2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题02圆锥曲线与内心问题(通用版解析版)

1、专题2、111维曲线与内心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥 曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。 因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学 解题能力，增强学生的信心，备战高考.三角形的内心：三角形三条角平分线的交点。重要结论：/是AA3c的内心（其中db、c为M3c的三条边）:知识储备:三角形内切圆的半径求法:（1）任意三角形：=二上（其中C为三角形的周长，S为三角形的面积）:（2）直角三角形：i= " + （其中，

2、b为直角边，c为斜边） 2经典例题:例1.（2020.浙江高三期中）已知M是椭圆二+二=1上一点，F?是椭圆的左，右焦点，点/是AA 25 16的内心,延长闻交线段可巴于N,则疆的值为（A-1【答案】A【解析】如图，点是同曲上+乙=1上一点，过点M作BM垂直直线耳亮于点5,过点I作ZA垂直直 25 16线耳亮于点4，次&W"5的内切圆半役为小则四=r,由三角形而枳相等跳：S&MFj乃 =SdMFl + S 凶吗 + S F昌 得：大用= 明图+ 比尸2| + "国 乙乙乙乙又网+1峭1=0礴 次网=%叫小所以晟=&由椭圆方程25 16 |M| c 3

3、得：。=5, b = 4, c = a2 b，= 3, 所以口才可=§ 干MV3'/M4 Ml似,可得:瑞T瑞 V令网=3的卜8团、叽求得：瑞=师玲旷就一 丁3m故选A.【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处 理.于内切圆问题通常利用等面积法列方程 即：跳：（其中/是的 内切圆圆心）<S&AliC=r（a+b + c）,从而解决问题.例2、（2020江西高三期中（理）已知椭圆三+ ? = 1卜>>0）的左右焦点分别为小 网,夕为椭圆 上不与左右顶点重合的任意一点，/是尸耳工的内心，当|%|=4）力

4、时（其中为,为分别为点。与内 心/的纵坐标），椭圆的离心率为（）A. 1B.在C. 1D, 12233【答案】C【分析】根据内切圆的性质利用等面积法求出内切圆的半径，即可得内切圆圆心的纵坐标，利用条件 回| = 45|化简方程，即可求出离心率.【详解】设玖，匕,）,炉妨设, >0,如图，设三角形内切圆的半径为二由三角形内切圆的性感稼：Lr(2a + 2c) = -2c-yp,解得：r = 2L,，刃=_2k 22a + ca + c/1 cr 1因为|力| = 4回|，所以 =1，解得女=,所以e =不 故选：Ca + ca 3【点话】关键点点睛，利用内切圆的性质得到:"2a

5、+ 2c) = ；-2c-yp是解题的关他根据，=为及 乙乙|)'p| = 4|»卜建立方程求出离心率.属于中档题.例3. (2020 浙江温州中学高三)已知"，凡为椭圆C:± +二=1的左、右焦点，点P在椭圆C上移动时, 43P"鸟的内心/的轨迹方程为【答案】x2+3/=1(30)x【详解】考查更为一般的问题：设尸为椭MU 2 = 1(«>0/>0)上的动点，片,鸟为椭圆的两个焦 /为尸尸内的内心,求点/的轨迹”.解法：如图，设内切园/与Fi乃的切点为H，半径为八且，F好=?,尸产1=.叶尸尸4三丑二，c =工F，则y +

6、 z = 2c2x + y + z = 2a门线加I，汨的斜率之积：1 11 卜、H而根据海伦公式，有尸的面积为(x+y + z) = Jvyz(x+y + z).x a-c因此有标” =一寸7二一百再根据椭圆的斜率积定义可得,点的轨迹是以尸质为长轴，离心率。满足/ 一 1=- 的椭圆，其标准方程为7r + ，=1()'*°). a + c- c-a + c解法二:令 P(acos8、bsin 8),则 sin 6 W 0.三角形 PFF2 的而积：S = 2c-bsin 0 =(2c + 2a)-r , 22其中7为内切圆的半径，解得=竺回必= b，J力-方面，由内切圆的性

