人教版(五四制)2019-2020八年级数学上册20.3等腰三角形基础过关训练题3(附答案)

1、个.A. 1 B, 2 C, 3 D, 4人教版（五四制）2019-2020八年级数学上册20.3等腰三角形基础过关训练题3 （附答案）1 .如图，/ AOB=45° ,点 M, N 在边 OA 上，OM=3 , ON=7 ,点 P 是 直线OB上的点，要使点 P, M, N构成等腰三角形的点 P有（2 .如图， ABC是等边三角形，BD平分/ ABC,点E在BC的延长线上，且 CE=1 , / E=30° ,贝U BC=( )1 B. 2 C, 1.5 D, 43.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是).A . 8 个 B. 10 个 C. 11 个 D.

2、 12 个4.一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a的范围是（BD0 <a<9 B, 30°<a<90°C. 0°<a<45°D. 45°<a<90°5.如图，AB=AC, /BAC = 120°, AB的垂直平分线交 BC于点D,那么/ ADC的度数为（A. 120° B. 30° C. 60° D. 80°6 .如图，在 ABC中，AD平分/ BAC,过B作BEXAD于E,过E作EF / AC交AB于F ,贝U (A. AF = 2BF

3、 B. AF =BFC. AF > BF D. AF V BF7.等腰三角形有两条边长分别为5和10,则这个等腰三角形的周长为( )A. 15 B. 20 C.25 或 20 D. 258 .如图，DE是AB的垂直平分线.（1）已知AC=5cm, ADC的周长为17cm,则BC的长(2)若 AD 平分/ BAC,AD=AC,则/ C=9 .如图，在 ABC中，AB=AC,点P是BC边上的任意一点， PM± AB, PN± AC,垂足分别为 M、N, BD是AC边上的高，BD=10,贝U PM+PN=10 .如图，直线,直线卜于点H,点也、点B是直线h上的点，作HC 1

4、直线h且BC = AB =,作CD 1直线a于点在射线Db上取一点E ,使2AEB = 1充口, AB的延长线交直线a于点F .若cm11 .如图，已知 SAABc=10m2, AD平分/ BAC,直线BD LAD于点D,交AC于点E,连接2CD,贝U Saadc=m .12 .等腰三角形一边长是 10cm, 一边长是6 cm,则它的周长是 .13 .等腰三角形中，一个角为50。，则这个等腰三角形的顶角的度数为 14 .如图，AB=AC=AD,若 AD/BC, /C=78°, / D=.15 .如图，等边三角形 ABC的边AB上一点P,作PELAC于点E, Q为BC延长线上的一点，当

5、PA=CQ时，连接PQ,交AC于点D。下列结论： PD = DQ;/Q=30°DEiI=2AC;AE=mCQ。其中正确的是 （填序号）。16.如图， ABC是等边三角形， D是边AB上的点，过点 D作DE / AC交BC于点E, 求证： BDE是等边三角形.17 .如图，点 O为等边三角形 ABC内一点，连接 OA, OB, OC,以OB为一边作/ OBM= 60°,且 BO = BM,连接 CM, OM.(2)若OA=8, OC = 6, OB=10,判断 OMC的形状并证明.18 .如图，已知 RtABC中，/ C=90°, /BAC=30°,点D为

6、边BC上的点，连接 AD, /BAD=a，点D关于AB的对称点为E,点E关于AC的对称点为 G,线段EG交AB于点F, 连接 AE, DE, DG, AG.(1)依题意补全图形；(2)求/ AGE的度数(用含“的式子表示)；(3)用等式表示线段 EG与EF, AF之间的数量关系，并说明理由.19 .如图，在 ABC中，AB=AC , / A=36° , BD是/ B的平分线，交 AC于点D, E是AB中点，ED交BC的延长线于点 F.求证：AB=CF .20 .如图，在|_ABC中，/ABC = 90°,点D在AC上，点E在|_BCD的内部， DE平分/BDC,且 BE=C

7、E.(1)求证：BD=CD；(2)求证：点D是线段AC的中点.21 .如图， ABC和4BDE均为等边三角形，点 E在线段 AD上，求证：BD + CD = AD.22 .如图，在 ABC中，CA=CB，点D在BC上，且AB=AD=DC ,求/ C的度数.23 .如图，在 ABC中，AB = AC,点E在CA的延长线上，EPXBC,垂足为P, EP交AB于点F, FD/AC交BC于点D.求证： AEF是等腰三角形.参考答案1. C【解析】【分析】先求出点M、N到在OB的距离，再根据等腰三角形的判定逐个画出即可.【详解】过M作MM，OB于M ,过N作NN，OB于N',如图所示:3. OM

