2021版数学攻略大一轮复习新高考(新)：§9.6圆锥曲线的综合问题

1、§9.6圆锥曲线的综合问题基础篇固本夯基【基础集训】考点一曲线与方程I.设k>l,则关于x,y的方程(lk*+y2=k所表示的曲线是()A.长轴在x轴上的椭圆B.长轴在y轴上的椭圆C.实轴在x轴上的双曲线D.实轴在y轴上的双曲线答室D2,已知A(-L0).B(1.0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若丽。加丽,则当入<0时,动点M的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答室C3,设三个数J(x-、2 +)巴+)，2成等差数列，记(X.y)对应点的曲线是C求曲线C的方程.解析 依题意得+ 尸+J(x + 6)。+ y，=2/X所以点P(x.y)到点M(6.0)与

2、点N(-在.0)的距离之和为2r区注意到IMNI=2必2曲,所以点P的轨迹是以M.N为焦点的椭圆,所对应 的椭圆中卜=弋故b=l,故曲线C的方程为当(c =34.已知阅M:(x+l)2+y=l,圆N:(xl)2+yJ9.动圆P与圆M外切并且与帆N内切纲心P的轨迹为曲线C.求C的方程.解析 由已知得圆M的圆心为MG1.O),半径门=1:圆N的圆心为N( 1.0),半径门=3.设圆P的圆心为P(x.y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以IPMI+IPNI=(R+h)+(i>R)=4>IMNL由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点.长半轴长为2,短半轴长为标的椭圆

3、(左顶点除外)，其方程为"=l(xA2).考点二定点与定值问题5已知抛物线y2=4x上的两点A.B.0为坐标原点，且OAJ_OB.A(xi.yi).B(X2.y2),则xix?的值是()A.4B.8C.12D.16答室D6已知直线1与双曲线;y2=相切于点p与双曲线的两条渐近线交于M.N两点，则初赤的值为()A3B.4C.5D.与P的位置有关答室A7,已知椭圆C:*5=l(a>b>0),四点PM1.1)R(O.1)R(L外Pa(l号)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线1不经过P2点且与C相交于A.B两点,若直线P2A与直线P：B的斜率的和为1.证明:1过

4、定点.解析 木题考查广圆锥曲线的方程以及忸锥曲线与直线位置关系中的定点问题.由于P3.P4两点关于y轴对称.故由题设知C经过P3.P4两点.所以点心在C上.=+ 1717 w设直线P：A与直线P2B的斜率分别为kukz.如果1与x轴垂直,设1：X=.由题设知tHO,且Itlv2,可得A.B的坐标分别为则旧上毕苧得t=2,不符合题设.从而可设 l:y=kx+m(mH 1),将 y=kx+m 代入y?=l 得 (4k2+l )x2+8kmx-i4nr-4=0.由建设可知 A=16(4k2-nr+l)>0.设 A(xi,yi),B(x2,y2),htli8km4mz-4则Xl+XA际'

5、凶=际.而卜+匕=虬HXI X2kx+m-1 kx2+m-l町 x2二2的登+(什1)(肛+*2)xlx2由题设 ki+匕= 1.故(2k+1 )x X2+( m-l)(xi+X2)=0.HP(2k+l 1 )-L=().4kz+l 4kz+l解得k=牛.当且仅当m>-l时，&>0,于是l：y=Ex+m.即 y+l=*(X-2),所以1过定点方法总结求解轨迹方程的步骤:建系、设点一列式(列出动点所满足的几何等量关系式)T坐标化(选用合适的公式表示几 何等量关系)一化简(注意化简前后的等价性L检验(去伪存真).考点三最值与范围问题8若a>l,则双曲线导俨=1的离心率的取

6、值范困是()A.(0,y)B.(&2)C.(l.V)D.(1.2)答室Cr29已知双曲线2y5的左、右焦点分别为F1、F-P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为(23),则IPQI+IPRI的最小值为.答室5+2610 .已知F是双曲线C:(喧1的右焦点.P是C的左支上一点.A(0.6面)"APF周长最小时，该三角形的面枳为.答室12e考点四存在性问题11 .(2019辽宁抚顺模拟.21)已知定点C(L0)及椭圆x2+3y=5,过点C的动直线与椭圆相交于A.B两点.若线段AB中点的横坐标是之求直线AB的方程；在x轴上是否存在点M.使何万而为常数?若存在，求出点M的坐标;若不存在浦

