的观点，用W=PtW=Pt计算功时，必须满计算功时，必须满足变力的功率是一定的。足变力的功率是一定的。两式联立得两式联立得2vPFf2122212

17、1mvmvsFPft221222)(vsPvvmt正确解答：当正确解答：当 时，汽车的速度达到最大，时，汽车的速度达到最大，由，可得由，可得对汽车，根据动能定有：对汽车，根据动能定有：)(2121vvv212vvsvst)(2121vvvsvPvPsFW)(2121求平均牵引力)(2121FFF误点警示：有同学可能这样解：误点警示：有同学可能这样解：平均速度平均速度时间时间 这样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，这样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，不能用不能用 求平均速度。求平均速度。 小结点评：汽车以恒定的功率启动时，牵引力是变力，小结点评：汽车以恒定的功率启动时，牵引力是

18、变力，牵引力的功不能用牵引力的功不能用W=Fs计算，但可以用计算，但可以用W=Pt计算，若用计算，若用 求牵引力的功也是错误的求牵引力的功也是错误的因为牵引力随位移的变化不是线性关系，不能用因为牵引力随位移的变化不是线性关系，不能用发散演习发散演习1 1：质量为：质量为m m的汽车在平直的公路上从速度的汽车在平直的公路上从速度 开始加速行使，经过一段时间开始加速行使，经过一段时间t t后，前进了距离后，前进了距离s s，此时恰好，此时恰好达到其最大速度达到其最大速度，设此过程中汽车发动机始终以额定，设此过程中汽车发动机始终以额定功率功率P P工作，汽车所受的阻力为恒力工作，汽车所受的阻力为恒力

19、则这段时间里，发动则这段时间里，发动机所做的功为：（）机所做的功为：（）tvFAfmax.PtB.stvvmC0max.tvvFDf2.max0提示：发动机所做的功即为发动机牵引力所做的功，由提示：发动机所做的功即为发动机牵引力所做的功，由功率定义可知，选项功率定义可知，选项B B正确。正确。 答案：答案：A、BtvFPtWfmax2max0vv 汽车以恒定功率启动，当汽车以恒定功率启动，当 时，达到最速度时，达到最速度，应有应有所以所以选项选项A正确。选项正确。选项C、D均将汽车的运动看作匀变速运动，其均将汽车的运动看作匀变速运动，其中选项中选项C是先求出是先求出a，再求出合外力，再求出合外

20、力ma的功，选项的功，选项D是先算出是先算出平均速度平均速度t vFf然后用 ，表示发动机做的功显然都是错误的，因为机车的，表示发动机做的功显然都是错误的，因为机车的运动是变加速运动而不是匀变速运动运动是变加速运动而不是匀变速运动 这种方法的依据是：这种方法的依据是：做功的过程就是能做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度量转化的过程，功是能的转化的量度。如果。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。知道了该过程中对应的功的数值。例例4 4。如图。如图1111所示，质量所示，质量m=2kgm=2kg的小球系在轻细橡皮

21、条一端，的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点另一端固定在悬点O O处。将橡皮条拉直至水平位置处。将橡皮条拉直至水平位置OAOA处（橡处（橡皮条无形变）然后将小球由皮条无形变）然后将小球由A A处静止释放，小球达处静止释放，小球达O O点正下点正下方方h=0.5mh=0.5m处的处的B B点时的速度为点时的速度为v=2 m/sv=2 m/s。求小球从。求小球从A A运动到运动到B B的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。取的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。取g=10m/sg=10m/s2 2四、利用功能关系求变力功四、利用功能关系求变力功 正确解答正确解答：取过：取过B B点的水平面为零重

22、力势能参考平面，橡点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零，设在皮条为原长时的弹性势能为零，设在B B时橡皮条的弹性势能为时橡皮条的弹性势能为, ,由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得 mghEmvP2221JJJmvmghEP622215 . 010221222橡皮条的弹性势能增加橡皮条的弹性势能增加6J6J，则小球的机械能，则小球的机械能必减少必减少6J6J，故橡皮条的弹力对小球做功，故橡皮条的弹力对小球做功-6J-6J。 思路点拨思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从象，在小球从A A运动到运动到B B的过

23、程中，只有系统内的重力和弹力的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能定恒。做功，机械能定恒。 小结点评小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹力做功与弹类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹力做功与弹性势能变化的关系性势能变化的关系. .2022121mvmv 提示：对整个过程应用动能理。提示：对整个过程应用动能理。发散演习：发散演习：1 1、将一质量为、将一质量为m m的物体以初速度为的物体以初速度为竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为，已知空竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为，已知空气阻力与速率成正比，则从抛出到落回抛出点的整

24、个过气阻力与速率成正比，则从抛出到落回抛出点的整个过程中，空气阻力做的功为程中，空气阻力做的功为 ：（：（ ）答案：答案： 发散演习发散演习、如图如图1212所示，物体沿曲面从所示，物体沿曲面从A A点无速点无速度滑下，滑至曲面的最底点度滑下，滑至曲面的最底点B B时，下滑的高度为时，下滑的高度为5m5m，速度为，若物体的质量为速度为，若物体的质量为1kg1kg，则下落过程，则下落过程中物体克服阻力做的功为多少？中物体克服阻力做的功为多少？KAKBfGEEWWJWWWKBGf32答案：根据动能定理可得答案：根据动能定理可得 用用F F缓慢地拉；缓慢地拉；F F为恒力；为恒力；若若F F为恒力，而且拉到该位置为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有A. B. C. D. cosFLsinFLcos1FLcos1mgLLmF解：