8、=3, ON=7, /AOB=45 , .MN=4, MM =OMK sin45 ° 按 <4, NN =ON< sin45° 相 >4,MH=M N' =4Xsin45 收=24,所以只有一小两种情况：以 M为圆心，以4为半径画弧，交直线OB于Pi、P2,此时 NPiM和4NMP2都是等腰三角形；作线段MN的垂直平分线，交直线PB于P3,此时 MNP3是等腰三角形， 即有3个点P符合，故选：C.【点睛】考查了等腰三角形的判定，能求出符合的所有情况是解此题的关键.2. B【解析】【分析】先证明BC=2CD,证明 CDE是等腰三角形即可解决问题.【详

9、解】 .ABC是等边三角形,/ ABC= / ACB=60 , BA=BC ,. BD 平分/ ABC ,/ DBC= / E=30° , BD ± AC ,/ BDC=90 ,BC=2DC , . / ACB= / E+/CDE , . / CDE= / E=30° , .CD=CE=1 ,BC=2CD=2 ,故选B.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3. D【解析】 如图，直角三角形有： 4AEC、ABEC> AFC> AAFB> ABDA>

10、 ABDC> AEO、 ADO、BEO、BFO、 CDO、 CFO.故选D.4. C【解析】：二.等腰三角形顶角为钝角顶角大于90°小于180°两个底角之和大于 0。小于90°，每个底角大于 0。小于45°故选：C5. C【解析】因为 AB=AC, Z BAC =120°,所以/ B=30° .因为AB的垂直平分线交 BC于点D,所以DB=DA ,所以/ B= Z DAB=30所以/ ADC= / B+/ DAB=30 +30° =60° .故选 C.6. B【解析】【分析】根据角平分线的定义和性质以及两直线

11、平行内错角相等的性质得到角的关系，进而得到边的关系 .【详解】/AD 平分/ BAC , EF/AC . / FAE= / CAE= / AEF, .AF=EF. BE ±AD ./ FAE+/ABE=90ZAEF+ / BEF=90 ./ ABE= ZBEF .BF=EF,AF=BF【点睛】本题主要利用角平分线的性质，两直线平行内错角相等的性质，等角对等边的性质，熟练掌握性质是解题的关键.7. D【解析】分析：根据腰为5 或 10，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断详解：当等腰三角形的腰为5 时，三边为5， 5， 10， 5+5=10，三边关系不成立；当等腰三角形的腰为10

12、 时， 三边为5， 10， 10， 三边关系成立，周长为 5+10+10=25 故选D点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理关键是根据已知确定哪边为腰，分类讨论8. 12cm72°【解析】【分析】(1)要求BC的大小，只要求出 CD+BD,由线段的垂直平分线的性质知BD=AD,结合三角形的周长可得答案；(2)设/ BAD=x.由垂直平分线的性质得到AD=BD,由等边对等角得到/ B=Z BAD=x,由三角形外角的性质得到/ADC=/B+/BAD= 2x,由等腰三角形的性质得到/C=ZADC=2x.由角平分线的性质得到/CAD= /BAD=x.在 ADC中，由三角形内角和

13、定理列方程得到x的值，即可得到结论.【详解】(1) DE是边AB的垂直平分线，AD=BD,.ADC的周长=AD+ DC +AC=BD + DC+AC= BC+AC=17cm.又 AC=5cm, /. BC=12cm.(2)设/ BAD =x. DE 是边 AB 的垂直平分线，AD=BD, . . / B= / BAD=x, . . / ADC = /B+/ BAD=x+x=2x. AD=AC,C=/ADC=2x. AD 平分/ BAC, ./ CAD = /BAD=x.在 ADC 中，x+2x+2x=180 ,解得：x=36 , . . /C=2x=72 .故答案为：12cm, 72°

14、;.【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.做题中，对线段进行等量代换和找出角之间的关系是正确解答本题的关键.9. 10【解析】iIi解：如图，连接 AP.S*bc=Saabp+Saacp,，三AC?BD = AB中M+mACVPN. / AB=AC,PM + PN=BD. BD=10, PM+PN=10.BPC点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，作辅助线把ABC分成两个三角形是解题的关键. 10. 1【分析】过点 A 作AK ,/ EC MAK = 3,连接 FK,DK,证明 A ABK 9 CBD一得到BR = HD/ABK = 3HD, "H