7、说明理由.解析(1)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+l),将y=k(x+l)代入椭圆方程x2+3y、5.消去y整理得(31<2+1*+66+3炉-5=0.设 A(xi,y1),B(X2,y2),A = 36k4.4(3& + l)(3k2.5) > 0,则上一微2卜+石=-而,2由线段AB中点的横坐标是J.得畔耳.耳一义 22弘，+1 2解得k=±f,适合,所以直线AB的方程为、/1丫+1=0或乂+口丫+1=0.假设在x轴上存在点,使苏丽为常数.当直线AB与x轴不垂直时， 22由(1)知 X+X=/,XX2- 'J5，所以 MAM

8、 8 =( x m)(X2-m )+yi yz=(xi-m)(X2-m)+k2(xi+l )(X2+1)=(k2+l)xi X2+( k2-m)(xi+X2)+k2+m2.将代人整理得后不施=丝贮)正 3/+1(2川)2+112n埠)=1_iL i+n31十1,今 1 6m+14=nr+2m-23 3(3r+l)注意到苏讯是与k无关的常数.从而有61】1+14=0.1】1=.此时而不丽=4. W当直线AB与x轴垂直时，点A.B的坐标分别为(,学言)，当“二吐亦有而靛 ， 综上，在x轴上存在定点.m(，o) .使加丽为常数.综合篇知能转换【综合集训】考法一有关轨迹方程问题的求法1 .(2019安

9、做五校联盟第二次质检.4)/犬+ (y3)Jj犬+ (y + 3)7表示的曲线方程为()A.-=1(x<-2)B.y-=l(x>2)C.4=l(y<-2)D.持(沦2)答室C2 .(2018山西临汾模拟.9)已知椭圆C:，+5=l(a>b>0)的左,右顶点分别为A.B.点M.N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是()A.x=±a(yH0)B.y2=2b(lxl-a)(y0)C.x2+y2=a2+b2(y#0)D.-KyO)答室D3 .(2019广东六校第一次联考(节选)已知例C:(x+1户+产=36与定点M(L0)

10、,动圆I过M点且与圆C相切.求动圆留心I的轨迹E的方 程.解析 设圆I的半径为r.由题意可知，点I满足IICI=6-rJIMI=r,所以 IICI+IIMI=6.由椭圆的定义知点I的轨迹为以C.M为焦点的椭圆.且a=3.c=L所以b=2鱼.故轨迹E的方程为鹏=1.考法二圆锥曲线中的定点、定值问题的求解方法4 .(2019重庆巴蜀中学模拟.21)如图，在平面直角坐标系中,已知点F(LO).过直线Lx=2左侧的动点P作PHL于点H./HPF的平分线 交x轴于点M.且PH=V2MF.记动点P的轨迹为曲线Q.求曲线Q的方程.过点F作直线m交曲线Q于A.B两点，点C在1上，且BCllx轴,试问:直线AC

11、是否恒过定点?请说明理由.解析 设 P(x.y)/ZPH±L.PHIIOM.故 nHPM=nPMF.又 PM 平分nHPF.，nFPM=nHPM. zFPM=zPME .IMFI=IPFL /.需=瑞|x2|斗.即曲线Q的方程吊六1.(2)过定点.理由:由题意知:直线m的斜率不为0,可设直线m的方程为x=ly+l,设A(Xi,yi).B(X2.y2). 联立:2化为(1+2)俨+2叩-1=0,1>0成立.2c小+以=-内万¥户=否？xi=ty1+L直线AC的斜率卜=瞿.方程为yyk*(x2).又:32（*卜2）=可%1）=Jy第g+a即户装(*).直线AC恒过定点值,

12、0).经验证，.当斜率不存在时匕线AC也经过点修0).符合题意.考法三圆锥曲线中的最值(范围mI题的求解方法5 .(2018清华大学中学生标准学术能力诊断测试( 11月)设P是椭圆总£ 上一点MN分别是两师(x+12)，y2=和许由目 上的点，则IPMI+IPNI的限小值、最大值分别为()A.18,24 B. 16.22C.24,28D.20,26答室C6 .(2019陕西宝鸡中学二模.11)已知抛物线x716y的焦点为F,双曲线的左、右焦点分别为M、F?.点P是双曲线右支上一点,则IPFWPRI的最小值为() A.5B.7C.9D.11答室C7 .(2018宁夏银川4月检测)已知动

13、点P到定点F(L0)和到直线x=2的距陷之比为暂.设动点P的轨迹为曲线E.过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A、B两点，直线l:y=mx+n与曲线E交于CD两点，与AB相交于一点(交点位于线段AB上,且不与A.B重 合).求曲线E的方程：(2)当直线1与圆x4y2=l相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线1的方程:若没有,请说明理 由.2 7解析设点P(x.y).由题意.可得综广耳,得gy=L曲线E的方程是当俨=|.设C(x1.yD,D(X2.y2),由条件可得 当m=0时，显然不合题意.当mKO时直线1与圆x2+yl相切,.哥11,得M=m¥l

