2021届高考复习新题速递数学10月刊专题六导数的综合问题(解析版)

1、专题大导数的象合问题一、单选题1. （2020福建厦门双十中学月考（文）已知函数/（x） = lnx + 在1武1闾上有两个零点，则。的取 X值范围是（）A士Tb. R，l），士T 4【士）【答案】C【解析】【分析】对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/（X）的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】当之一1时，fx）0, /（x）在10上单调递增，不合题意.当时，fx）o, /（M在1,4上单调递减，也不合题意.当一1 时，则戈1,一4）时，fx）0, /（x）在1,一。）上单调递减，1时，/（x）0, 了（“在（一。同上单调递增，乂/=0,所以f （力在Xl,e上仃两个零点

2、，只需f（6）= 1 / + 4之0 即可，解得一。一1.-ee 、综上，。的取值范围是-，-1 .Ll-e 7故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.2. （202。陕西省商丹高新学校月考（文）已知“X）是定义在（7,桢）上的函数,尸（X）为/（X）的导函数，且满足/（x）+（x-l）f（x）0,则下列结论中正确的是（）A. /（力0恒成立B. X）0恒成立C. /（l） = oD.当 xe（oo,l）时，/（x）o：当 X（l,-）时，/（%）0【答案】A【解析】 分析：先构造函数g(x)=(x-l)f(x),再利用导数得到函数的单调

3、性和图像，从而得到了(X)。恒成立.详解：设 g(x)=(x-l)f(x),所以 g(x) = /(x) + (x- l)/(x) 0 ,所以函数g(x)在R上单调递增，又因为g=0,所以 xl 时,g(x)0.xvl 时，g(x)l 时，(x-l)f(x)0,所以 f(x)0;所以 xvl 时,(x-l)f(x)0.所以x)0恒成立.故答案为A点睛：(1)本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的 掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力.(2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数 g(x)=(x-l)f(x),再求导，其二是得到函数g(x

4、)的单调性后，分析出xl 时，g(x)0.xvl 时，g(x)0.3. (2020湖北沙区沙市中学月考)函数/0)=二三的大致图像是()B.D.【答案】B【解析】3由f(x)的解析式知仅有两个零点 = -3与工=0,而A中有三个零点，所以排除A, 乂r2 4- r 4-/(刈，且/(。) = 1,则不等式e/)(为自然对数的底数)的解集为()D.(7,0)A. (一l，+o)B. (0,+qo)C. (h+o)【答案】B【解析】令g(x)=绰gW = 叫幻 冢幻0 =g(0)=0，选b.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数

5、法则进行：如r(x) /(%)构造g(x)=/创,+。构造g(x) = e(x)，exfx) /(x)构造 g(x) = D . xfx)f(x) x2 x3 B. x2 Xj x3 C. x3 x2 D. x3 x2 【答案】A【解析】【分析】根据r(x)任(0,)上单调递增，且/出七卜1 110,可知导函数零点在区间内，即/(X)的( 4 2 )极值点% ：通过判断g(xJg(X2).(/ 1 1 1:根据g(x)单调递增且g| 5,g彳；利用导数可求得A(x)111ax =-.即再0 = g(x2)内且g(x)单调递增，为人 由(力=三号可得：/心.)2=力(=三，即X3=J x2 x3

6、本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断牛七大小关系时，未结合g(x)单调性判断出g()g(X2)，造成求解困难.26. (2019.河北路北,开滦第二中学期末)己知函数f(x) = lnxx2和g(x) = r 一二一机的图象上存在关于 X原点对称的点，则实数，的取值范围是()A. (o,l-In2 B. 0,l-ln2) c. (l-lnl,l + ln2 D. 1 + In2,-Kx)【答案】D【解析】2?由题意可知f(x尸-8(、)孑1解，即方程如-/ =-x2+加有解，即加=/+-有解. XX设(x) = Inx