15、k i 贝RC =兜二贝 q"ED 十上 K3C = 90 二即朵! =90°, KBD是等腰直角三角形，£BDK=45"、Z.aEB = 15° , Z.OEF=45°n则Z.BDK = 4)EF = 45)根据对顶角相等得到 上EOF = DOE,在 OEF和 ODK中， £OEF十工EOF十£EFO = ODE+5OE十乙OKD,即可得至1 ±EFO = iOKD,证明& 3 0 DFK,则DF-AK又DH =工即可求出FH的长度.【详解】如图：过点A作AK " EC，且AK =

16、3,连接FK,DK,在 ABK和 CBD中AB = CBRAK = 4DCE = 90 ” AK = CD,工 aabkacbd,' BK = ED, UBM = £CBD, 2LABK ZKBC = 90则小 BD + ZKBC =凭二即 £KRD =90& KBD是等腰直角三角形， ZBDK = 45 ,Z.AEB = 135° ,二 £OEF=45 )二 Z.BDK - ZOEF = 45°,根据对顶角相等得到在匕OEF和odk中，£OEF十乙EOF十乙EFO = ODE十上DOE十QKD,'±

17、EFQ = £OKD,工 D DF "bF,ZAKF = ZDFK, 在 AKF和 DFK中心4升h.KF = FK “EFO =&AKFW dfk,则 DF=AK =生又 DH = 2,FH = DF-DH = 3-2 =.故答案为：1.【点睛】考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质， 等腰直角三角形的判定与性质等，难度较大，解题的关键是作出辅助线.11. 5【解析】分析：根据三线合一定理得出点D为BE的中点，然后根据等底同高的三角形面积相等的性质得出'曲=4 ""配口二腔面 从而得出答案.详解：: AD平分/ BAC , BD

18、XAD ,.ABE为等腰三角形，点 D为BE的中等，根据等底同高的性质可得：&&曲SaBCD-SCED,.12-SADC=SAED+S CDE = 2S 6 ABC .点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质以及三角形面积的计算，属于中等难度的题型.根据三线合一定理得出点 D为中点是解决这个问题的关键.12. 22cm 或 26cm【解析】分析：本题分 10cm为腰长和6cm为腰长两种情况分别求出答案.详解：当10cm为腰长时，则 C=10+10+6=26cm ；当6cm为腰长时，则 C=10+6+6=22cm .点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质，属于基础题型.学会分类讨论

19、是解决这个问题的关键.13. 或"。【解析】试题分析：已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论.(1)若等腰三角形一个底角为50°,顶角为180° - 50° - 50°=80° (2)等腰三角形的顶角为 50。.因此这个等腰三角形的顶角的度数为50。或80。.故答案为：50或80.考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理.14. 39°【解析】【分析】首先根据 AB=AC=AD,可得/ C=/ABC, /D=/ABD, / ABC= / CBD + /D ；然后根据 AD /

20、BC,可得/ CBD=/D,据此判断出/ ABC=2/ D,再根据/ C=/ABC,判断出/ C=2/D, 进而解答即可.【详解】.AB=AC=AD, C=/ABC, /D=/ABD,/ ABC= / CBD+/ D . AD/BC, CBD = Z D, . . / ABC = /D+/ D=2/ D .又. / C= / ABC, .C=2Z D. / C=78° , .D=39° .故答案为：39°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等.等腰三角形的两个底角相等.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中

21、线、底边上的高相互重合.15.【解析】【分析】作辅助线，证明 PFDA QCD,可以得：PD=DQ ;由全等可知：/ DPF=/Q,由QP与AB不垂直，可以得/ Q不一定为30。；根据等腰三角线三线合一得：EF金AF,由全等1得：DF=3FC,两式相加可得结论；根据30。角所对的直角边是斜边一半可得结论.【详解】过P作PF/ BQ,交AC于F,. ABC是等边三角形，Z ACB= Z A=60° , PF / BQ,Z AFP= Z ACB=60 , Z PFD= Z QCD ,AFP是等边三角形，.-.PF=PA,PA=CQ ,.PF=CQ,在 PFD和QCD中， 乙 adp=&#

22、177;cdq ，PFD = ±QCD PF = CQ *5/.A PFDA QCD (AAS ),.-.PD=DQ ；所以结论正确；由得： PFDA QCD,Z DPF= Z Q, APF等边三角形，Z APF=60 ,. QP与AB不一定垂直，Z Q 不一定为 30°, 所以结论不正确；. APF是等边三角形，PE± AC, L .EF= AF, PFDA QCD,.DF=DC , i.DF= FC,111 . DE=EF+DF= AF+ FC= AC , 所以结论正确；在 RtAAEP 中，/ A=60° ,/ APE=30 , i.AE= AP,