14、.0 = mx + n,联立(e+),2 = 1 消去 y 得(?标 +mx2+2mnx+n2-l=0.则 AqmlfYQn。+ (n2-1 )=2nr>0.x+x2=-I-x 1 X2=-S ACBD=AB|,|XrX2l=;2m2+i21ml 2 /显 1 -,2WI+时 2 当且仅当211111=1(11 m=±等时等号成立，此时n=±f.经检验可知.直线丫=条4和直线)，=*+孚都符合题意.考法四存在性问题8.(2019内蒙古通辽五中模拟.20)已知椭噂+£=l(a>b>0)的离心率e=殍.过点A(0.b)和B(aO)的直线与原点的距离为

15、学 (1)求椭圆的方程；已知定点EGL0),若直线产kx+2(kH0)与椭圆交于C、D两点，问:是否存在这样的实数匕使得以CD为直径的圆过E点?若存在, 靖求出k值，若不存在,请说明理由.解析 直线AB的方程为bx-ay-ab=0.依题意可得解得岛3b、l,椭圆的方程为*y2=存在.kg.理曲假设存在这样的实数k. O由二? ! ： n 得( l+3k4x2+12kx+9=0. (x- + 3y-3 = 0, A=(12k)2-36( 1 +3E)>0 .设 C(Xi,yi),D(X2j2), yry2=(kxi+2)(kx2+2)=k2xiX2+2k(xi+X2)+4.“1 +力=9捺

16、I"1次"询，要使以CD为直径的网过点EG1.0),只需CE±DE.即 yiyz+fxi+l)(X2+1)=0,A(k2+1 )XiX2+(2k+l )(Xi+X2)+5=0.(4)将代入整理得k1.经验证,kg时，成立.故存在k使得以CD为直径的圆过点E. bO【五年高考】考点一曲线与方程1.(2019课标全国11.21.12分汜知点A(20).B(2.0),动点M(x.y)满足直线AM与BM的斜率之积为士记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P.Q两点，点P在第一象限.PE_Lx轴,垂足为E.连接QE并延长交C于

17、点G.证明3PQG是直角三角形：(ii)求二PQG面积的最大值.解析 木题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭网的位置关系,两条直线的位置关系,弦长问题.三角形的面积以及基木不等式的应用 等相关知识;通过对三角形形状的判断以及面积最值的求解考查学生的知识迁移能力、运算求解能力及函数思想方法的应用:体现 了逻辑推理和数学运算的核心素养.由题设得2.化简得寓所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭帅不含左右顶点.证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).任=收2电+白净但土不，记 u=,则 P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,O).于是直线QG的斜率为之方程为y=%x-u

18、).y = J(xu), 由1 22得(2+K)x22uk2x+k2u28=0. 设GD，则也和xg是方程的解,故xg上熟2由此得y号金-uk从而直线PG的斜率为7W3 勺),k 2+k2-所以PQLPG,即SQG是直角三角形.(ii)由得IPO2uVT不产PGI=2叭"71, 2+k所以SQG的面积S=3PQIIPGI=啊产冽8(笆k)2-27)(2+冽 1+2./设1=卜+：,则由k>0得叱2当且仅当k=l时取等号.因为S=$在2+8通调递减.所以当t=2.HU k=l时S取得最大值.最大值为某因此，SQG面积的最大值为程思路分析 利用直线AM与BM的斜率之积为3求得曲线C

19、的轨迹方程,从而得出曲线C的轨迹.(2)设出直线PQ的方程,联立椭圆方程.求得点P、Q的坐标.由Q、E的坐标得出直线QG的方程.联立椭囱方程彳导出点G的坐标.进而表示出直线PG的斜率.从 而得出结论<ii)利用弦长公式求出IPQI与PGI的表达式,从而将三角形的面积表示成关于k的函数.进而利用函数思想求其最大值. 解题关耀利用方程思想得出点P、Q的坐标.进而利用换元法及整体代换法简化运算过程是J顺利解决本题的关键:正确利用 基本不等式及函数单调性是求解SQG面积最值的关键.2 .(2017课标全国11.20.12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y+y2=l上，过M作x轴的垂线,垂足为

20、N,点P满足丽=鱼丽 求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=3上，且加,丽=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线1过C的左焦点F. 解析 木题考查r求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设 P(x,y),M(xo,yo),则 N(x().0).iV?=(x-x(>.y).A?=(0.yo).由称=6而?得 xo=x.yo=yy.伙I为M(xo,y°)在C上，所以3因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明:由题意知 FG1.0),设 Q(-3,t),P(m,n),则丽=(-3,1)可=(-1-叫-11),而尸？=3+3mtn,而=(m,n)同=(-3-m.t-n).由3?,

