偏导数的应用习题

1、偏导数的应用习题1. 求二元函数的极值。2. 求二元函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值、最小值。3. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数为：，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即，（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使企业的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总

2、利润大小。4. 求平面曲线（a>0）上任一点处切线方程，并证明这些切线被坐标轴所 的线段等长。5. 求曲线，上点，使曲线在此点的切线平行于平面。1.求二元函数的极值。，得到驻点： （唯一的）， ，极小值。2.求二元函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值、最小值。注意：在区域D上的极值点限定在区域D的内部，而最值点可在区域D的边界线上取得，因此求在区域D上的极值点可按无条件极值方法处理，但是必须限定所考虑的驻点在给定的区域内，而考虑最值点时应考虑在D的边界曲线的极值问题，这是条件极值问题。（1） 求D内极值 得到驻点： ，由于D的边界曲线为x=0, y=0, x+y=6

3、， 仅点(2,1)在D内，其他点舍去。 , 在点（2, 1）处A=-6<0， B=-4, C=-8， ,(2,1)为极大值点，极大值f(2,1)=4.（2） 求最值。 （）在D的边界曲线x=0(),()在D的边界曲线y=0(),()在D的边界曲线 上化为条件极值。即在约束条件下极值。两种方法一是把条件代入化为无条件极值：， 求一元函数最值问题。 驻点 x=4, x=4为极小值点x=4时，y=2，f(4,2)=64为f(x,y) 在x+y=6上的极小值，综上 f(2,1)=4，f(4,2)=64， 故在D上最大值为4，最小值为64。3.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市

4、场的需求函数分别是，其中分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数为：，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即，（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一价格，使企业的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小。(1)价格差别策略进行销售，则问题为无条件极值；(2)价格无差别策略进行销售，即, 则问题为条件极值.(1) 实行价格差别策略，总利润，得到驻点 即为所求。此时 （4,5）点唯一，一定有最大值，最大利润L=52(万元).（2）实行价格无差别策略，约束条件，即， ，解得， 则此时最大利润L=49<52, 实行价格差别策略利润高。4.求平面曲线（a>0）上任一点处切线方程，并证明这些切线被坐标轴所 的线段等长。记 ，曲线上任一点处的切线方程：，此切线在两坐标轴上截距分别为