2022年中考数学几何模型之半角模型与倍角模型(讲+练)(原卷版)

1、专题04半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，/EAF=45°，连接EF,过点A作AG丄于EF于点G,则：EF=BE+DF,AG=AD.例.如图，正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在AB,AD上，若CE=5，且/ECF=45则CF的长为4.【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC,CD于M,N.(1) 如图1，当M,N分别在边BC,CD上时，求证：BM+DN=MN如图2,当M,N分别在边BC,CD的延长线上时，请直接写出线段BM,D

2、N,MN之间的数量关系如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10,CN=6,MC=8，求CP的长.【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=CD，/ABC=ZADC=90°,/MANS'BAD.(1) 如图1,将/MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；(2) 如图2,将/MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(3) 如图3，将/MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边

3、BC、CD的反向延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明.圉1图2图3模型二、等腰直角三角形角含半角模型如图，在ABC中，AB=AC，/BAC=90。，点D,E在BC上，且/DAE=45°，则:bd2+ce2=de2.例如图，已知ABC中，BAC=90,AB=AC,D,E是BC边上的点，将厶ABD绕点A旋转，得到?,当厶DAE=45时，求证：DE=?在(1)的条件下，猜想：?,?,?有怎样的数量关系？请写出，并说明理由【变式训练1】在等腰RtABC中，CA=CB，/ACB=90o,O为AB的中点，/EOF=450,交CA于F,交

4、BC的延长线于E.(1)求证：EF=CE+AF;(2)如图2,当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明且住CF=45°求证：AE2BF2EF2-E、F为AB上两点(E左F右)，【变式训练3】如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，BDC=120o,以D为顶点作一个600的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N,连接MN，则AMN的周长是多少？模型三、二倍角模型(1) 作二倍角的平分线，构成等腰三角形(2) 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形例.已知一=7,求，一及的值(利用倍半角模型解题)【变式训

5、练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF丄BE交CD边于点F,M是AD边上一点，且BM=DM+CD.(1)求证：点F是CD边上的中点；(2)求证：/MBC=2/ABE.廿C【变式训练2】如图，在ABC中，/BAC=90o,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将厶ABD沿AD翻折得到厶AED，连接CE,求线段CE的长.课后训练1.如图，在ABC中，/ACB=90oD是AB边上的一点，M是CD的中点，若/AMD=2在ABC中，/C=90o,AC=8,AB=10,点P在AC上，AP=2,若'的圆心在线段BP上，且与AB、AC都相切，试求-的半径3如图，在四边形ABC

6、D中，AB=AD,/B+ZD=180o,E、F分别是边BC、CD上的点,且/EAF=-ZBAD，求证：EF=BE+FD.24已知，在正方形ABCD中，/MAN=45o,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，当/MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.(1) 当/MAN绕点A旋转到BM工DN时(如图2),线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；(2) 当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想5.如图，在平面直角坐标系中，.：I且1=I：'.(1)求证：ABC是等边三角形;(2)如图2,A、B两点在丁轴上、"轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足/MON=450,试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论6已知正方形ABCD,MAN45,MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC于点M、N,AHMN于点H.图图图(1) 如图，当BMDN时，可以通过证明ADN也ABM，得