21、万5=1得3mnF+miF=L又由知nF+【f=2.故3+3m-tn=O.所以而下？=0,即丽，麻.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线1过C的左焦点F.思路分析 设出P、M的坐标利用而W丽得到匕M坐标间的关系,由点M在C上求解.(2)利用向量的坐标运算得而再=0, 进而证明直线1过曲线C的左焦点F.方法总结求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接法有相关点法、交轨法和参数法.3 .(2016课标全国川20.12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线h.k分别交C于A.B两点，交C的准线于P.Q 两点.若F在线段A

22、B上,R是PQ的中点，证明ARIIFQ；(2)若乙PQF的面积是3BF的面枳的两倍，求AB中点的轨迹方程.解析 由题设知 F,0).设 h：y=a.h：y=b,贝ij abHO.且笔,a州曲)>!>(-2Q(W，b),唱，吟记过A.B两点的直线为1,则1的方程为2x(a+b)y+ab=O.(3分)(1)由于F在线段AB上，故l+ab=O.记AR的斜率为ki.FQ的斜率为h则所以ARIIFQK5分)设1与x轴的交点为D(xlO),则S"=3b-allFDI=|lbalk1那”噤由题设可得2x3b-alk4*,所以x1=0(舍去)，或xi=L(8分)设满足条件的AB的中点为E

23、(x,y).当AB与x轴不垂直时.由kAB=kDE可得磊备XH1).而等=y,所以 y,2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时.E与D重合.所以.所求轨迹方程为y2=vl.(12分)疑难突破 第问求解关健是把AR IIFQ的证明转化为kAR=kg的证明:第问需找到AB中点所满足的几何条件.从而桁其转化 为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.4 .(2015湖北.21.14分)一种作图:具如图1所示Q是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处较链与ON连接.MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=LMN=3.当栓子D在滑槽AB内做往更运动时.带动N绕

24、O转动一周(D不动时.N也不动).M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点.AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.求曲线C的方程；设动直线1与两定直线h:x-2y=0和h:x+2y=0分别交于P.Q两点,若直线1总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:口OPQ的面积 是否存在最小值?若存在，求出该最小值:若不存在，说明理由.解析 设点D(t.O)(lt区2).N(xo.yo).M(x.y),依题意丽=2而,且而1=1而1=1.所以(t-x.-y)=2(xo-t.yo),且一 + ys = L即优=2;产且M-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动，所以t不恒等于0.于是 t=2x

25、o.故 Xo=；.yo=,.代入后+ 羽=1,可得"=1.1O ，即曲线C的方程为总展L (2)当直线1的斜率不存在时.直线1为x=4或x=4.都有S，ofq=1x4x4=8.(ii)当直线1的斜率存在时.设直线l:y=kx+m(fc * ±由lx- + 4y- = 16,消去 y.可得(144k2)x2+8kmx+4nf-l 6=0.因为直线1总与椭圆C有且只有一个公共点，所以 A=64k2m2-4(l44k2)(4m2.16)=0,BP mF6k2+4,又由得Ma得p(翁勖同理可得Q(黑，品).由原点O到直线PQ的距离为和 IPQI=V1TFIxpXqI.可得 S,op

26、Q=3PQM=3nVIXLXQl加德+尚=图.将代入得Sopq=|券1=8"Z| k2>H.S.OPQ=8-2=8(l +y)>8；当。女24时.S，°pq=8黑=8(-1 +系).因 OWk2d.则 0<l-4k2<l.->2.所以 S,Cpq=8(1 + ：；2)N8.当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S，opq的最小值为8.综合(ii)可知,当直线1与椭圆C在四个顶点处相切时/OPQ的面积取得最小值8.评析本题考亘求轨迹方程的方法.及直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识.考点二定点与定值问题/15 .(2019课标全国川.21.12分

27、汜知曲线C:y=V.D为直线丫=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A.B.证明:直线AB过定点；若以E(0,§为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面枳.解析 本题考查直线与抛物线相切，弦的中点，直线与圆相切等知识点,通过直线与抛物线的方程运算,考查/学生在解析几何中的运 算求解能力，以直线与抛物线相切为背景考查/数学运算的核心素养.(1)证明:设 D(t尸 A(x.y 1),则x； =2yi.由于y'=x.所以切线DA的斜率为xi.故暮X1.整理得2txr2yi+l=O.设 B(X2,y2),同理可得 2tX2-2y2+l=0.故直线AB

28、的方程为2tx-2y+l=O.所以直线AB过定点()4)由得直线AB的方程为y=tx4y = tx + L由< / 可得x22lx“=0.于是 x+X2=2l.xix>=-l,yi+y2=t(x!+X2)+l=2t2+LIABlWlTFlx!-X2l=/TTFxy(x1 + x2)Mx1x2=2(t2+1).设分别为点D.E到直线AB的距离.则岛.因此,四边形 ADBE 的面积 S=3ABI+<h)=(t2+3)gTT设M为线段AB的中点，则M(tt2 + j).由于前，荏,而曲5=(tF2)N5与向量(1.1)平行，所以 t+(t2-2)t=0.解得1=0或t=±