7、+ -(x0),则 (X)= 1 三=22., XX X ；h(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增,当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+l.，h(x)的值域为l+ln2,+oo).；m的取值范围是l+ln2,+8).本题选择D选项.7. (2020荆门市龙泉中学其他(理)函数/(x) = J+5+j3_2x_2的零点个数是A. 0B. 1C. 2D.与a有关【答案】A【解析】【分析】 利用导数求得函数/(X)的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数/(X)没有零点.【详解】1 1依题意/）= +ex-2x-2,令/ = +12产.丁 = 2./（犬）=*/（力=

8、/2,令/ x=0,解得x = lnj,故函数f(x)在(7,此：)上递减，在11：,+8)上递增,2A = ln-处取得极小值也即是最小值，/ In2-2 = -2 In -,由于f2,故2-21ny0,也即是函数f(x)的最小值为正数，故函数f(x)没有零点.故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研窕函数的单调区间、极值和最值，综合性 较强，属于中档题.In V8.(2020.湖北宜昌,其他(文)当0xl时，x) = ，则下列大小关系正确的是()xA. /2(x)/(x2)/(x)B. f(x2)f2(x)f(x)C. /(x)/(x2)/2(x)D. /(

9、x2)/(x)/2(a)【答案】D【解析】【分析】 由0 0 1得到F vx,要比较/(x)与/(丁)的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出/(%) 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出了(X)/(/)的大小，利用对数的运算法则以及式子 的性质，从式子的符号可以得到/(工)与尸(”的大小，从而求得最后的结果.【详解】 根据 Ovxl 得到 OvV vxvl,而厂(M = 一.X所以根据对数函数的单调性可知0x0,从而可得尸(x)0,函数/(工)单调递增，所以/(x2)v/(x)v/=0,而/2(力=坐-0.所以有 I * /故选D.【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题

10、的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数 单调性和导数之间的关系是解决本题的关犍.、xlog, x9 . (2020辽源市田家炳高级中学校高二期末(文)函数/(%) = 一中(00时，.f(x) =10gaX(OV“VD是单调减函数，即可得出结论.【详解】由题意，/(-X) = -/(A-),所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除5、D；X0时，f(A)=10gaV (0Ul)是单调减函数，排除月.故选C.【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键.10 .(2020哈尔滨市第十二中学校高二期末(文)设偶函数/(1)(X/?)的导函数是函数/

11、(外,2) = 0,当x0,则使得/(x)。成立的”的取值范围是()B. (2)U(2*)D. (0,2)U(-2,0)A. (f-2)U(0,2)C. (-2,0)U(2,-ko)【答案】B【解析】【分析】【详解】. f (x)令#(X)=_L2, X厂Vx0,Ax0，g(x)在(-8, 0)上是增函数， 危)是偶函数，/(-.3/3，f(-x)f(x)=1_L =_L=_g(x), -XX ；g(x)是奇函数，.g(x)在(0,-8)上是增函数，f(2) 712)=0 .，仪 2)= -=0, 2g(-2)=-g(2)=0,如图示：当 XO：/U）O,即 g（x）O=g （2）,解得：.v

12、2,当x0,即 g（x）vg（-2） =0,解得：x0的解集是（-82）U（2,+8）,故选B.211.（2020四川省眉山车城中学高二期中（文）已知函数/00 =三+ （旭+ 1）山+2（6了/?）有两个极值点,2则实数机的取值范围为（）A. 一,，0B. （-1-1.-1） C. （一8，一!）D. （0，竹）eee【答案】B【解析】【分析】2函数定义域是R，函数/（ =弓+ （， + l）/+2（，eR）有两个极值点，其导函数有两个不同的零点；将 导函数分离参数m后构造出的关于x的新函数与关于m的函数有两个不同交点，借助函数单调性即可确定m 的范围.【详解】函数/（X）的定义域为H，/（