23、 i.AE= CQ,所以结论正确；所以本题结论正确的有：；故答案为：.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、直角三角形30。角的性质,作辅助线构建全等三角形是本题的关键.16.证明见详解【解析】【分析】根据等边三角形的性质与平行线的性质即可证明【详解】证明：ABC是等边三角形， ./ B= Z C=6CT ,. DE / AC ,/ DEB= / C=60 ,. BDE为等边三角形.本题考查了等边三角形的性质与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质与平行线的性质.17. (1)AO=CM (2) 4OMC是直角三角形【解析】试题分析：(1)先证明 OB

24、M是等边三角形，得出 OM=OB, /ABC=/OBC,由SAS证明 AOBACMB,即可得出结论；(2)由勾股定理的逆定理即可得出结论.试题解析：解：(1) AO=CM.理由如下：./OBM=60°, OB = BM,OBM 是等边三角形，OM=OB=10, / ABC= / OBC=60° , ./ABO = /CBM .在 AOB 和 ACMB 中，OB=OM , / ABO= / CBM , AB=BC, .AOB 0CMB (SAS),，OA=MC;(2) OMC是直角三角形；理由如下：在4OMC 中，OM2=100, OC2+CM2=62+82=100, . O

25、M2=OC2+CM2,， OMC 是直角三角 形.点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理.证明三角形全等是解决问题的关键.18. (1)见解析；(2) 60 -%(3)见解析【解析】试题分析：(1)根据题意补全图形即可.(2)根据轴对称的性质得： AE=AG=AD. / EAC= / BAC+/ BAE=30° + %/EAG=2/ EAC=60° +2 &根据等腰三角形的性质，即可求出/AGE的度数.I设AC交EG于点H根据/ BAC=30° , / AHF=90° ,得到阳=泊1EH = EF 十 F

26、H - EF 十-4F小！ 明 rn w 又因点E, G关于AC对称EG=2EHEG = 2(EF + ；AF) = 2EF 十 AF,试题解析：(2)由轴对称性可知， AB为ED的垂直平分线，AC为EG的垂直平分线，AE=AG =AD.AEG = /AGE, /BAE=/BAD=a, EAC=Z BAC+Z BAE=30 + a , EAG=2ZEAC=60° +2 a , BAC + Z EAB) =90° ( 30 + 垃=60° a ,或：/ AGE=Z AEG=90° -Z EAC=90° - (3) EG=2EF+AF,法1 ：设A

27、C交EG于点H, . / BAC=30° , / AHF =90°, i, 1 -EH= EF + FH = EF+ ;AF,又点巳G关于AC对称， .EG=2EH,法2:在FG上截取NG=EF,连接 AN.又 AE=AG, ./ AEG = Z AGE,AEFA AGN, .AF=AN, . / EAF = a, / AEG=60° a ,AFN=60°, . AFN为等边三角形，.AF =FN,EG = EF+FN + NG=2EF+AF.19.见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质， 可得/ ABC= /ACB=72，根据角平分线的性质，可得/

28、1 = /2=36。， 可得DA与DB的关系，根据线段垂直平分线的判定与性质，可得FA与FB的关系，可得ZFAB与/ABC的关系，根据三角形外角的关系，可得/AFC=/ACB- / 3=36。，根据等腰三角形的判定，可得 AC与CF的关系，根据等量代换，可得答案.【详解】证明：如图，连接 AF,A . AB=AC , / BAC=36 ,/ ABC= / ACB=72 . BD 平分/ ABC , / 1 = 7 2=36° , ./ 1 = /BAD=36 ,DA=DB .,. AE=BE , FEXAB ,即FE是AB的垂直平分线,FA=FB ,/ FAB= / ABC=72 ,

29、 ./ 3=/FAB-/BAC=36 , . / ACB= / 3+/AFC, . / AFC= / ACB- / 3=36°, ./ 3= /AFC, .AC=CF ,.AB=CF .本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质.20. （1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）过点E作EMLCD于M, ENLBD于N,根据角平分线的性质可得EM=EN,再利用"HL'证明RtAECMRtAEBN,得出/ MCE = /NBE,再根据等腰三角形的性质得出/ ECB = /EBC,证出/

30、DCB = /DBC,最后根据等角对等边即可得出结论；（2）根据等角的余角相等得出/ A=/ABD,根据等角对等边得出 AD=BD,又CD=BD, 等量代换即可得出结论.试题解析：证明：（1）过点E作EM，CD于M , EN，BD于N ,DE 平分/ BDC , EM = EN.在 Rt AECM 和 Rt AEBN 中,CE= BE,EM = EN, Rt AECM Rt AEBN./MCE = /NBE.又. BE=CE, . /ECB = /EBC. /DCB = /DBC.BD = CD.(2) . AABC 中，/ ABC = 90°, Z DCB + Z A = 90°, Z DBC