高中数学实验课初探

1、高中数学实验课初探HP图形计算器在高中数学教学中应用几例海南华侨中学 赵涛在教学过程中，我们发现不少学生对数学学习越学越没有兴趣，对一支笔一张纸的演算非常反感。相反对物理，化学等学科的实验课往往很有兴趣。动手操作多，参与性强，有利于提高对该学科的学习兴趣。为什么数学学科就不可以有一些实验课呢？为什么不能在相关学科的实验课中引入数学方法呢？这样是否能够更贴近实际，让学生对数学学习燃起兴趣。有鉴于此，我借助HP图形计算器在高中数学课中进行了一些初步的探索。（一）数列中的应用1、探索等差数列的通项公式（人教A版必修5 P39 探究题）例1、写出数列的前几项，观察数列有何特点？首先按APLET键，选择

2、Sequence（数列），输入该数列，然后按NUM键观察数值变化，从数值上寻找对于这个数列各项之间有何规律。学生不难发现这个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数3，将其推广，得到等差数列的定义：如果差为d(任意一个常数)，则这样子的数列称为等差数列。师：请任意选取一些项，如观察，等项，相互之间有何规律?生：，师：那么可以猜测，对于等差数列中的第n项和第一项之间有怎样的关系呢？生：然后给予严格证明。师：请任意挑选两项，观察二者之差与公差的关系。学生自选两项分析，不难得出规律，师生共同归纳得出，依据通项公式给出证明。师：请作出数列图像,观察图像有何特点？生1：是阶梯图。师：为什么？生1

3、：因为数列的n只能取整数。师：再观察两相邻点间还有什么特点？生2：垂直距离都是3.师：为什么？生2：这个距离就是公差3师：请同学们再画出函数的图像，与刚才数列的图像相比，有什么共同点吗？学生不难发现，数列各点所在的直线即为函数的图像，直线的斜率即为数列的公差。在这一探究过程当中，学生能够直观理解等差数列其实就是一次函数的离散化，对等差数列的通项公式有更深刻的理解。前n项和公式例2、等差数列的前n项和公式（人教A版必修5 P45 例4）已知等差数列5，的前n项为，求使得最大的序号n的值.解：求得等差数列的通项公式为按Shift MODES键，选择Fraction.运用分数格式。在Sequence

4、中输入这个数列，按NUM键观察各项值的变化规律。不难得到数列单调递减。按Plot键，做出这个函数的阶梯图。易知至都在x轴上方，均为正。，以后均为负。所以易知当或8时，取到最大。在Sequence中输入数列，再NUM中观察这个数列各项的变化规律，易知，从至单调递增，然后再单调递减。易知最大值为20.作出这个数列的图像，观察这个图像易知，类似开口向下的二次函数图像。再作出函数的图像。对比易知，这个数列就是二次函数的离散化。自然要求使得的序号值还有第二种解法（配方法）：，即当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值。这样有助于加深学生对等差数列前n项和公式实际上是二次函数的离散化这一知识点的理解，也进

5、一步帮助学生从函数的角度来理解数列。这个问题还可以进行推广，怎样的等差数列有最大值，怎样的等差数列有最小值？可以由学生自主探究。另外，类似的，还可以在等比数列的前n项和的教学过程中渗透极限与积分的思想。例如其前n项和是一个指数型函数的离散化模型。人教A版必修5P61 习题2.5A组第5题一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，（1） 当它第10次着地时，经过的路程共是多少？（2） 当它第几次着地时，经过的路程共是293.75m？（3） 至球落地不动为止，共经过路程多少？（自行补充）解：从球第i次着地到第i+1次着地间的距离记为，则为一首项是100，公比为的等比数列则

6、第10次着地时，经过的路程即为，对于上述数列，输入图形计算器，易得当它第10次着地时，经过的路程共是100+199.61=299.61m。若共为293.75m,则由图易知当球第5次落地时，总路程为293.75m.前两问利用图形计算器同学们很快给出了解答。但是对第三问学生会有困惑，如果按照理想状态，这个球将永远弹下去，则距离将不断增大？可是这明显与事实相违。继续观察数组，在第22项以后其值就固定在200不再增大了，为何出现这种情况？是不是意味着这个球到停止弹跳共经过300米的路程。观察，当N越来越大时，越来越小越趋近于零，当N非常大的时候，则可以忽略不计。即这个数列所有项的和为200，所以总路程

7、为300。那怎样的等比数列可以求所有项的和呢？国际象棋发明者向国王要麦子的问题能不能求所有项的和？可以交给学生自主探究。不等式中的应用（有关高次不等式的解法）在教学中，我们常常会遇到一些高次不等式的求解问题，对于这些不等式，我们要求学生化为（或0）利用数轴标根法来求解。传统的教学过程中通过例题归纳步骤是这样的第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将化为第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：的根为：，-1 0 1 2第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根

8、，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。-1 0 1 2第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。解得：-1<x<1或x>2。另外、如果x的次数是偶数，则线不能穿过去继续在同一侧过！为了学生便于记忆，我还归纳了如下口诀：从右往左，自上而下，穿针引线，奇穿偶回。但是在教学实践过程当中，学生虽然兴趣高涨，但是由于不理解这种解法的实质，所以虽然有口诀，仍旧无法记住解法要点，灵活运用。其实这类不等式解集的实质就是函数当或时对应的自变量x的取值范围。问题是在教学中三次或更高

9、次的函数图像就很难做出了，因此学生理解自然也就存在困难。而如果我们借助HP图形计算器强大的函数作图功能，数轴标根法的教学难点就迎刃而解了。案例一、求不等式的解集师：请问方程有几个根呢？那么函数与x轴有几个交点呢？生：三个师：请借助HP图形计算器做出这个函数的图像，并根据图像归纳出不等式的解集。生：根据图像，这个函数与x轴有三个交点，将x轴分成了四个区间，从右到左正负相间。则原不等式的解集是或师：如果是呢？生：最右区间函数图像在x轴下边。师：因此数轴标根法的关键在于先要把x的系数化为正，只有这样口诀“从右往左，自上而下”才可以。例2 解不等式（1） （2）师：从图像上，大家能发现什么特点，怎样影响我们不等式的解集呢？生：对与方程的偶次根处，函数图形不穿过x轴而是折回继续穿过下一根。例3、解不等式（1） （2） 师：从图像上，大家能发现什么特点，怎样影响我们不等式的解集呢？生：对与方程的奇次根处，函数图形穿过x轴进而折回继续穿过下一根。综上，口诀“奇穿偶回”其实就是解决了重根的问题。总之，其实数轴标根法的实质其实就是画出高次函数的草图然后“看图说话”，加深了学生对于函数，方程，不等式三者关系的理解。而图形计算器在这一过程当中发挥了非常重要的作用，为学生发现规律，探索问题提供了实验平台。真正发挥了其“学具”的作用。高中数学为每一位学生打开了一