13、x） = x+（m + l）/.因为函数/（“有两个极值点，所以Yx/(x) = x+(m + l)，行两个不同的零点，故关于1的方程一加一1=二有两个不同的解，令g(x) = F， ee则夕(工)=上4.当XW(YO)时,g(x)o,当XE(,l+8)时,屋(“0,且g) = L 故0-7-11,所以一 1一，加一1.故选B.eee【点睛】本题考查了利用函数极值点性质求解参数范惘，解题中用到了转化思想和分离参数的方法，对思维能力要 求较高，属于中档题：解题的关键是通过分离参数的方法，将问题转化为函数交点个数的问题，再通过函 数导数研究构造出的新函数的单调性确定参数的范围.12. (2020广

14、西兴宁南宁三中高二期末(文)已知函数/(x) = 2d-3x.若过点尸(1J)存在3条直线与曲 线)，=/)相切，则，的取值范围为()A. (一,一3) B. (-3,-1) C. (-L + 0O)D. (0,1)【答案】B【解析】【分析】设函数/(=2?3%上任意一点(%/(%),得到切线方程为y(2-3%)=(643)(x %).再根据图像过点(1,1),所以，=-4玉：+ 6年一3,令g(x) = b?+6x23,等价于函数g(x)有三个零点，分析即得解.【详解】设函数/ (=2? -3x上任意一点(面J (%),在点(4，/(玉)处的切线方程为)/(%) =/(%)(工一%)，即 V

15、 -(2玉:- 3%) =(6片 - 3)(x - %.若过点(1/)，则，=(2 -3x0) +(6xj 3)(1 4)=Tx； +64-3(*)依题意，方程(*)有三个不等实根.令8田=-4r+6/-3,/() = -12x24-12x = -12x(x-1) = 0,得玉=0, x2 = 1.当戈(YO,0),(1,)时，g(x)0,函数g(x)在(0,1)上单调递增.因此g(x)的极小值为g(0) = -3,极大值为g(l) = 7.若Z = g(x)有三个不等实根，故一3C/V1.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导致研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解

16、掌握 水平和分析推理能力.13. (2020甘肃城关兰州一中高三三模(理)已知函数幻=祀-铲,函数g(x) = a-1 (?0),若对任意的$e2,2,总存在-2,2使得/(为)=前/)，则实数机的取值范围是()A. -3/2,1 B.4 + 力 C. l-,e2D. L + s)333【答案】B【解析】【分析】由及意，可得f(x)在-2,2的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数/(x) = (x1)的导数为/(工)=口、，当0时,r(x)。,则函数/a)为单调递增;当xo时，r(x) 0)在-2,2递增，可得g (x)的值域-3/儿机.由

17、对于任意的石-2,2总存在/e -2,2,使得/(M ) = 802)，37 1可得-1,/旦一3皿刈，即为2，解得故选B.m 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为f(x)在-2,2的 值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答 问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.14. (2019福建漳州高三其他(文)设函数/(x) = Winx G：2X,若不等式/(“0仅有1个正整 数解，则实数。的取值范圉是()【答案】B【解析】【分析】由不等式f(x)v0,即/1%-砂2-1, =权+ 1的

18、F方，结合图象，即可求解.【详解】由函数“X)的定义域为卜付0,不等式/(刈。，即Hnx adxvo,两边除以x,则如+注意到宜线/；)，=火+ 1恒过点(0,1),不等式/(同0仅仃1个正整数解，即函数y = xlnx图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线/; y = cix+的下方，由图象可知，这个点(1,0),即得f(l)0,f(2)Z0,即一lvaln2 ：，故选B.则函数y = a + 81叫x 七,e J的图象卜J函数y=r+2的图象有交点，即方科 o + 81nx =F+2 (xWL e)仃解， e即 =/+2 - 8M.r (a|-, e)有解， e2G 一力令/ (x) =.