7、质及焦半径公式得： a + c(c-X/)(巧 +c) = |P4 |一|叫| = m-ccos，)一(+ccosg),从而有巧=ccos6 .消去6得到点/的轨迹方程为：/十)=1("。).L a + c本题中：4 = 2,c = l,代入上式可得轨迹方程为：X2+3/=1()0)例4、(2019年绵阳市高三模拟12题)点”、F?分别是双曲线Y -二=1的左、右焦点，点P在双曲线上,则尸E入的内切圆半径r的取值范围是()A.(0,>/3)B. (0,2)C.(0,72)D. (0,1)【答案】A【解析】如图所示，设AP”用的内切圆圆心为/，内切圆卜广：边分别相切于点48,C,

8、又因为|RA| + %A| = 2c,所以忻4| = a + c,阴A| = c-a,所以A点为右顶点，即圆心/（4 r）.考虑P点在无穷远时，直线尸耳的斜率趋近于2， a此时尸耳方程为y =+ C）,aab-ar + bc此时留心到直线的距离为. 加厂十（广因此AP"鸟内切圆半径re（O,b）,所以选择A.22例5、（2020年湖北省高三联考12题）过双曲线C:二-1=1（。>02>0）的右焦点/作直线/,且直线/与cr b-双曲线。的一条渐近线垂直，垂足为A，直线/与另一条渐近线交于点4,已知。为坐标原点，若AOA5的内切圆的半径为避二1”，则双曲线C的离心率为（ 2

9、A平B. 6+1c-¥D ¥或2【答案】D【解析】有两种情况:（1）若A8在y轴同侧，不妨设A住笫一象限.如图,设根台内切圆的圆心为M ,则M在N4O8的平分线匕过点M分别作MNJ»O4于N,加丁，48于7，由E4_L。以得四边或ML4N为正方形，利川点到直线的距离公式可彳匕b c化点/到渐近线y = 2工的距离为|必卜a=b从而可得离心、率e =2 c F又 I。/ l=c,所以 1041=。， 又 |NA|=|MNI=Ya，所以 INOI=±二叵。所以 2 = tanNAC = "1 = 9, aNO 3（2）昔A,若在y轴异侧，不妨设4象

10、限如图，易知1必1=/乙0F =c9 1041=。,因为AOAB的内切圆半径为匚""=止1 ”， 22所以 1081-1 A31= 2a-岛，又因为I08FTA3F+/,所以|.=岛,1081=2。,所以N3OA = 60。，ZAOF = 60% 51iJ- = tan60o = >/3 ,a从而可得离心率6 = Jl+（2） =2 .综上，双曲线C的离心率为 手或2.故选: 例6、（2。20年山东省济南市高三二模】6题）已知小人分别是双曲线）的左，右 焦点，过点”向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P,直线F2P与y轴交于点Q（p, Q在x轴同侧）, 连接若PQ&q

11、uot;的内切圆圆心恰好落在以"鸟为直径的圆上，则/耳尸乙的大小为；双曲线 的离心率为【答案】y邪【解析】如图所示：不妨取渐近线y =易知（否则不能。右支相交）.a则宜线耳为：y = -y-（a + c） , EI1J ax + by + ac = 0 , 设内切圆圆心为Oi，根据对称性知。1在）'轴上，PQF的内切圆圆心恰好落在以耳心为直径的圆上,故 0乱工 OF2,故O（0,-c）,0、到直线PK的距离为:4 =尸一何=b-a, >Ja2+b2设直线PE： y = （x-c）,即Ax-y-&、=。&到直线PF,的距离为：乩=母旦=化简整理得到a儿2

12、一（,/*而=。，解得攵=9或k = £,时，直线y = 3x + c）ijy = 'x c）的交点横坐标为0,不满足题意，£ 故直线 PF” y = g（xc）,故 PPF2, NFPF?=g联立方程得到y=-Y(x+c)，解得p y = -(x-c)< b1 -a12abc >，代入双曲线方程得到："4d化简整理得到：c? =5,J ,故e =在".故答案为：下一【点暗】本题考查了双曲线中直线的位置关系，离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.例7、己知点夕是双曲线二-二=1上除顶点外的任意一点，耳，居分别为左、右焦点，c为