29、L当 1=0 时5=3;当 t=±l 时,S=4>因此,四边形ADBE的面积为3或4鱼.解题关耀 设出A、B坐标,求导、列等式是解题的突破口.由(1)得出AB的方程,用坐标表示出前，荏,求AB方程中的参数 是关键.6 .(2018北京.19.14分)已知抛物线C:y2=2px经过点P(l,2).过点QQ1)的直线1马抛物线C有两个不同的交点AB且直线PA交y 轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线1的斜率的取值范围；设O为原点潮乱而.丽寸方,求证:代为定值.解析 因为抛物线 六2Px过点(1,2),所以2p=4,即p=2.故抛物线C的方程为yzx.由题意知，直线1的斜率存在且

30、不为0.设直线1的方程为户10<+1很声0).由广得 k2x2+(2k-4)x+l=0.依题意 A=(2k-4)24xk2xl>0,解得 kvO或 0<kvL又PA.PB与y轴相交，故直线1不过点从而口3所以直线1斜率的取值范围是(8,-3)5-3.0)50).(2)证明:设 A(xi.yi),B(X2.y2),由(1)知 Xi+X2=爷,X1X2=直线PA的方程为y-2若x-l).令x=0.得点M的纵坐标为办尸马导2吟早+2.同理得点N的纵坐标为丫卜=第二2.由加与加丽寸诃得X=l-yM4i=l-yN.所以#=一 一"；： t 1久M 1加火蜃1)肛(*-1)X2

31、2+2k-4二 1 4/2。1+%2)= 1 ,理 二=。-k-l xix2 k-1 X -连所以赳为定值.方法总结圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略求代数式为定值依题设条件.得出与代数式有关的等式化简即可得出定值；求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的表达式.取U用题设条件化简、变形求得：求臬线段长度为定值.利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式.再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.考点三最值与范围问题7 .(2019北京.8.5分)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线CM+y'l+lxly就是其中之一(如图，给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整

32、点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过在：曲线C所围成的“心形"区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A. B. C.D.(g)答室C8 .(2015四川.10.5分)设直线1与抛物线y2=4x相交于A.B两点，与帅x5)2+yL曰>()相切于点m,且M为线段AB的中点.若这样的 直线I恰有4条，则r的取值范围是()A.(l,3)B.(L4)C.(2.3)D.(2,4)答室D9 .(2016课标全国11.20.12分)已知椭圆E:g/1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A.M两点，点N在E上.MA_LNA

33、.当t=4AMHANI时，求AAMN的面积；当21AMi=IANI时，求k的取值范围.解析 设M(xi,yi),则由题意知yi>0.当1=4时.E的方程为架 =la(20).4 3由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为也因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y2代入得7yn2y=0.解得y=0或y#,所以y旁.因此二AMN的面积S、amn=2x烤(2)由题意,1>3上>0.4-a.0).将直线AM的方程y=k(x+JF)代入方”=1得(3+tk2)x2+2jFtk2x+Fk2_3t=0.由题设,直线AN的方程为y=3x+d A由2IAMMAN居品。忌.即(k3-2)t=3

34、k(2k-l).当k=v2时上式不成立.因此t上华2l>3等价于k3-2k2+k-2 (k-2)(k2+l)<0.即<0.由此得明><。°或优2<°o解得疡k<2.因此k的取值范围是(V2,2).解题关健 第问中求出直线AM的倾斜角是解决问题的关键:第问利用21AMl=IANI得出【与k的关系式.由t>3.建立关于k的 不等式.从而得出k的取值范围.10.(2019浙江.21.15分)如图,已知点F(L0)为抛物线yL2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A.B两点，点C在抛物线上，使得 ABC的重心G在x轴上，

35、直线AC交x轴干点Q,且Q在点F的右恻.记5FG.£CQG的面积分别为Si,Sz.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求券的最小值及此时点G的坐标. ,2解析木题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识.同时考查运算求解能力和综合应用能力,体现r数学 抽象的核心素养和转化与化仃的思想方法.由题意得畀1,即p=2.所以.抛物线的准线方程为X=l.2 1设A(Xa»a)上(XB,yB),C(Xc,yc),重心G(xg.Yg),令)仄=2火0厕x.E?.由于直线AB过F.故直线AB方程为xy+l,代入y?=4x,得 yJ"；"y4=0,故