19、F+2 - 81av,则/ (x) = _LL ,x”2)用.f (a) 0,e故当x=2时，f (a)取最小值681n2,由 / (1 ) =1 + 10, / (e) =/-6, e e故当x=J.时，/(X)取最大值L + 10, e , 一故 ”e 6 81n 2/0 h-, e-故选D.【点睛】本题考查的知识点是函数的零点存在性及个数判断，利用导数研究函数的单调性与最值，难度中档.16. (2020南京市临江高级中学高二期中)已知函数/(X)是函数/(X)的导函数，/(1)= -,对任意实 e数都有“x)-r(x)。，设尸(耳=人了则不等式尸(x)0r(x)o，即尸(%)在r上为单调

20、减函又,”1)e*尸=re，不等式方(x) J等价于尸J) F(l).不等式F(x)4的解集为。，)故选B点睛：利用导致解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助 函数常根据导数法则进行：如构造g(x)=/孚,r(x)+/(x)o,构造g(x)=/(x),e矿(x) fW 构造 g(x) = 切0)+4,(当且仅当工三公叱，即乂=a+ln2时,等号成立)；故f (x) -g (x) 3 (当且仅当等号同时成立时，等号成立)；故 x=a+ln2= - 1,即 a=-1 - ln2.故选 A.18. (2020江西东湖南昌十中高二月考)若关于x的不等式x/ox

21、+avO的解集为(孙)( 0),且(八)中只有一个整数，则实数。的取值范围是()【答案】C【解析】【分析】 由题意设g (a ) =xe y=ax - a,将条件转化为：g (x)=入,/与直线y=or - “的位置关系，求出g (x) 后，由导数。函数单调性的关系判断出g(X)的单调性，画出两个函数的图象，结合函数图象和斜率公式 求出心,、Kpb,可得“的取值范围.【详解】 解:由题意设 g(X)=xexf y=ax-a,:(x) = (x+1)汽(x)在(-8, - 1 )递减，在(-1, +8)递增,(大)min = g - 1)=一1 , ey=ar-a 恒过定点 P (1, 0),工

22、结合函数图象得，KrWXKpb，又A ( -2, 士)，3(-1, 1), e2121.# K/力=-, Kps = , l!|- -r a , 3u2e3右2e本题考查函数图象与不等式的问题，导数与函数单调性的关系，以及斜率公式，考查转化思想、数形结合 思想，构造法，属于中档题.第口卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明 二、解答题19. (2020唐山市第十一中学期末)已知函数/(X)= e- 2x(1)求曲线) =/(X)在点(。J(0)处的切线方程；(2)若函数g(x) = /(x)。，1恰有2个零点，求实数a的取值范围【答案】(1) x+y-l=0.(2) 2 21112V/Ke

23、 2.【解析】【分析】(1)求得f (x)的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程：(2)函数g(x) = f (同一/4一1恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】(1)因为f(x)=e*_2x,所以ra)= e-2.所以 r(o)=i.又/(0) = 1，所以曲线y = /(X)在点(0,/(0)处的切线方程为y- = t,即x+y-l = 0. (5 分)(2)由题意得，g(x) = e-2x-。，所以 g，a)= e2.由g(M = 6、-2 = 0,解得x = ln2,故当lxln2时，/(x)0, g(x)在l/n2)上单调递减：当In2Vx0

24、，g(x)在(ln2,l上单调递增.所以 g(x)min =g(ln2) = 2-21n2-.又g(-l) = eT+2_* g(i) = e-2-a.若函数恰有两个零点,(-l) = e-,+2-0,贝”g6 = e-2-N0,解得 221n2ae2.g(ln2) = 2-2/2-a0,所以实数。的取值范惘为(221n2,e 2.【点睛】本题考查函数零点问题,函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个 函数，利用两个函数的交点来求解.20. (2020四川省绵阳南山中学双语学校月考(文)已知函数f(x) = Nlnx+a)+b,曲线y = /(x)在点(1J。)

25、处的切线为2xy-l = 0.(1)求。，。的值；(2)若对任意的xe(l,一), /(x)之?(x-l)恒成立，求正整数川的最大值.【答案】。=1, 6=0：3【解析】【分析】(1)根据切线方程可求得f(l)l./(l) = 2,从而构造方程求省姑果：(2)利用分、变量的方式可得m +1)在x(1,”)上恒成立;令g(x) = ：( /),通过导数可知羽(3,4),当X 1X 1xw(l,%)时,g，(x)v0,当xw(%,ko)时,g0,从而可得g(x)而n =g(x(3 可求得g) = %(3,4),则7it 则/(、)= x-1x-lnx-2(X-1)2 .令力(x) = /_lnx_