13、半焦距，/尸耳居 a- b-的内切圆与月入切于点M，则.【答案】b2【解析】设圆，PFX的切点为点S,与PF1的切点为点T,根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知：I耳= |玛,|PS| = |PT|当尸在双曲线图象的右支时，而根据双曲线的定义可知|"凹一怩叫=|""一医尸| =勿；而比M+I”用=区用卜2c，联立解得：忸叫= a+c,|玛M|=c一凡所以|耳陷内M| = 3+c）（c -。）=。2 -疗土以当尸在双曲线图象的左支时，而根据双曲线的定义可知医凹|"根=优"|"尸| =勿值：而归必+|摩卜周=2c，联立®解

14、得：|&W| = +cjEM=ca,旧MH&W| = S+c）（ca） = c2/=2综上，可得|耳如怪凹=【点睛】本题主要考查双曲线的定义及其应用，外切圆的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 解能力.2例8、（2019年成都七中高三模拟16题）已知双曲线M ：/-二=1的左,右焦点自，凡，点P在双曲线上左支3上动点，则三角形PFJ2的内切圆的圆心为G,若AGP修与GFJ2的面积分别为S,S',则一取值范围是 S'解析：如图设切点分别为M, M。，则尸尸1尸2的内切圆的圆心G的横坐标与。横坐标相同.由双曲线的定义，PFi-PF2=2a.由圆的切线性质PF

15、PB=BN - FM=EQ -尸i0=2，B0+B2=BB=2c, ：.F2Q=c+a. OQ=a,。横坐标为双曲线M :犬一L=1为=1, b= 6 , c=2, 3可设 G(-l, f), />0,设 PFi=w1= ->-，故答案为：（L, +00）.c tin可得士 = 3S 1.4/ 2例9. （2020.山东省高三期中）双曲线。：二一二=1（。> 0力> 0）的渐近线与抛物线C ： a2= 2py（p> 0）交 cr b，于点AO,8,若抛物线g的焦点恰为A4O8的内心，则双曲线C的离心率为（）A 2R/TcD 1+应Jo 、/ SI* JL2 242

16、【答案】D【分析】作H；圆锥曲线的大致图像，利用抛物线的焦点到渐近线的距离等于到的距离，国电【详解】作出双曲线孰：=一 3 = 1（。> °，6> °）。抛物线C := 2py（p > 0）的大致图像，如图： cr b-22r双曲线c ：一；_ = 1伍0力0）的渐近线方程为：y = ±-x,即"±。），= 0, cra联立? = 2y ,解得40或户泗，当户亚时，则尸要，bx-ay = 0aaa"所以焦点fi 0、C |到Ab的距离为年二2，I 2）a2 2,焦点尸。得 到渐近线瓜一缈=。的外离为d所以卫二一2=丝

17、，整理可得二=二，即生二£="£,整理可得4c35/c_/=0, cr 2 2ccr 2ca2 2c两边同除以/可得4/一5-1 = 0，4/一央一6 1=0 = （。+ 1乂4/+4« - 1） = 0,又即4，2+，-1 = 0,解得e = TI.故选：D2【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查了考生的计算能力，属于中档题.例10、（2020年河北省石家庄市一模12题）己知"，A分别为双曲线二-二=1（"0.0）的左焦点和 cr b-右焦点，过F?的直线/与双曲线的右支交于A, 8两点，&4&

18、quot;后的内切圆半径为小 幼与鸟的内切圆半径为2,若4=2q,则直线/的斜率为（）A. 1B. 72C. 2D. 2点【答案】D【解析】设&44鸟的内切圆圆心为人，写的内切圆圆心为八.，边人耳、AF2. FxF2上的切点分别为M、M E,易见人、E横坐标相等，则4刈=|47|,恒根=|耳环优叫=优耳由|A用|A引=2" 即+ 耳卜（|AN|+|N闻）= 2a,得附用一|7勾=2即忻同一|生日=2。，记/|的横坐标为小 ,则E（,%,0）,于是Xo+c-（c-/） = 2",得/ =出 同理内心人的横坐标也为“则有轴，nn0 _ r2tan -=2 F.E,tan