36、 21yB=4 即 yB=9.所以 B(，J又由于 XG=3XA+XB+xc).yG=gyR+yB+yc)及重心 G 在 x 轴上，故 2t-1+yc=0, 得 C(M、2(M)G(标4).所以，直线AC方程为y2l=2t(x®,得Q(t2-l,0).由于Q在焦点F的右侧,故F>2.2, 2r2+2112tl2c灯心c2.2=E=2石令 m=02,则 m>0.m2+4m+30m+小2、命4当g片时,普取得最小值1+奈此时G0).思路分析1根据抛物线定义知 L得到准线方程x=-l.(2感求会的最小值.需要I晤用基本量表示出来,从点的关系出发,设A(X7a).合理选择参数I表

37、示A(t2,2t).lH0.由直线AB过F得到AB方程,求出B点坐标.再由二ABC的重心G在x轴上.求出C点和 G点坐标.进而求出Q点坐标.然后就可以表示出露进而求出具最小值.11 .(2018浙江21.15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点地物线C:y2=4x上存在不同的两点A.B满足PA.PB的中点均在C 上.设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴；若P是半椭恻X?事l(xvO)上的动点，求SAB面积的取值范围.4解析木题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.证明:设 P(Xo.yo).A(in，y1).BQy

38、3;,y2).因为PA.PB的中点在抛物线上，所以外力为方程(竽=4蜂竺即产2yoy+8x<r)於0的两个不同的实根.所以 yi+yz=2yo,因此.PM垂直于y轴.(2)由可知心+” 2叱()，1y 2 = 8xo)号所以 IPM=#y； +)芍)-xo=1yj-3xo,1山芋1=2/2(羽4to).因此6汜铠=初仆班.I片()哈4x4.因为* +& l(Xo<0),所以羽-4x(l4x；4xo+4W4.5.因此一PAB面积的取值范围是上痘:竽.疑难突破 解析几何中“取值范围“与“最值”问题在解析几何中.求某个量(直线斜率.直线在X、y轴上的截距，弦长.三角形或四边形面积

39、等)的取值范围或最值问题的关耀是利用条 件把所求量表示成关于某个变量(通常是直线斜率.动点的才黄、纵坐标等)的函数.井求出这个变量的取值范围(即函数的定义域).桁 问题转化为求函数的值域或最值.12 .(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:%，(a>b>0)的离心率为学焦距为2.求椭圆E的方程；如图.动直线l:y=E1交椭圆E于A.B两点,C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为b且kik：=.M是线段0C延长线上一点，且IMCI ： IABI=2 ： 3cM的半径为IMCLOS.OT是OM的两条切线，切点分别为S.T.求/SOT的最大值,并求取得最大值时直线1

40、的斜率.解析木题考查椭圆的方程，直线与椭网、网的位置关系,考查最值的求解方法和运算求解能力.(1)由题意知2c=2.所以 a=V2,b= 1,a z因此椭恻E的方程为9+y2=L(2)设 A(xi.yi).B(X2,y2),/ I .4+ y- = 1,联立,2 后消y整理得(踞+2)x2«®ix.l=0.)=心与，由题意知A。,且xi+x?需.X品方所以 IABI=JIT枷由题意可知圆M的半径r=|lABI=等、一叫.阻 33 2kf+l由题设知kikkf .所以七界. 44k 1因此直线oc的方程为丫=m.1由题意可知sin/语一茵令 t=l+2收，则 t>l$W

41、(O.l),当且仅“工,即t=2时等号成立.此时k尸土手所以 sin<1.因此半於所以nSOT的最大值为 400综上所述:NSOT的最大值为米取得最大值时直线1的斜率ki=±f.思路分析(1 )由苫心率和焦距利用基本量运算求解:联立直线1与椭圆方程利用距离公式求出IABI ,联立直线0C与椭圆方程求I0CI进而建立sin等与ki之间的函数关系.利用二次函数的性质求解.疑难突破把角的问题转化为三角函数问题,即由sin翠=函)求解是解题的突破口. 21+丝1r解题反思 最值问题一般利用函数的思想方法求解.利用距离公式建立sin等与k.之间的函数关系是解题关键.牢固掌握基础知识和方法

42、是求解的前提.本题的解答体现了数学知识、能力、思想、方法的完美结合:考点四存在性问题13.(2015课标II .20.12分)已知椭忸C:9x2+y2=3m>0).直线1不过原点0且不平行于坐标轴与C有两个交点AB线段AB的中点 为M.(1)证明:直线0M的斜率与1的斜率的乘积为定值；(2)若1过点怎,m),延长线段0M与C交于点P.四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时1的斜率;若不能，说明理由.解析(1)设直线 l:y=kx+b(k4O.b声0).A(xi,yi).B(X2,y2),M(XM.yM).将 y=kx+b 代入 9x¥y2=n】2 得(k2+9)x2+2k