26、2,则=X X二当X(l,+s)时，/?( 0,则力(X)单调递增v/2(3) = l-ln30.%e(3,4),使得3(%) = 0当 X(l,Xo)时，g(X)o4(lnxo + l)h (%)=及一In 改)-2 = 0/. In xD = x0 - 2 8 (x)min = g(X。) = 。(*： + 1)= X。e(3,4)40-1：.mxQ3,4)，即正整数册的最大值为3【点睛】本题考查根据在某一点处的切线方程求解函数解析式、利用导数解决恒成立问题.解决恒成立问题的关键是 能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值的关系，利用导数求得函数的最值，从而求得结果. 21. (2

27、020黑龙江爱民牡丹江一中期末(文)已知函数/(x) = lnx, g(x) = x+m.(I)若(x)g(x)恒成立,求机的取值范围；(H)已知王，是函数/(x) = /(x)-g(x)的两个零点，且N9，求证：中2 (2)见解析【解析】试题分析：(1)构造尸(x) = f(x)-g(x) = lnr-x-jn,求导.算单调性，取最值情况(2)法一：联立方X)- X 111 %程组求解孤=1转化为证明3 一 |叫 京，求导证明结论:法二：要证MW 1，11只禽UEW/ x,令力(大)=一1 +工一2瓜(证明结论X11 _ v解析：(1)令尸(x) = f (x)-g(x) = lnx-x-/

28、n(x0),有尸)=-1 = -,当xl 时，Fx)0,所以F(x)在(1,q)上单调递减，在(0,1)上单调递增，尸(x)在x = l处取得最大值,为一1 一7，若x)g(x)恒成立，则1 一0即团之一1.(2)方法一：.0为占，x/X 一再 一2 = 0/, lav) 一 X,=liix. 一 x .h vc, 一 x, m = 0即 1n%2 - 1nA=七 一 x欲证：为元1,只需证明j后1,则只需证明21mvf-；(fl),即证：21nr-r+ll). t设(，)=21山一/+；(/1), /)=1_i_L=_2zIL0,/.在(l,Ko)单调递减，. H(t) /(l) = 21n

29、l 1 + 1 = 0,21mf + l0,则机一1,且0 Xj 1 X2 ,1( 1 A要证玉七1，只需证 尸-，由尸(%)=。)=。1 l11只需证尸 =ln 一 一?。， XJK %又尸(%)=InX -% -z = 0, /. in = InVj 一内f 1 1 f 1 1 f即证 In - - - -m = In 一 一 + 玉-nx 0x】xi 玉占即证一L + XI-2hiL 0, (0*0，xrx 厂有力在(0,1)上单调递增,/?(x)/r(l) = O,=+ -21nx, 0.x所以原不等式内乙1成立.点睛：本题考查了运用导数证明恒成立和不等式问题，在证明恒成立时构造新函数

30、，求导利用单调性即可证明，在证明不等式时，有一定难度，注意题目的转化，构造f = j5或是利用单调性转化为/?(x) = -, + x 2hi,本题属于难题.22. (2020青海西宁高二期末(理)已知函数x) = xlnx.(I)求“X)的最小值：(H )若对所有珍1都有/(1)以-1,求实数。的取值范同【答案】(I)最小值-卜(ID【解析】【分析】(I)由导数的应用，研究函数的单调性，再求其最值，(II )构造函数g(x) = lnx + L 由导数的应用求函数的最值即可得解. .X【详解】解：(I)/(1)的定义域为(0,+8)，f(工)的导数f(x) = l + lnx.令/(x)0，