19、 N/1 鸟O = tan(90。一：14o万=，* f = 2Go f.e 1 - tan2设直线的倾斜角为氏则N。鹏二，46。=9。»则22。i eg2tan? r二.tan = Jan =.tan 0 =t=-zr = 2 J2 .故选 D.2 222l-tan2一222例11、（2020年师大附中高三模拟12题）已知点尸为双曲线二-二二1（>0.>0）右支上一点，点B,产2 a分别为双曲线的左右焦点，点I是尸产1尸2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有S lp. -S N叵S 4 11 r a lrr> ?成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A. （1, 7

20、2 ）B. （1, 272 ） C. （1, 272 D, （1, R【答案】D【解析】根据条件和三角形的面枳公式，求得，c的关系式，从而得出离心率的取值范围,引到答案.设鸟的内切圆的半径为，则S”叫=；|P用",Sy吟=；|尸治",S"向周V , 乙乙乙因为5 » N乌SFJ所以附|卡周之刍甲讣 由双曲线的定义可知|产用一|尸马=勿,怩鸟卜之、，所以心当C，即亍<8,<e = ->,所以双曲线的离心率的取值范围是（1,口，故选D.例12、已知双曲线C:二一二=1 （f/>0,。>0）的两条渐近线与抛物线V=2px （p0）

21、的准线分 b'别交于A, 8两点，。为坐标原点，若双曲线C的离心率为2, AO8的面积为则AO8的内切圆半径为（）.A . 、/1B . /3 +1C. 26一3 D. 25/3+3解析：由e = 2,可得9 =b y = ± x",求得4丫一 A -2，一空），所以SaiO8=；X也=2a2 a 2/2 =代入式，得p2=4,解得p = 2,所以41,6）,次一 1,一/）,则498的三边长分别为2, 2, 2石,设ZvlOB的内切圆半径为r,由;（2 + 2 + 2jJ）r = J5,解得r=2C一3.故选C.课后训练:1. （2020 湖北襄阳四中高三（理）椭

22、圆二十二=1的两焦点是"、F, M为椭圆上与"、cr ZrF?不共线的任意一点，/为MEF2的内心，延长MZ交线段片死于点N,则的值等于（）B.- cD.- a【答案】BMI bWFl【解析区接.在中下”是/MFiN的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理.焉 = |w| |£N|口理语解|峭1M叫|屿| 同理“网一两叔：网一丽一百，MI MFx + MFA2ci a出据等匕定理7777 = =一= 一.1二拦B选项.网 ”N+住 Ncr* v"2.（2020黑龙江高三期末）如图所示，点尸为椭圆一+ 431上任一点，A，5为其左右两焦点，3FR&

23、PFh1A.- 32 C.一33 D.-4【答案】A【分析】首先连尸7延长x轴于D,连阴，IF2,利用角平分线定理得到闫芸 1=1器I,再利用和11 I 1 1 r比定理和椭圆的性质，得到|2|=|2S = e = L 从而得到而枳比值.IP 2a 2【洋解】解：连尸/延Kx轴于D，连/"，心,在”6。中有勺，在鸟。中有”DF,一故I”日空日丝陷+"=2=-1,2=g=1'IP 尸" PF? PF + PF2 2a 2，其他 即 3,故选：A【点睛】本题考查椭圆的性质和角平分线定理解决三角形面积比值，意在考查转化。化归的思想，数形结 合分析问题，属于中档题

24、型，本题的难点是角平分线定理的应用.223.（浙江高三）已知椭圆C 二+二=1（4>>。），为左右焦点，点P（2,&）在椭圆C上，”尸人 cr b-的重心为G,内心为/,且有=（4为实数），则椭圆方程为（）A.二+ 匚 B.:+ Y = 1 C.匚至=1 D,上 + 匚8 616492710 5【答案】A【解析】设点尸距x轴的距离为J5,因为IG 片鸟，则点I距x轴的距离为走.连接耳/,用/,2/.则3m=gx|"用 x>/5 = gx2cx>/5 = >/Jc,S应pf, =5乂匹十SF +S宅* = ；x为x曰十;x(E邛十尸尸卜*=(4十c