43、bx+b2nF=0.故町+%2 kb . 9bXM-中布yM=kXM+b=K于是直线0M的斜率kwH;即koM-k=-9. XM k所以直线0M的斜率与1的斜率的乘积为定值.四边形OAPB能为平行四边形.伙I为直线1过点,所以1不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0."3.由得0M的方程为y=x.设点P的横坐标为XP.H 卜=丁Xzm 解血2+km(9x2 + r = m2 而漏13 月将点管m)的坐标代入1的方程得b2等.因此XM=k(fc-3)m 3(/+9) 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段0P互相平分,即Xp=2xm.k(k-3)m3(/+9)，解得

44、 ki =4-/7,k2=4+/7.因为koOkH3.i=12所以当1的斜率为4V7或4+仃时.四边形OAPB为平行四边形.思路分析 设出直线I的方程,与椭圆方程联立并消元.利用韦达定理求得AB的中点M的坐标,进而可得出结论:要使四边形OAPB为平行四边形,则线段AB与线段0P互相平分.即Xp=2xm,由此结合已知条件建立相应方程.进而通过解方程使问题得解.教师专用题组考点一曲线与方程1 <2014广东.20.14分)已知椭翅C:+S=l(a>b>0)的一个焦点为5.0).离心率为孚求椭圆C的标准方程；若动点P(xo.yo)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求

45、点P的轨迹方程.解析 由题意知c=6e，=1. a 3 *. a=3.b2=a2-c2=4.故椭圆C的标准方程为N=l(2)设两切线为hh当lx轴或hllx轴时,12IIX轴或12±x轴，可知P(±3,±2).当h与x轴不垂直且不平行吐3±3.设h的斜率为k.且00,则h的斜率为出的方程为非(尸040),与%1联立,整理彳导(9k2+4)x2+18(y3kxo)kx+9(yokx)2-36=O. .直线 h 与椭圆相切,=(),即 9(yokxo)2k2(9k2+4)(yAkxo)24|=0.，(x：9)k22xoyak+y；«=0. k 是方

46、程 a：-9)x2-2xoyox+y：4=0 的一个根，同理金是方程(/-9)x2-2xoyox+y5 -4=0的另一个根，.如(今崇整理得/+)*=13.其中x<y±3.,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x±3).检验P(±3.±2)满足上式.综上，点P的轨迹方程为x2+y2=13.2.(2013四川.20.13分)已知椭圆C4+，(a>b>0)的两个焦点分别为FGIQ.FKLO),且椭圆C经过点pg,1).(1)求椭圆C的离心率；设过点40.2)的直线1与椭忸C交于M.N两点，点Q是线段MN上的点，且-三.求点Q的轨迹方程.解析

47、由椭圆定义知.2a=IPEI+IPF2l=jG+ 1), + G)' +JQ-1)2 + (1)2=2四.所以aW工又由已知得,c=l.所以椭忸C的离心率匕£分. a vZ 2(2)由(1)知，椭圆C的方程为二y2=L设点Q的坐标为(x.y).当直线1与x轴垂直时,直线1与椭帆C交于(01),(0.川两点,此时点。的坐标为(02倒.(ii)当直线1与x轴不垂直时.设直线1的方程为y=kx+2.因为M.N在直线1上，可设点M.N的坐标分别为(xi.kxi+2),(*.kx2+2),则 IAMM1 +k2)xf J ANP=< 1 +k2)x|.又 IAQR=x2+(y2)

48、2=(l+k2)x2.rb 2 - 1 i 1 得21 t 1(1+心/(1+7)/(1+7)苗即白尸+产"2千 Xf Xj Xfxj将y=kx+2代入之俨=中，得(2k2+l)x2+8kx+6=0.(§)由 A=(8k)L4x(2k2+l)x6>0,得 k2>1.由可知,X+X2= 1 ,XX2=j, 2r+i 2kz+i代人中并化简,得xT-.10k<3因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=?,代入中并化简.得10(y2)工3x2=18.由及.可知0<x<|,即 xw(¥，o)u(o,翁.又(02 等)满足 10(y2)2-3x2

49、=l&故 xG(-f,y).由题意知.Q(x.y)在椭圆C内，所以由 10(y2)2=18+3x2 得(y-2)2£ 修且-iwysl则'e(；2 胡.所以点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中乂章?)£停2-胡.评析 本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力.考宜数形结合、转化与化归、分类 与整合等数学思想.井考亘思维的严谨性.考点二定点与定值问题3.(2014安徽.19.13分)如图，已知两条抛物线Ei：y-2p凶p>0)和E2：y2=2p2X(p2>0),过原点O的两条直线h和1小与&