31、解得X；：令f(x)vO,解得0x：从而/(力在(0,吕单调递减，单调递增.所以，当x = 5时，/(x)取得最小值-%(II)依题意，得f (力以比一1在1,y)上恒成立，即不等式W1nx+对于无针1,笆)恒成、：.令g(x) = lnx +，则=ix时，因为g(x) =0 ,X入 X )eV l JC J故g(x)是。，欣)上的增函数,所以g(x)的最小值是g=1，从而。的取值范围是(YO1.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值及利用导数研究不等式，属中档题.23. (2020贵州期末(文)已知函数/(x) = ：x3a(x2+x + ).(1)若。=3,求/(工)的单调区间：(2)证明

32、：/(工)只有一个零点.【答案】(1)/(、)在(F, 3-2，(3 + 2/，+8)单调递增，在(3 2小，3 + 20)单调递 减.(2)见解析.【解析】分析：(1)将。=3代入，求导得广(x) = /6x 3,令/(乃0求得增区间，令r(x)0求得减区间:1 /3(2)令 f(x) = -x3-a(x2 + x +1) = 0,即3。= 0,则将问题转化为函数g(x)=3 3r+x + l厂+x + l只有一个零点问题，研究函数g(x)单调性可得.详解：(1)当 4=3 时，f (x) =-x5-3x2-3x-3, f9 (x)=工2一6工一3.3令/(x) =0解得43 2/或x=3

33、+ 26.当(F, 3 26)U(3 + 2/. +8)时，ff(X)0；当(3-2夕，3 + 2囱)时，/(X)0,所以力=0等价于一Z 3。= 0.厂 + x +13x2 (x2 +2尤 + 3)设g(x) = F-3a,则屋=-/步，仅当.D时/(X)=0,所以8在(f, +8)r+X+l(厂+X+l)单调递增.故g(X)至多有一个零点，从而/(X)至多有一个零点.又/(3,L1) =6cJ+2a 1 = _L0 ,故/ (外 有一个零点.3 6J 63综上，/(X)只有一个零点.点储：(D用导数求函数单调区间的步骤如下：确定函数f(x)的定义域：求导数/3)；由/。)。(或/(x)vO

34、)解出相应的x的取值范惘，当广(x)0时，/。)在相应区间上是增函数：当/)0时， /(x)在相应区间上是减增函数.(2)本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数g。)有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.24. (2020吉林吉林期末(理)定义在实数集上的函数/(x) =+x, 5(x) = 1x3-2x + /.(1)求函数/(X)的图象在X = 1处的切线方程：(2)若/(x)Ng(x)对任意的xw4恒成立，求实数”的取值范围.【答案】(1)3x-y-l = 0；(2) m/(x) = 2x + l, /(l) = 2=/1(l) = 3=

35、3x-y-l=o； (2)化简 /?*)= ： f _3入.+x2,原命题等价于 /Mx” ? ? .试题解析：(1) -：f(x) = x2+x, ：. f(x) = 2x + , /(1) = 2,./(1) = 3,.所求切线方程为y - 2 = 3。- 1),即3x- y -1 = 0 .(2 )令/?(x) = g(x)-f(x) = -x3 -2x+m -x2 -x = xy -3x+in -x2,hx) = x2 - 2x-3， 当-4vx。：当一lvx3时,hx)Q.当3cx0,要使/(x)Ng(x)恒成立,即。(x)m”工。，520由上知力(幻的最大值在X = -1或X =

36、4取得，而/?(-1) = m + 一，/?(4) = m-一，520 .55* m H m, m H 0,？ W .3333考点：1、导数的几何意义：2、直线方程：3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和 转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.利用导数 处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价 转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的 应用.25. (2020梁河县第一中

37、学月考(理)已知函数3/lnx。住(x,0)处的切线斜率为 2零.(I)求和。的值;(II)求证：在定义域内/*)2 0恒成立：(川)若函数/) = /*) + 有最小值？，且?2e,求实数。的取值范围.X【答案】(I ) b = -e2. ( H )证明：见解析：(HI) (3/,+s).2【解析】【分析】(I )求导根据/(不)=0求出4的值，再根据曲线f(x)过点。,0)，求出b的值.(n)证明:f(x)在r上的最小值恒大于或等于零即可.利用导数研窕单调性极值，求出最值即可./ 一(III)先求出F(x) = x + + 2e，然后分a 3/、。= 3储和a 2e即可【详解】3e(I)解