25、)日 « 所以(4 + C)=小3 =4 = 2。= /? = JJc，用： -2 +f = 1 = C? = 2 ,所以椭员I方程为 - + - 考点：椭圆的标准方程.4.（2020 ,湖南高二期中（理）已知点M在椭圆：二+二=1（。%0）上，5、居为左、右焦点，点 lr丁是内心，连接MT并延长交线段耳心于N,则鬻的值为（A、b【答案】C【解析】连接尸耳、PF?,在M£P中,片是/岬的角平分线,根据三角形角平分线的性质定理得故有萧篇根据等比定理得幽=出；同理可得四二g |PN| FNPN 区 N|网= 2a = a网1府+展护工=及与所以答案为C.考点：1、椭圆的定义;2

26、、角平分线的性质.【技巧点睛】本题考查的是椭圆的定义、角平分线的性质定理、等比定理等的综合知识，属于难题：在解 决涉及圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口:由于三角形的内心是三个内角的平分线的交点，根据三角形内角平分线的性质定理，把所求的比值转化为三角形边长之 间的比值关系来求解.5.双曲线二一二=1的左、右焦点分别为£, 916F?,尸为双曲线右支上一点，I是P"F?的内心，且Sypf = Sy% ，则4=(C.D.【答案】C【分析】由已知可得|尸娟一|尸鸟|=可可可，结合双曲线的定义和标准方程，即可求解.【详解】如图，设API巴内切圆

27、的半径为r, 由%" =S"4一如"心，得;|P6”=；小娟一外;归鸟”,整理得|。用|0入|=4甲可.因为P为双曲线右支上一点，3所以忙用一|桃| = 2。= 6,上用= 10,所以4 = .故选:C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线定义和性质的应用，属于基础题.226. （2020安徽高二期末）点A是椭圆£ + § = 1（4人0）上一点，片、心分别是椭圆的左、右焦点，/是AA"5的内心.若=2&S5向一5,凡，则该椭圆的离心率为（）a 1n "c 1n "A. -B. C. -D.-442

28、2【答案】B.【解析】设A4£鸟的内切明的半行为r,则由Sm=2在S"浜一Sy"得:-AFlxr = 2y/2x-FlF2xr-AF2xr 即：A6+4鸟=2后行222.2a = 2y/2x2c 所以椭圆的离心率6 = £= =也.故选B.« 2V24考点：椭圆的简单性质.【思路点晴】本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其 il算方法，属基础题：求椭圆的离心率，关键在于找到关于基本量”,ac之间的等量关系式，再利用离心率 的定义，通过解方程而求得：再建立关系式的过程中，一定要充分注意椭圆定义的应用.27

29、.设椭圆亍+J=1的左、右焦点分别为M为椭圆上异于长轴端点的一点，ZFMF2 = 20, 的内心为 L 贝ijl M/I cos6 =（）A 9 77 R 1C e D 2-邪222【答案】A【解析】由题意,IMFHMFM,而IFRI=2JJ，设圆与MB、MFz,分别切于点A, B,根据切线长定理就有IFF2l=IF】AI+IF2BI=2褥,所 U. MI cos0=MA|=|MB = = 2 » 故选 A.2考点：椭圆的定义，椭圆的几何性质，圆的切线长定理。点评：小综合题，将椭圆的基础知识与圆的知识综合考查，难度不大，注意结合图形特征，寻求解题途径。8. （2020湖北高二期中（理

30、）己知月，尸2分别是椭圆：三+*=1（"。）的左、右焦点，点户是椭圆上一点，I为用的内心，若5加的=45"与，则该椭圆的离心率是A. -B. -C.立D.走3423【答案】A分析：首先根据三角形面枳的关系，确定出三角形的三边的关系,结合椭快I的定义，得到3=-再1 、3一， 2。2根据椭圆的离心率的公式求得结果.【解析】设AP耳鸟的内切圆的半价为r,根据题意S"¥； =4S.死可得，S"个一 =1,根据三角1 c一2cr 形的面式，可以求行3=;，整理得£=：，跳6 = ，故选A.34 33点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题