50、;E分别交于 Ai.A2两点上与Ei.E?分别交于Bi.B?两点.(1)证明:A】Bi IIA2B2；(2)过O作直线1(异于15)与EiE分别交于CC两点.记5BG与叭B2c2的面积分别为Si与S-求答的值.S2解析(1)证明:设直线h,h的方程分别为y=k遥产k2x(k咫40),则由仇”短得A瞪给同理可得B偌卷网等引砾=(等等豪韵如GH+3故工瓦1最员瓦,所以AjBi IIA2B2.由知 ABH A2B2,同理可得 BiCillB2C2.C1A1 IIC2A2.所以上A出ClIAzB2c2.因啥(璃1又由(1)中的丁瓦=乜尤瓦知黑心P2 M2s2l P24.(2014山东.21.14分)已

51、知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F.A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线1交C于另一点B.交x 轴的正半轴于点D,且有IFAMFDL当点A的横坐标为3时/ADF为正三角形.(1)求C的方程；(2)若直线h 111,且h和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标；(ii)5BE的面积是否存在最小值?若存在.请求出最小值，若不存在,靖说明理由.解析由题意知F&0).设D(t,0)(t>0),则FD的中点为(竽,0).因为 IFAMFDL则由抛物线的定义知3冬卜母解得i=3+p或t=3(舍去).由竽=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为俨=4x.由

52、知F(1.0),设 A( x().y<>)( x()yo H0),D(xd,0)( xd>0 ), 因为 IFAITFDI,则 Ixd 1 l=xo+1, 由 Xd>0 得 xd=x<)+2.故 D(Xo+2.0).故直线AB的斜率kAB=当 因为直线h和直线AB平行， 所以可设直线11的方程为y=-与x+b. 代入抛物线方程得丫2+金暇=0.64 32bs k 2I h JO ,得 b=.拓 ro ro设E(Xe»e).则y看Xe,当用4时kE上快20"E即 4)o 济4帝丁可得直线ae的方程为yy(>第 xx。)，由火=4xo.整理可

53、得y喏(x-1),直线AE恒过点F(LO),当羽=4时，直线AE的方程为x=l,过点F(LO), 所以直线AE过定点F(LO).(ii)由知直线AE过焦点F(1,O),所以 IAEI=IAFI+IFE(Xo+l)+(±+ 1)=x(>+L2. XQ / X。设直线AE的方程为x=my+l, 因为点A(xo.yo)在直线AE上.故|】=殛±设 B(xi.yi),直线AB的方程为y-yo=-y(x-xo).由必声0,可得 x=-y+2+Xo, 代入抛物线方程得y2哈y.84xo=0.8 所以 yo+yi=-.可求得 yi=-yo-,xi=-xo+4.所以点B到直线AE的距

54、离为出*伉+4WJ-ABE 的面积 Sx4(3 +4=)(x0 + +2)>16,当且仅当Lxo,却即Xo=l时等号成立.所以，ABE的面积的最小值为16.评析本题考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与西推曲线的位置关系以及解析几何中的定点问题、最值问题和结论探究性 问题.本题综合性较强、难度较大,很好地考亘了考生的逻辑思维能力和运算求解能力,本题的易错点是定点的确定.5.(2013山东,22.13分)椭圆C:之l(a>b>0)的左、右焦点分别是R、F?.离心率为日,过B且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为L(1)求椭圆C的方程；点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接P

55、Fi.PF3设nFFF?的角平分线PM交C的长轴于点求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线1 ,使得1与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PFi.PFa的斜率分别为.若"0.试证明二U-为定值，并求出这个定值.kk kk2解析(1)由于。炉.旅，将x=-c代入椭圆方程器=1 .得y=±y.由题意知经1即a=2b± a又所以a=2.b=L a Z所以椭忸c的方程为%y'L解法一:设 P(xo,yo)(y<>0).又 FiTSoeWS。)，所以直线PR.P&的方程分别为lPPx :yox-(x<>+V3，)

56、y+V3，yo=0.lPp2 :y<>x-(x<>-/l)y-Vyo=O.由题意知膂Jy?+ao+、 2 JyJ+(xo 2由于点P在椭圆上，所以与羽=L所以因为西vm<V32vxo<2.所以产名土所以mxo兴0+2 2杀)4因此白解法二:设 P(xo,yo).Mzi 0<x(x2 时,当xo=6时，直线PF?的斜率不存在.易知P(何3或P(何)若P(G%则直线PF,的方程为x.W3y+G=0.由题意相苧=巡川.因为6<11】<福,所以】=：.当时,设直线PF1.PF?的方程分别为y=ki(x+JS).y=k2(x-W).由题意知喀山L 哗当1因为%於L并且匕弟在三%所以(m+痣)：=4(勺+、勒2