38、：fx) = x + 2exa 2由题意有:(与)=。即Xo + 2c = 0,解得玉)=e或X。=-3e (舍去).%得/(e)= 0即J_/+2/-3/lne = 0,解得 = !/.221 /(H)证明:由(1 )如/(x)=父+2ex -lnx + (x0),2 2-/、-3/(x-e(x + 3e) z 小J (x) =x + 2e-=-(x0).XX在区间(0,e)上,有小)0.故f(x)在(0,。)单调递减，在(。,+8)单调递增,于是函数/(X)在(0,2)上的最小值f=0.故当x0时，有/(x)NO恒成立.(III)/(x) = r(x) + q = x + iiz2C +

39、2e(x0).当时，则 XXF(x) = x + - + 2e 24-3+2e ,当且仅当工=Ja-3e2 时等号成立， X故Rx)的最小值? = 2ya-3e2 +2e 2e，符合题意：:与a = 3/时,上/尸(x) = x+2e在区间(0,+oo)上是增函数，不存在最小值，不合1当a3/时,函数/(、)= x + t2 + 2e在区间(0,一)上是增函数，不存在最小值,不合题意.综匕 x实数。的取值范惘是(3/,+8)26. (2020常州市新桥高级中学期中)如图，已知A、3两个城镇相距20公里，设M是A3中点，在AB的中垂线上有一高铁站P，PM的距离为10公里.为方便居民出行,在线段P

40、M上任取一点。(点 。与P、例不重合)建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到。处，再铺设快速路分别到A、3两处. 因地质条件等各种因素，其中快速路尸0造价为1.5百万元/公里，快速路。4造价为1百万元/公里，快 速路0B造价为2百万元/公里，设N。4M =6rad,总造价为y(单位：百万元).(1)求y关于e的函数关系式，并指出函数的定义域：2)求总造价的最小值，并求出此时8的值.(2【答案】 y = 15 -tan9 +15, (0) (2)最小值为 15JJ + 15 ,此时夕=。1cos6)46【解析】 【分析】(27T1)由题意，根据三角形的性质，即可得到y = 15 -tanl9 +15

41、,(0 + 15 ! 0-|【cosC 74)(2)设f(6) = 2- tan8 =二 亭 COS。cos。m cos29 + sin9(2-sin(9) 2sin9-I则 /(S =嬴为- = T令/(e) = 0, sine = l又0。工，所以夕=二. 246sin9) = /)单调递减： 62夕；, /(6)0, y = /(夕)甲.调递增;/ 所以/(e)的最小值为/=6 o 7答：y的最小值为156+15(百万元)，此时e = 6【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答中认真审题， 合理建立函数的关系式，准确利用导数求解函数的单调性

42、与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解 答问题的能力，属于中档试题.27. (2020安徽省颍上第二中学其他(理)已知函数f(x) = x2-2hu,g(M = x2-x+a(I )求函数/(x)的极值：(II)设函数/?(x) = /(x)g(x),若函数力(工)在1,3上恰有两个不同零点，求实数。的取值范同【答案】f(x)n.n = /(1) = 1;(2)实数。的取值范围是(221n2,321n3.【解析】试题分析：(1)先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值(2) 先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，画出函数图像， 根据图像确定实数。的取值范用.、2试题解析：(1)因为/(x) = 2x-7令广(灯=0,因为x0,所以x = lX(0,1)1“)rw0+/w极小值K所以 fox(2) h(x) = f(x)-g(x) = -2inx+x-a、2所以(冷=一嚏+1令g) = 0 得 x = 2,ixg1,2)W, /(x)0故力（X）在xel,2）上递减;在xw（2,3上递增/2（1）0,6/1,所以力（2）2-2/2,/?（3）0,a3-2l