31、，在解题的过程中，需要注意根据题的条件，结合焦点 三角形的特征，求得对应的离心率的大小.9.己知椭圆C:=十二=1（。>>0）的左、右焦点分别为居，。为C上一点，若/为居的内 cr b'心，且Sa"m=3S叼”则C的方程可能是（）72，）a t ,c x ， ,c厂 v ,cr v",A. + y- = 1B.+ y=1C.卜二=1D.F- = 12 .33243【答案】D【分析】先根据/为耳鸟的内心，且S尸再得2耳5=尸耳+工，即 = 2c,再依次讨论选项即可得答案.详解】解:因为/为耳耳的内心,设AP耳玛内切圆的半”、为r ,所以S&pf再=

32、（尸石+尸鸟+ ”鸟）小 2因为=3Sjfm ,所以S%尼=1（PG+PE + EE）» = 3x，GE",所以2大鸟=0片+0入， 22根据椭圆的定义得：2。= 4c，即。= 2c.对于A选项，。=5 =,不满足。= 2c,故错误：对于B选项，。=&=立,不满足a = 2c,故铝误：对于C选项，。=瓜（=1,不满足 = 2c,故错误：对于D选项，a = 2,c = l,满足。=2c，故正确.故选：D.【点睛】本题号俺利用椭圆的性所求解椭网的方程，解题的核心是通过而积关系和椭圆的定义得到 = 2c, 考查分析解决问题的能力，是中档题.10. （2020浙江高三月考）

33、已知”（一1,0）,区1.0 , M是第一象限内的点，且满足|M用+ |M用=4, 若/是M"F?的内心，G是加巴鸟的重心，记/"马与的面积分别为S邑，则（）A. S, >5,B. S、= SC. S1 <S2D. S1与 S2大小不确定【答案】Bt分析】作出图示，根据/,G的特点分别表示出SS”即可判断出51同的大小关22【详解】因为|町出叫|=4>|6用=2,所以M的轨迹是椭圆三+工=1在第一象限内的部分，如图所示：因为/是的内心，设内切圆的半径为人幽业处史近二幽丛，所以= "所以S"印"玛.、加223' 1223

34、又因为G是MfJF?的重心，所以OG:GM = 1:2,所以S2 = ：Swm=；S处仍=；吗包=当，所以5=与，故选：B. JJJ4【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求 较高,难度一般.11、（2020届绵阳中学二诊模拟12题）设厂是双曲线C:二一二=1（。>0/>0）的右焦点，。为坐标原 cr b点，过尸作。的一条渐近线的垂线，垂足为H若江OH的内切圆与轴切于点B，且8户=2。氏则C的离 心率为A 3 + Vn” + 后3 + 3g八 3 + 3"A. B. C. D.解析：因为尸到渐近线的距离为国1=夕所以防=

35、贵了 =a + h-c则尸明的内切圆的半径为-2葭尸田的内切圆与方切于点M则附"1二竺产2由丽=2而，得怛M=怛日=3°，怛川+=+=归叫=，即劾= c + 3即9b2 =c2+ 6oc + 9/,得4/-3e-9 = 0,由于e>l,解得e =812、(2019年成外高三一诊模拟11题)已知双曲线C:二一 L = i(>o/>o)的左、右焦点分别儿F:, a b。为双曲线的中心，尸是双曲线右支上的点，/年片的内切圆的圆心为1,且0/与x轴相切于点4过用作直线,的垂线，垂足为8若，为双曲线的率心率，则A. OB-eOA B. OA =e OB C. OB-

36、 OA D.7与 I 必关系不确定 解析：Fi (-c, 0)、Fi (c, 0),内切圆与x轴的切点是点AVIPFiI-IPF2I=2«,及圆的切线长定理知,lAFJ-IAFz/,设内切圆的圆心横坐标为X,则I (x+c) - (c-x) 1=2。 .x=t/；OA=a9在三角形PCF?中,由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2,.在三角形中，有：OB=-CFi=- (PFrPC) =- (PR-PFC =-x2a=a.：. 22221081=1041.故选 C.r- v-13、(2019年衡水金卷(一)11题)点P是双曲线C:一一一 = 1的上支上的一点，事,巳分别为双曲线的

37、上、9 16下焦点，则APBE的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是()工.y=-3B. y=3C. /+/=5 D. j.=3/2解析:.川il线方程为土一马=1916'a2=9, = 16,设尸尸】尺的内切圆分别与尸尸】、尸尸2切于点a、B,与F1B切于点C 则附=|P5|, FB=FQ. F2A=F2C,又点P在双曲线上支上，PF2-PFi=2a=6,即(匠毋以|)- (FiB+PB )=6 ,化简得曰卜展|=6 ,BP|F2q-|FiQ=6 ,而 JFiC+吗 C|=2c=10,设C点坐标为(0/),由层4-尸。=6可得(2+5)-(5力=6,解之得z=3，得C的坐标为(0, 3

38、)二圆M与FiF2切于点C, ：.CM±y轴，可得CM所在直线方程为尸314、(2018年湖南师大附中高三模拟12题)已知点夕为双曲线二一二=1(。>0力>0)右支上一点，月，Fi cr b-分别为双曲线的左右焦点，且炉1尸2|=，/为三角形PFF2的内心，若S"1 = Se*+B"F浜成立，则入的值为()A. ?£+1 B. 2y/3-l C. >/2 + 1 D. >/2-l解析：设2心后的内切圆半径为八由双曲线的定义得|P川-PF2=2a, |FiF2|=2c,S"2o片2出题意得:白囱3；闸山6故4=句"

39、;，A 2CJL = LLS /ph = J |M|r，Snpkl= J 伊用八：£ =乏-115、如图，已知双曲线二二=1 （。0, Z?>0）的左右焦点分别为E、F）, IE居1=8，P是双曲线 cr b"右支上的一点，直线鸟尸与），轴交于点A，AP”的内切圆在边P”上的切点为。，若IP。1=2,则该 双曲线的离心率为（）A. V2B.C. 2D. 3【解析】如F图所示，设Af,A乃与必尸石的内切圆相切于N,M，则 AN = AM,PM =PQ,N" =QFvAFx=AF2.所以= A月一 AN = 45一 AM = MF?,所以Q" =Mf；

40、,所以=(Q"+PQ)-(M5一PM) = Q"+PQ-M鸟+ PM= PQ + PM =2PQ = 4,所以2a = 4,即 = 2,由"E=8 = 2c可得c = 4,所以该双曲线的离心率e = ' = 2,故应选C.16、已知点P为双曲线C：二一二=1（。>0, Z?>0）右支上一点，耳，居分别为左右焦点，若双曲线C的 cr lr离心率为小,APEE的内切圆圆心为/,半径为2,若又M/=S"F"+2jL则。的值是（）A. 2B. 72C.娓D. 622【解析】点P为双曲线C： J一> 二>0/>0）右

41、支上一点，"，鸟分别为左右焦点,"鸟的内切圆圆心为/,半径为2 .因为反呻=S»F、/+2jL 所以Lx|P用" = |p用, + 2时，22可得归用一归用=2不，即2a = 2x/3,.-. a = #>，双曲线C的离心率为6,7 = 6,可得c = 3,则/?=必方=斥9 ="，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率以及双曲线的几何性质，属于中档题.求解与双曲线 性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、 实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖

42、掘出它们之间的内在联系.2217、（2018山东省潍坊市三模11题）点0是双曲线二一二=1右支上一点，"、A分别为左、右焦点.cr 1厂尸再用的内切圆与X轴相切于点N.若点N为线段of?中点，则双曲线离心率为（）A. 72 + 1B. 2C. y/2D. 3【解析】设AP"鸟的内切圆圆心为/ ,边尸耳、”、FF2上的切点分别为“、Q、N,易见/、N横坐标相等，则1PM = |尸。|,|耳刈=|耳叫，|尼。卜因N|,由 |尸”PF2 =%即 1P必 + 河£ 卜（|尸°|+| 尸引）=2a,得附用|QF21 = 2a,即忻NF2N = 2a , 记/的横坐

43、标为七，则Mx。,。），于是Xo+c-（c-Xo）= 2a ,得玉）=,由点N为线段OF-,中点，知c = 2a,.e = 2.故选B.点储：（1）解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范惘问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式. 再根据的关系消掉得到，c的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲 线的几何性质、点的坐标的范阳等：（2）在双曲线中，焦点三角形的内切圆圆心与工轴的切点为（。,0）.2218、如图，已知椭圆二十二=1（。方0）的左，右焦点分别为Z，A,=。是轴正半轴上cr b""一点，尸片交椭圆于A,若A居_!./¥；,且A4尸居的内切圆半径

44、为丫5,则椭圆的离心率为（）2t解析】由题意，直角三角形的内切圆半径/二%+从5工=45一4耳=叵 2222/21=加，AAF I2 AF2 l2=10t，2HQIL4BI=4,工（|A用+| A周了=14, ：.AFi+AF2= y/4=2a.凡&1=加.椭圆的离心率是6=£ = 胆=组=遮.故选：B.V14 V7 7【点暗】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.19、（2020年湖北省高三联考改编）过双曲线:-二=1右焦点/的直线交两渐近线于A、cr b'3两点,若加4耳=0，0为坐标原点，且AOAB内切圆半径为9二L/,

45、则该双曲线的离心率为 2设内切圆圆心为M,则M在NAOB平分线上，过点M分别作MN_LQ4于N,于T，由E4_LQ4得四边形ML4N为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得E4 = ，乂OF = c,所以。4=,=孚.故选:A.|M4| = |MN| =下2 1 a , 所以 I NO 1=2 a ,所以二匕门/人0二点口二左，得 = aNO 3【点睛】本题考查双曲线的性质，考查逻辑思维能力，正确作出图形是解题的关键，属于中档题.I/20、（福建省漳州市模拟）已知双曲线C：=-十=1（。>00 >0）的左右焦点为石蠡片，尸为双曲线C b b .右支上异于顶点的一点，尸尸三的内切圆与工轴

46、切于点（1,0）,且尸与点石关于直线y =对称，则a双曲线方程为【解析】设点a（1, 0）,因为aP耳片的内切圆与x轴切于点（1, 0）,则I尸耳IT尸耳I斗巧I一卜见，所以2a = （c + l） （。一1）,则=1.bx笈 | 尸F； I b 7因为P与点Fi关于直线尸=一下对称，所以NRPF?=彳且鬲=力=方，联立|咫卜国=2且归上+1%=4c? = 4 + 4/解得6 = 2 .所以双曲线方程为一一二二1.421、(2020年浙江省新高考名校联考10题)已知椭圆q ：二+二=1(。人0)的左、右焦点分别是"”， cr lr过点M作圆。：炉十/二尸的一条切线，切点为P,延长M尸

47、交椭圆于点。，且IMP曰PQI,双曲线 )二=1的左、右焦点分别为耳，居，后是a右支上一点，EK与y轴交于点a，aea居的内切圆与的切点为尸，若IA/1="，则双曲线G的方程为A.二上=B,二上=1C,工-工=344393【答案】D【解析】连接OP,M2，在椭圆G中，尸是圆/ +),2=2的切线，。是切点，.opim。，Vl MP 日 PQ 1,1 OM IT ON 1, ：.OP=QN, ：.MP=MQ=(2a-NQ) = (2a-2b) = a-b, 在用OW9中，由勾股定理得，IOW F=IOPF +IPM F, 即=/ +(“ )2,又/=,/一从，=3®.22在双

48、曲线G：二一二=1中，内用同可=%， CT 1)-由题意知，上式可变为|AE|+IAEI区同= 2。， 由三角形内切圆的性质得|隹|+1AE-F2E = 2AF, ,( )1 D. -2 = 1 34OP=b. yx.211= 2。，则 a =".-a- lr联立并解得b = 3巨，双曲线。，的方程为二型=1，故选:D. 334【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，三角形内切圆的知识，考查数形结合思想及运算求解能力.2222 .点M为椭圆二+二=1上一点，"，尺为椭圆的两个焦点，则"MF,的内心轨迹方程为 95【答案】 + = 1()0) 44A|M/| 3【什析】设甲0名的内心为/,连接A交x轴于点N,由内角平分线性质定理得到局 =3,设17V4 2/(x,y)M/,)b),NaM，再由焦半径公式及内角平分线定理得到巧=9，则义修与,0),然后利川向量关系把M的坐标用/的坐标表示出来，代入椭圆方程求【详解】如图，设片屈巴的内心为/,连接M/交工轴于点N,连接鸟在MF"中区是N